Các cách giải phơng trình vô tỷ
Trong chơng trình đại số 9
Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng
trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến.
Với bài viết này chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn về các cách giải phơng trình vô
tỷ 1 ẩn mà ở đó chỉ chứa các căn thức bậc hai cho phù hợp với chơng trình đại số
lớp 9.
Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc 2 số học
x 0
x
2
= a
Ví dụ: Giải phơng trình
Ta có: x 0
x
2
= 3x + 4
Giải: x
2
= 3x + 4 ta đợc x = -1 ; x = 4
Đối chiếu với x 0 thì nghiệm của phơng trình là x = 4
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức |A| để đa phơng trình vô tỷ về ph-
ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải phơng trình:
(2)
Với điều kiện x 4 ta có:
(2) vì x 4
- Nếu x 8

xx
42424
=++
xx
024
>+
x
024

x
44.2
=
x
024
<
x
44224
=++
xx
Cách 3: Bình phơng 2 vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng trình
hữu tỷ:
Ví dụ: Giải phơng trình:
(3)
điều kiện 2x + 5 0

3x 5 0
Ta có (3)
(3)
Hai vế của (3) không âm, ta bình phơng 2 vế của (3) thì đợc


Mà khi thử lại ta lại thấy:
- Khi x = 2 giá trị các vế trái là (VP)
- Khi x = 58 giá trị của vế phải là
(Vế phải)
Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho mà thôi
2
25352
=+
xx
2
5

x
3
5

x
3
5

x
25352
+=+
xx
45345352
++=+
xxx
xx
=
6534



(loại)
(vô lý)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Cách 5: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc 2
Ví dụ: Giải phơng trình 3x
2
+ 6x + 20 =
(5)
Ta có (5)
Vì x
2
+ 2x + 8 = (x + 1)
2
+ 7 TXĐ: x
Đặt t = t
Khi đó ta có: 3t
2
4 = t
3t
2
t 4 = 0
t = -1 < loại
t = < = (loại)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao
Ví dụ: Giải phơng trình
Điều kiện: x + 1 0 x -1

4t
2
+ 3t
2
6t + 18t 36 = 0
t
3
(t 2) + 2t
2
(t 2) + 3t(t 2) + 18(t 2) = 0
3
323232
22
+++=++
xxxxxx
3)2)(1(2)3)(1(
+++=+++
xxxxxx
32.123.)1(
+++=+++
xxxxxx
( )( )
03211
=++
xxx
032
011
=+
=+
xx

4
=
36112
2
=+++
xxx
tx
=+
1
9
63
7
(t 2) (t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18) = 0
t = 2
t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18 = 0 vô nghiệm vì t 0 t
3
+ 2t
2
+ 3t + 18 18 > 0
t = 2 x + 1 = 4 x = 3 > -1
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản

2
) = 15
vì thế ta có hệ: a b = 3 a b = 3 a = 4
a
2
b
2
= 15 a + b = 5 b = 1
Từ đây x = +3 (thoả mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = +3
4
20042004
2
=++
xx
2004
+=
xy
2004
+=
xx
2004
2
80171
>
+
=
x
2004
+=

10
425
2
=
x
110
2
=
x
Cách 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải phơng trình:
(6)
- Ta thấy với x = 0 thì giá trị vế trái =
và giá trị vế phải =
x = 0 là nghiệm
- Giả sử phơng trình có nghiệm x > 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho ta
có:
(6)
mà
(6) vô nghiệm
phơng trình (6) không có nghiệm x > 0
- Giả sử phơng trình có nghiệm x < 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho
ta có
(6)
mà
(6

) vô nghiệm
phơng trình (6) không có nghiệm x < 0
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.

>
xx
32)2()1(
>+
xxx
x

xxx
=+
3221
xx
<
31
xx
<
32
xxx
<+
3221
31
=+
xxx
1
+<
xx
03

x
222
2276322 xxxxxx

4
=+

x
x
2
2
4
=

x
x
( )
42
2
=
x
44)1(3763
22
++=++
xxx