Phần I
Một số kiến thức liên quan

1/ Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải
các phơng trình ta thờng phải dùng các phép biến đổi tơng đơng.
2/ Một phơng trình đợc gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình cho trớc nếu tập
nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình đã cho. Khi giải phơng trình, nếu
ta dùng phép biến đổi đa phơng trình đã cho về một phơng trình hệ quả thì ta phải
thử lại.
3/Môt số bài toán cơ bản liên quan đến định lý đảo về dâu tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x
1
;x
2
thoả
mãn:
x
1
<

<x
2
khi và chỉ khi af(

)<0.






2
0)(
0
21
s
afxx

f(x) có hai nghiệm trong khoảng
( )

;
khi và chỉ khi :









<<
>
>




2

m là hằng số ) thì phơng trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D.
Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x
0
thuộc D sao cho
f(x
0
)= g(x
0
) thì phơng trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D.
5/ Nội dung phơng pháp cần và đủ :
Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phơng trình f(x,m)=0 thoả
mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phơng pháp điều kiện cần và
đủ ta tiến hành theo các bớc sau :
Bớc 1 : (tìm điều kiện cần)
Giả sử phơng trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng
buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m
m
D

.
Bớc2 : (tìm điều kiện đủ) :
Với m
m
D

ta kiểm tra lại xem khi đó phơng trình f(x,m)=0 đã thoả mãn
tính chất (P) cha.ở bớc này nói chung ta thờng thay các giá trị cụ thể của m vào
để xét, những giá trị của m
m
D

xgxf
xg
xgxf
xgxf
xf
xgxf
n
n
nn
.
Thực tế ta hay gặp trờng hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thờng hay mắc
sai lầm nh sau: đặt điều kiện f(x)
0

sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phơng trình
để khử căn rồi giải phơng trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x)
0

thấy
thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phơng trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn
giản nhng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm.
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
1.
xxx
=++
242
2
.
2.
2193

quy về dạng I. Trờng hợp này rất nhiều khi ta thu đợc phơng trình hệ
quả( Do cha chắc đã có:
0)()(

xgxf
với mọi x thuộc tập xác
định của phơng trình). Giáo viên cần lu ý học sinh điều này. Ta nên hớng
dẫn học sinh chuyển
)(xg
sang vế phải để quy về dạng 2.
Ví dụ: giải phơng trình:
xxx 2114
=+
HD:
Pt có tập xác định là: D=







2
1
;4
Ta có:
xxx 2114
=+
1.
2173
=++
xx
2.
94343
+=++
xxx
4
xxx
=+
7823

III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số:
Cơ sở lý thuyết:
Cho f xác định trên D = (a ;b)
f tăng (đồng biến) khi
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x D x x f x f x < <
f giảm (nghịch biến) khi
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x D x x f x f x < >
Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì:

,
( ) 0,f x x D

f tăng trên D.

,

15 8 3 2 0x x x+ + + =
(*)
Xét
2 2
2
( ) 15 8 3 2,
3
f x x x x x= + + + >
2 2
,
2 2 2 2
15 8
( ) 3 . 3 0
15 8 15. 8
x x x x
f x x
x x x x
+ +
= = <
+ + + +
nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0
Do đó (*)
( ) (1) 1f x f x = =
5
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 2: Tìm a để phơng trình có nghiệm:

2 2
1 1x x x x a+ + + =
Giải: Xét y = f(x) =

( ) , 0
3
4
3
4
( ) 0
3
( )
4
t
g t t
t
g t
t
=
+
= >
+

nên g đồng biến.
Mà
,
1 1 1 1
( ) ( ) 0
2 2 2 2
x x g x g x y+ > + > >

Bảng biến thiên:
x


3 3 3 3
3 3
2 0 2 2 4 2 2
2 2 2 1
x x x x
x x
+ +
+ + >
Vậy PT vô nghiệm.
Ví dụ 5: giải phơng trình
2
12 1 36x x x+ + + =
Giải. Nếu ta bình phơng để khử căn thức thì sẽ đợc một phơng trình bậc 4 đầy
đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác.
Trớc hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phơng trình. Nhng khác với
các ví dụ trớc, hàm số ở vế trái
2
12 1x x x+ + + không phải là hàm đơn điệu
trong miền xác định của nó:
[
)
1;
. Tuy nhiên nếu ta xét khoảng
( )
0;+
Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng
trình đã cho trong khoảng
( )
0;+
. Bây giờ ta xét đoạn

. Ta dễ kiểm tra hàm
123)(
+=
xxxf
đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã
cho có nghiệm duy nhất x=2.
b) Pt đã cho có tập xác định là: D=







2
1
;4
. Ta dễ kiểm tra hàm
xxxf
+=
14)(
đồng biến trên D, hàm g(x)=
x21

nghịch
biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất
x=0.
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
7
1.

22
++=++
xxxx
.
HD:
a. Đặt y=
)0(73
2
+
yxx
.Ta đợc pt: y
2
-y-20 = 0
Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm đợc các nghiệm x = 6 ; x = -3.
b. Đặt y=
123
+
xx
(y > 0). Ta thấy y
2
=4x-3+2
253
2
+
xx
Ta đợc phơng trình : y
2
-y-6=0



=
=

xy
y 3
Với y=3 ta đợc :




=
=
=+
22
22
31
2
x
x
x
8
Với y=x ta đợc :



=+

=+
22
2

3.
211
4
2
4
2
=++
xxxx
.
4.
2
221)2)(1( xxxx
+=+
.
5.
16212244
2
+=++
xxxx
.
6.
xxxx
+=+
1
3
2
1
2
.
7.

2
ta đợc:

1
2
1
0112121112
21121122112112
2)112()112(212221222
22
=
=++=++
=++=++
xxxx
xxxx
xxxxxx
Bài tập áp dụng: giải phơng trình:
1.
275232522
=++++
xxxx
.
2.
11
4
5
1
4
5
2222