PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

THANH HÓA

NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán: Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: (5,0 điểm)

 x2
1  x 1
x
. Với x  0, x  1.


:
2




x
x
1
x


4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm
của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của


hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a
b
c
a
b
c





ab bc ca

x2
 

3
 x 1 x 


0,5

 




b

x
1  x 1

:
2
x 1 1 x 

x
1  x 1

:
2
x 1
x  1 

x 1

0,5

0,5

2
x  x 1

Với x  0, x  1. Ta có:

P

2
7

0,5

2
2

x  x 1 7

1,0

 x  x 1  7

0,25




0,25

 P2  2P  0

0,25

 P2  2P
Dấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 0

0,25

Vậy P2  2P
2

a

2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy
 2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy  0
  x  1 (2 y2  y  x)  1

0,5
0,25

Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1
+) Nếu x – 1 = 1  x = 2

0,5

Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1


1 1 1
1 1 1
(   )2  2  2  2
a b c
a
b c
1
1
1
 2(   )  0
ab bc ca
Vì a, b, c  0 nên a + b + c = 0

0,5
0,5

0,5


 a  b  c
  a  b    c 

0,25

 a 3  b3  3ab(a  b)  c3

0,25

3

4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20
 2 x  5  x  3  10 x  20
 2 x  5  x  3  10 x  20
 7 x  28
 x  4(t / m)

0,5
0,5
0,25

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
b

x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

0,5

  x  y   7( x  y )  10   y 2
2

 ( x  y  2)( x  y  5)   y 2  0
 4  x  y  1  1
* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,5
0,5
0,5

 CE = CF
  ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF
b

* Vì  EDC =  FBC  ED = FB

0,5

 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có:
BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm)

0,5

*  CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM 

 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM 

EF
2

EF
2

0,5

 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC


0,5

1
(a  x)x  3a 2  6a 2  ax  x 2  0
2

 (2a  x)(3a  x)  0
Do x > 0; a > 0  3a + x > 0  2a  x  0  x = 2a

0,5

 A là trung điểm của DE  AE = a
Vì AE //BC nên

AN AE

1
NB BC

0,25

 N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD
5

* Vì a, b, c > 0 nên
Tương tự:





bc
a (b  c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
a  (b  c )
 a (b  c )  0
2
2
1


abc
a (b  c )

0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…