Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM BÌNH NGUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
SINH BỞI CÁC YẾU TỐ
TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số
:
60 46 40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2011

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Phản biện 1: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

trong tam giác và nêu cách giải quyết các vấn đề liên quan. Trên cơ sở đó
xây dựng một số hệ thức lượng giác mới dựa vào tính chất của phương
trình bậc ba và các bất đẳng thức quen biết.
Phương trình bậc ba là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp, đây
cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị. Nội dung xuyên
suốt của luận văn là các phương trình bậc ba sinh bởi các yếu tố trong
tam giác.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Hệ thống và tổng quan các bài toán về "Phương trình bậc ba sinh
bởi các yếu tố trong tam giác", phương trình bậc ba sinh bởi các cung
và góc đặc biệt.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các bài toán về phương trình bậc ba sinh bởi các yếu tố
trong tam giác và hệ thống các kiến thức liên quan.

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.
2

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,
các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán
học và tuổi trẻ,...
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu gián tiếp qua các trang web:
www.mathlinks.ro
www.mathnf riend.net
www.vnmath.com
Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của Thầy hướng dẫn, của các


Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba

x3 + ax2 + bx + c = 0

(1.1)

có ba nghiệm x1 , x2 , x3 (kể cả nghiệm phức) thỏa mãn các tính chất sau:
Tính chất 1.1 ([4]). T1 = x1 + x2 + x3 = −a;
Tính chất 1.2 ([4]). T2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b;
Tính chất 1.3 ([4]). T3 = x1 x2 x3 = −c.
Tính chất 1.4 ([4]).

T4 =

1
1
b
1
+
+
=− .
x1 x2 x3
c

Tính chất 1.5 ([4]).

T5 = x1 2 + x2 2 + x3 2 = a2 − 2b.

c
c

Tính chất 1.10 ([4]).

T10 = x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = b2 − 2ac.
Tính chất 1.11 ([4]).

T11 = x41 + x42 + x43 = a4 − 4a2 b + 2b2 + 4ac.
Tính chất 1.12 ([4]). Với mọi k, l ta có

T12 = (k + lx1 )(k + lx2 )(k + lx3 ) = k 3 − k 2 la + kl2 b − l3 c.
Tính chất 1.13 ([4]).

T13 =

1
1
a
1
+
+
= .
x1 x2 x2 x3 x3 x1
c

Tính chất 1.14 ([4]).

T14 =



1
1
1
b2 − 2ac
= 2+ 2+ 2=
.
x1 x2 x3
c2


Header Page 7 of 126.
5

Tính chất 1.17 ([4]).

T17 = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )2 = 2(a2 − 3b).
Tính chất 1.18 ([4]).

T18 =

1
1
1
a2 + b
+
+
=
.
x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1

(x1 + x2 ), (x2 + x3 ), (x3 + x1 )
là nghiệm của phương trình

t3 + 2at2 + (a2 + b)t + (ab − c) = 0.

(1.4)

Nhận xét 1.4. Nếu x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình (1.1) thì

(x1 x2 + x2 x3 ), (x2 x3 + x3 x1 ), (x3 x1 + x1 x2 )
là nghiệm của phương trình

t3 − 2bt2 + (b2 + ac)t + (c2 − abc) = 0.

(1.5)

Nhận xét 1.5. Nếu x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình (1.1) thì

x1 x2 , x2 x3 , x3 x1
là nghiệm của phương trình

t3 − bt2 + act − c2 = 0.

Footer Page 7 of 126.

(1.6)


Header Page 8 of 126.
6

4pRr
3

(2.2)

Bài toán 2.3. a2 , b2 , c2 là các nghiệm của phương trình

t3 −2(p2 −r2 −4Rr)t2 +[(p2 +r2 +4Rr)2 −16p2 Rr]t−16p2 R2 r2 = 0. (2.3)
Bài toán 2.4. a + b, b + c, c + a là các nghiệm của phương trình

t3 − 4pt2 + (5p2 + r2 + 4Rr)t − 2p(p2 + r2 + 2Rr) = 0.

(2.4)

Bài toán 2.5. ab, bc, ca là các nghiệm của phương trình

t3 − (p2 + r2 + 4Rr)t2 + 8p2 Rrt − 16p2 R2 r2 = 0.
Bài toán 2.6.

1 1 1
, ,
là các nghiệm của phương trình
ab bc ca

1 2 p2 + r2 + 4Rr
1
t −
t +
t−
= 0.

t
−
= 0.
16p2 R2 r2
8p2 R2 r2
16p2 R2 r2
(2.7)
3

Bài toán 2.8.

1
1
1
,
,
là các nghiệm của phương trình
a+b b+c c+a

2
1
5p2 + r2 + 4Rr 2
t
+
t
−
= 0.
t −
2p(p2 + r2 + 2Rr)
p2 + r2 + 2Rr

pr

(2.11)

Bài toán 2.12. (p − a)2 , (p − b)2 , (p − c)2 là các nghiệm của phương trình

t3 − (p2 − 2r2 − 8Rr)t2 + [(r2 + 4Rr)2 − 2p2 r2 ]t − p2 r4 = 0.

(2.12)

Bài toán 2.13. (p − a)(p − b), (p − b)(p − c), (p − c)(p − a) là các nghiệm
của phương trình

t3 − (r2 + 4Rr)t2 + p2 r2 t − p2 r4 = 0.
Bài toán 2.14.

(2.13)

1
1
1
,
,
là các nghiệm của phương
(p − a)2 (p − b)2 (p − c)2

trình

(r + 4R)2 − 2p2 2 p2 − 2r2 − 8Rr
1


t3 −

1
r2 + 4Rr
1
t
+
t
−
= 0.
r2
p2 r 4
p2 r 4

(2.15)

Bài toán 2.16. ha , hb , hc là các nghiệm của phương trình

p2 + r2 + 4Rr 2 2p2 r
2p2 r2
t −
t +
t−
= 0.
2R
R
R
1 1 1
Bài toán 2.17.

R
R
R2
3

(2.18)

Bài toán 2.19. ra , rb , rc là các nghiệm của phương trình

t3 − (4R + r)t2 + p2 t − p2 r = 0.
Bài toán 2.20.

(2.19)

1 1 1
, , là các nghiệm của phương trình
ra rb rc
1
4R + r
1
t3 − t2 +
t
−
= 0.
r
p2 r
p2 r

(2.20)


1 1 1
, ,
là các nghiệm của phương trình
ra 2 rb 2 rc 2

p2 − 2r(4R + r) 2 (4R + r)2 − 2p2
1
t −
t
+
t
−
= 0.
p2 r 2
p4 r 2
p4 r 2
3

Bài toán 2.26.

t3 −

(2.24)

(2.25)

1
1
1
,

1
1
4R + r 2
t + 2 2 t − 4 2 = 0.
2
pr
pr
pr

(2.27)

Phương trình bậc ba sinh bởi các biểu thức
lượng giác trong tam giác

Bài toán 2.28. sin A, sin B, sin C là các nghiệm của phương trình

p 2 p2 + r2 + 4Rr
pr
t − t +
t−
= 0.
2
R
4R
2R2
3

Bài toán 2.29.

(2.28)

[(
)
−
]t
−
= 0.
2R2
4R2
R3
4R4

Footer Page 11 of 126.

(2.30)


Header Page 12 of 126.
10

Bài toán 2.31. sin A + sin B, sin B + sin C, sin C + sin A là các nghiệm
của phương trình

p p2 + r2 + 2Rr
2p 2 5p2 + r2 + 4Rr
t−
= 0.
t − t +
R
4R2
R

4R2
1
1
1
,
,
là các nghiệm của phương trình
Bài toán 2.34.
cos A cos B cos C
3

t3 −

p2 + r2 − 4R2 2
4R(R + r)
4R2
t
+
t
−
= 0. (2.34)
p2 − (2R + r)2
p2 − (2R + r)2
p2 − (2R + r)2

Bài toán 2.35. (cos A + cos B), (cos B + cos C), (cos C + cos A) là các
nghiệm của phương trình

2(R + r) 2 p2 + 5r2 + 8Rr
r

A
B
C
Bài toán 2.37. cos2 , cos2 , cos2
là các nghiệm của phương trình
2
2
2
3

4R + r 2 p2 + (4R + r)2
p2
t −
t +
t−
= 0.
(2.37)
2R
16R2
16R2
1
1
1
Bài toán 2.38.
,
,
là các nghiệm của phương trình
2 A
2 B
2 C

,

1

,

1

A
B
C
cos2
cos2
cos2
2
2
2

là các nghiệm của phương trình

p2 + (4R + r)2 2 8R(4R + r)
16R2
t −
t +
t − 2 = 0.
p2
p2
p
3


p2 − (2R + r)2

Bài toán 2.42. tan

A
B
C
, tan , tan là các nghiệm của phương trình
2
2
2
r
4R + r 2
t + t − = 0.
(2.42)
t3 −
p
p

A
B
C
, cot , cot là các nghiệm của phương trình
2
2
2
p
4R + r
p
t3 − t2 +

B
B
C
C
A
tan , tan tan , tan tan là các nghiệm của
2
2
2
2
2
2

phương trình

4Rr + r2
r2
t −t +
t − 2 = 0.
p2
p
3

Bài toán 2.46. cot2

2

A
B
C

C
C
A
cot , cot cot , cot cot là các nghiệm của
2
2
2
2
2
2

phương trình

4R + r 2 p2
p2
t −
t + 2 t − 2 = 0.
r
r
r
3

(2.47)

Bài toán 2.48. a sin A, b sin B, c sin C là các nghiệm của phương trình

t3 −

2.3


Bài toán 2.50.

1

(2.49)

1
1
,
là các nghiệm của phương trình
3π
5π
cos
7 cos 7 cos 7
π,

t3 − 4t2 − 4t + 8 = 0.

(2.50)

π
3π
5π
Bài toán 2.51. cos2 , cos2 , cos2
là các nghiệm của phương trình
7
7
7
5
3

π,
7

1
cos2

,

1

3π
5π
cos2
7
7

là các nghiệm của phương trình

t3 − 24t2 + 80t − 64 = 0.

Footer Page 14 of 126.

(2.52)

(2.53)


Header Page 15 of 126.
13


cos
cos
7
7
7
t3 + 4t2 − 4t − 8 = 0.

Bài toán 2.56. cos2

1

1

,

,

1

2π
4π
6π
cos2
cos2
cos2
7
7
7

(2.56)


π
3π
5π
, cos2 , cos2
là các nghiệm của phương trình
14
14
14
7
7
7
= 0.
t3 − t2 + t −
4
8
64

(2.58)

3π
5π
π
Bài toán 2.59. tan2 , tan2 , tan2
là các nghiệm của phương trình
7
7
7
t3 − 21t2 + 35t − 7 = 0.


1
3
t3 − t + = 0.
4
8

(2.61)


Header Page 16 of 126.
14

Bài toán 2.62.

1
1
1
,
,
là các nghiệm của phương trình
2π
4π
8π
cos
cos
cos
9
9
9
t3 − 6t2 + 8 = 0.


,

1

,

1

2π
4π
8π
cos2
cos2
cos2
9
9
9

(2.65)

2π
4π
8π
, tan2 , tan2
là các nghiệm của phương trình
9
9
9
t3 − 33t2 + 27t − 3 = 0.

4π
8π
, cot2 , cot2
là các nghiệm của phương trình
9
9
9
t3 − 9t2 + 11t −

1
= 0.
3

(2.67)

π
5π
7π
Bài toán 2.68. cos , cos , cos
là các nghiệm của phương trình
9
9
9
3
1
t3 − t − = 0.
4
8
Bài toán 2.69.



3.2

Nhận dạng tam giác vuông

3.3

Nhận dạng tam giác cân

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.
16

Chương 4
Các đẳng thức trong tam giác
4.1

Các đẳng thức liên quan đến yếu tố độ dài trong
tam giác

Bài toán 4.1. Áp dụng tính chất 1.2 vào phương trình (2.1) ta được

ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr.
Bài toán 4.2. Áp dụng tính chất 1.3 vào phương trình (2.1) ta được

abc = 4pRr.
Bài toán 4.3. Áp dụng tính chất 1.4 vào phương trình (2.1) ta được


.
c
a
b
2Rr
Bài toán 4.9. Áp dụng tính chất 1.10 vào phương trình (2.1) ta được

a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr.
Bài toán 4.10. Áp dụng tính chất 1.11 vào phương trình (2.1) ta được

a4 + b4 + c4 = 2(p2 − r2 − 4Rr)2 − 8p2 r2 .
Bài toán 4.11. Áp dụng tính chất 1.12 vào phương trình (2.1) ta được

(k + la)(k + lb)(k + lc) = k 3 + 2pk 2 l + (p2 + r2 + 4Rr)kl2 + 4pRrl3 .
Với k, l là hai số thực bất kì.
Bài toán 4.12. Áp dụng tính chất 1.13 vào phương trình (2.1) ta được

1
1
1
1
+ +
=
.
ab bc ca 2Rr
Bài toán 4.13. Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.1) ta được

a
b
c

Bài toán 4.17. Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.1) ta được

1
1
1
5p2 + r2 + 4Rr
+
+
=
.
a + b b + c c + a 2p(p2 + r2 + 2Rr)

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.
18

4.2

Các đẳng thức liên quan đến các biểu thức
lượng giác trong tam giác

Bài toán 4.18. Áp dụng tính chất 1.1 vào phương trình (2.28) ta được

sin A + sin B + sin C =

p
.
R


p2 − r2 − 4Rr
.
2R2

Bài toán 4.23. Áp dụng tính chất 1.6 vào phương trình (2.28) ta được

p(p2 + r2 + 2Rr)
.
(sin A + sin B)(sin B + sin C)(sin C + sin A) =
4R3
Bài toán 4.24. Áp dụng tính chất 1.7 vào phương trình (2.28) ta được

p(p2 − 3r2 − 6Rr)
sin A + sin B + sin C =
.
4R3
3

3

3

Bài toán 4.25. Áp dụng tính chất 1.8 vào phương trình (2.28) ta được

pr2
(sin A + sin B − sin C)(sin B + sin C − sin A)(sin C + sin A − sin B) = 3 .
R

Footer Page 20 of 126.

.
8R4

Bài toán 4.29. Áp dụng tính chất 1.12 vào phương trình (2.28) ta được

p 2 p2 + r2 + 4Rr 2 pr 3
kl + 2 l .
(k+l sin A)(k+l sin B)(k+l sin C) = k + k l+
R
4R2
2R
Với k, l là hai số thực bất kì.
3

Bài toán 4.30. Áp dụng tính chất 1.13 vào phương trình (2.28) ta được
1
1
1
2R
+
+
=
.
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
r
Bài toán 4.31. Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.28) ta được

sin B
sin C
p2 − r2 − 4Rr

Bài toán 4.34. Áp dụng tính chất 1.17 vào phương trình (2.28) ta được

p2 − 3r2 − 12Rr
(sin A − sin B) + (sin B − sin C) + (sin C − sin A) =
.
2R2
2

2

2

Bài toán 4.35. Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.28) ta được

1
1
1
R 5p2 + r2 + 4Rr
+
+
=
.
sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A
p p2 + r2 + 2Rr

Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.
20

5π
π
1
cos
+ cos
cos
+ cos
cos = − .
7
7
7
7
7
7
2

Bài toán 4.38. Áp dụng tính chất 1.3 vào phương trình (2.49) ta được

cos

π
3π
5π
1
cos
cos
=− .
7
7
7

7
7
7
4

Bài toán 4.41. Áp dụng tính chất 1.6 vào phương trình (2.49) ta được

(cos

3π
3π
5π
5π
π
1
π
+ cos )(cos
+ cos )(cos
+ cos ) = − .
7
7
7
7
7
7
8

Bài toán 4.42. Áp dụng tính chất 1.7 vào phương trình (2.49) ta được

cos3

7
7
7
7
7
5π
π
3π
1
(cos
+ cos − cos ) = − .
7
7
7
8


Header Page 23 of 126.
21

Bài toán 4.44. Áp dụng tính chất 1.9 vào phương trình (2.49) ta được

cos

3π
5π
π
3π
5π
π

π
3
cos2
+ cos2
cos2
+ cos2
cos2 = .
7
7
7
7
7
7
8

Bài toán 4.46. Áp dụng tính chất 1.11 vào phương trình (2.49) ta được

cos4

π
3π
5π
13
+ cos4
+ cos4
= .
7
7
7
16

1
1
+
= −4.
3π
5π
5π
π
cos
cos
cos
cos
7
7
7
7

Bài toán 4.49. Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.49) ta được

cos

π
7

3π
5π
cos
cos
7
7

π
3π
3π
5π
5π
π
cos
cos
cos
cos
cos
7
7 +
7
7 +
7
7 = −3.
π
5π
3π
cos
cos
cos
7
7
7

cos

Footer Page 23 of 126.

3π
5π
5π
π
7
π
− cos )2 + (cos
− cos )2 + (cos
− cos )2 = .
7
7
7
7
7
7
2

Bài toán 4.53. Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.49) ta được

1
3π
π
cos + cos
7
7

Footer Page 24 of 126.

+


văn đã đạt được một số kết quả sau:
Trình bày cách giải phương trình bậc ba, các tính chất nghiệm của
phương trình bậc ba, đặc biệt là những nhận xét để đưa ra một phương
trình bậc ba mới liên quan đến nghiệm của phương trình bậc ba ban đầu.
Trình bày một lớp các phương trình bậc ba mà nghiệm của của phương
trình là các yếu tố độ dài trong tam giác, nghiệm của phương trình là các
biểu thức lượng giác trong tam giác, nghiệm của phương trình là các cung
và góc đặc biệt.
Hệ thống các bất đẳng thức trong tam giác liên quan đến ba biến p, R, r.
Trình bày các bài toán nhận dạng tam giác đều, tam giác vuông, tam giác
cân.
Trình bày cách thức xây dựng một đẳng thức trong tam giác liên quan
đến các yếu tố độ dài trong tam giác, liên quan đến các biểu thức lượng
giác, liên quan đến cung và góc đặc biệt.
Cũng như các công cụ toán học khác, phương trình bậc ba và các tính
chất nghiệm của phương trình bậc ba không thể giải quyết tất cả các bài
toán bất đẳng thức trong tam giác, tuy nhiên nó đưa ra một cách thức
mới để chứng minh cũng như xây dựng các đẳng thức và bất đẳng thức
trong tam giác.

Footer Page 25 of 126.