PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 6. KHỐI TRÒN XOAY
S . ABC

Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp
·
BAC
= 60°.

M

SA ⊥ ( ABC )
có

,

AB = 1

,

AC = 2

và

N

SB SC
A
lần lượt là hình chiếu của
trên
,

Chọn D.

K
*Gọi
là trung điểm của
AK = AB = KC = 1

AC

suy ra :

*Lại

có

·
·
BAC
= 60° ⇒ ·ABK = 60°; KBC
= 30° ⇒ ·ABC = 90° ( 1)

·ANC = 90° ( 2 )

*Theo giả thiêt
·AMC = 90° ( 3)

* Chứng minh
Thật vậy, ta có:
BC ⊥ SA; BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )
AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường
gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng
(2 + 2)π a 2
(3 + 3)π a 2
(1 + 3)π a 2
3 2π a 2
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc
AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn
xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình
nón đường sinh AH và BH.

Ta có
HK =

AH = AB 2 − BH 2 = a 3
AH .BH a 3.a a 3
=
=

Câu 3: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hình chóp
A

BC = 6 ( cm )

, cạnh huyền

S . ABC

.

có đáy là tam giác vuông tại

, các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc
S . ABC
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là
2
2
48π cm
12π cm
16π cm 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.


O

S

( ABC )
lên mặt phẳng

O

. Gọi

là trung

BC

là trung điểm của cạnh huyền

, suy ra

OA = OB = OC (1)
.

∆SHA, ∆SHB, ∆SHC
Xét các tam giác

có:

 SH chung
·
·

dựng trung trực của

IA = IB = IC = IS

đều cạnh bằng

. Vậy

I

. Khi đó

SA

SH

SH

cắt

là trục đường tròn ngoại tiếp

tại

I

.

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp


R

.

. Một mặt phẳng

( O)
và

,

cắt đường tròn đáy theo một

R

dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo .
4R
2R 2
2R
3 3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.

( O′ )



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Dựng
⇒ IH

OH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( OIH ) ⇒ ( OIH ) ⊥ ( IAB )

là hình chiếu của

Theo bài ta được

( IAB )
lên

·
OIH
= 30°

Xét tam giác vuông
⇒ OH = OI tan 30° =

Xét tam giác

OI



. Măt phẳng trung

chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:
1
1
1
8
4
7
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Gọi

O

R 6
2R 6
⇒ AB =
3
3

R

là bán kính đáy của khối nón trục
1

24

. Phần dưới là
khối nón cụt có thể tích


V2 = V − V1 =

π R 2 .OI π R 2 .OI 7π R 2 .OI
−
=
3
24
24

.

π R .OI
V1
1
24
=
=
2
V2 7π R .OI 7
24
2

Vậy tỉ số thể tích là:



V=

A.

32π
3

V=

.

B.

64 2π
3

V=

.

C.

108π
3

V=

.



AC

là khối cầu ngoại tiếp tứ diện

CMNP

.

.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

AC
=2
2

r=

Bán kính cầu này là

Thể tích cầu:

.

4
32π
V = π r3 =
3


.

B.

h=R

.

C.

R
h=
2

.

D.

.
h=

R 2
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

h2

2

2

2

2

.

Câu 8: (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng

a

chồng lên nhau
như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh
a
bên của tam gác dưới). Tính theo
thể tích của khối tròn xoay tạo thành
d
khi quay chúng xung quanh đường thẳng .


A.

13 3π a 3
96

C.



Thể tích phần bị chồng lên là
V = V1 − V2 =

⇒ Thể tích cần tính là

π 3a3
8

π 3a 3
96

11 3π a 3
96

Hoặc làm như sau:
V1; V2 ;V3 ;V4
Đặt

lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giác

OAB

quay quanh

BCFE ; GCHK

OB

, khối tròn xoay sinh bởi hình

AD = 2
CD = 3
AB
đáy lớn
, cạnh bên
quay quanh đường thẳng
. Tính thể
V
tích
của khối tròn xoay tạo thành.
4
7
5
V= π
V= π
V= π
V = 3π
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

3
3 3


.

O
, đáy là hình tròn tâm
120°
A
M
, góc ở đỉnh bằng
. Trên đường tròn đáy, lấy điểm
cố định và điểm
SAM
M
di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm
để diện tích tam giác
đạt
giá trị lớn nhất?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. vô số.

Câu 10: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình nón đỉnh

S

Hướng dẫn giải


∆SAM

đạt được khi

AM

và đặt

r2
+ x2
3

,

.

AM = 2 AH = 2 OA2 − OH 2 = 2 r 2 − x 2

s=
bằng

x = OH

.

1
r2
2
SH . AM =

R = 2.

D.

R = 2 2.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Giả sử chóp đỉnh

∆AKM

vuông tại
cao của chóp.

A
K.

như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.
Ta thấy

IK = r

là bán kính đáy của chóp,

AI = h

là chiều


là hình chiếu vuông góc
C
α
AB
của
lên
. Tìm
sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay
ACH
AB
tam giác
quanh trục
đạt giá trị lớn nhất.
1
arctan
2
α = 60°
α = 45°
α = 30°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Đáp án: C.

8
⇒ V = R 3t 2 ( 1 − t )
3
3

=

8 3
8  t + t + 2 − 2t 
R .t.t ( 2 − 2t ) ≤ R 3 
÷
6
6 
3


Vậy

V

t=

lớn nhất khi

2
3

α = arctan
khi



nón có đỉnh là
nhiêu?
2π a3
.
81
A.

O

SO

tại

H

( C)

và cắt hình nón theo đường tròn

( C)

và đáy là hình tròn

B.

4π a3
.
81


( C)
là tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn
theo thiết
diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD.Ta có:
AB = 2a ⇒ OA = a = SO
SOA
S
.Do đó tam giác
vuông cân tại .Suy ra tam giác
SI = AC = x (0 < x < a) ⇒ OI = a − x
SIC
I
vuông cân tại .Đặt

Thể tích khối nón có đỉnh là

O

( C)
và đáy là hình tròn

là:


(

1
1
1
V = .π .IC 2 .OI = .π .x 2 (a − x ) = π − x 3 + ax 2

,

S . ABC
chóp
.
5 2
.π a
3
A.
.

B.

·
BAC
= 60 .

20π a

S . ABC

có

SA

Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình

2

.


( ABC )
, gọi

là mặt phẳng

(α)
SA O
d
trung trực của
,
là giao điểm của và
.
O
Khi đó
là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình
S . ABC
chóp
.
Theo định lí hàm số cosin ta có :

·
BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB.AC.cos BAC
= a 2 + ( 2a ) − 2a.2a.cos 600 = a 3
2

vuông góc với mặt phẳng

0



AB.BC. AC a.2a.a 3
=
=a
4.S ∆ABC
a2 3
4.
2

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC

:

R = OA = AH 2 + OH 2 =

( a ) 2 + 

2

a
a 5
÷ =
2
2

S . ABC
Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp
2

.

là

và bán kính bằng

B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng

C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng

a 2
4
a 2
2

.

.

a 2
2

.


D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác

ABC

và bán kính bằng

a2
2
2 AB
= 2 MI 2 +
 MA + MB = 2 MI +

2
2

2
2

2
2
2 CD
2 a
MC
+
MD
=
2
MJ
+
=
2
MJ
+

2
2

2
4
4  2 ÷
4
2

2

Ta có:

3a 2
⇒ MA + MB + MC + MD = 4MK +
2
2

2

2

2

.

3a 2
a 2
MA + MB + MC + MD = 2a ⇔ 4 MK +
= 2a 2 ⇔ MK =
2
4
2


thoả mãn hệ thức đề bài là mặt cầu tâm

A, BC = 2a 2

ABC

cân tại
S . ABC.
ngoại tiếp hình chóp

A.

97πa 2
S=
.
4

B.

,

97πa 2
S=
.
2

1
cos ·ACB = .
3

⇒ AC = 3HC ⇒ AC = 3a 2
3

Gọi

là trung điểm

vẽ đường trung trực

AC
AC

Ta có

Trong

∆AMO

.

.

( ABC )
, trong mp
cắt

là tâm đường tròn ngoại tiếp
cos ·ACH =

AH


BC
=a 2
2

SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a
có

,

Tính diện tích

Hướng dẫn giải

H

, bán

.

Câu 16: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp
tam giác

K

.

2
3a
AM


( SAH )
. Trong mp

( ABC )

O

và vuông góc mp
S . ABC.
ngoại tiếp hình chóp
Ta có

⇒

ANIO

tại

vẽ trung trực

I

SA

. Chứng minh được

cắt đường thẳng

I


Câu 17: (LƯƠNG TÂM) Cho mặt cầu
∆

( S)

( S)
Có tâm

I

S . ABC

là

, bán kính

R=5

. Một đường thằng

MN = 2m
I
phân biệt nhưng không đi qua . Đặt
.
IMN
Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác
lớn nhất?
5 2
10

,

N

Gọi H là trung điểm MN, ta có :

IH = 25 − m 2

1
IH .MN = m 25 − m 2
2
m 2 + 25 − m 2
2
2
= m (25 − m ) ≤
2

S IMN =

Diện tích tam giác IMN :
S IMN ≤

Suy ra

25
2

m 2 = 25 − m 2 ⇔ m =

5


5 15p
18

V =
.

B.

5 15p
54

V =
.

C.

4 3p
27

V =
.

D.

5p
3

.



suy ra

song song

SC

,

HM

cắt

O

là trọng tâm,

SH

NO

SC

cắt

tại

tại

H

6

NM = SM - SN =
Suy ra

D NMI

vuông tại

M

6
12

tan450 =

NM
6
Þ IM = NM =
IM
12

r = IC = IM 2 + MC 2 =

Suy ra
V =
Vậy

4 3 5 15p
pr =


qua

O

1

nên

dựng đường

( ABC ) .
thẳng vuông góc với mặt phẳng

P, Q

I,
Hai trục này cắt nhau tại

suy ra


IA = IB = IC = IS
R = IC

I

. Vậy

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

ç
ç
6
÷ è
÷
ç3 2 ø
ç3 2 ø
è
+ Xét
V =
Vậy

4 3 5 15p
pR =
3
54

.

Câu 19: Cho hình trụ có chiều cao

h = 2,

(P )

không
AB
vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến
CD
ABCD

x > 0.
ìï CD ^ BC
ï
Þ CD ^ B 'C Þ D B 'CD
í
ïï CD ^ BB '
î

Do
của đường

(O ')
Tròn

. Xét

D B 'CD

vuông tại C. Khi đó , B’D là đường kính

vuông tại C

Þ B 'D 2 = CD 2 + CB '2 Þ 4r 2 = x2 + CB 2 (1)

Xét tam giác

D BB 'C

vuông tại B


B.

AB = a

S=
C.

SB = 2a

,

. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

12π a 2
11

S=
D.

12a 2
11

Hướng dẫn giải
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

• Xác định tâm mặt cầu
O

Gọi


SOA

dựng đường trung

SA ∆
SO
SA
J
I
của cạnh bên
,
cắt
tại và cắt
tại trung điểm .
 I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC
⇒ IA = IB = IC = IS

 I ∈ ∆ ⇒ IA = IS

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC

.

• Tính bán kính mặt cầu
Gọi

M = AO ∩ BC


3
2

Trong tam giác vuông

SOA

ta có

Xét hai tam giác vuông đồng dạng
SI SJ
SA2
=
⇒ R = SI =
=
SA SO
2 SO

SJI

4a 2
2a 33
=
11
a 33
2.
3

và


kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
a
3a
a
2
2
A.
B.
C.

D.

2a

Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD

Khi đó

IA = IB = IC = ID = IS

hay

 IA = IB = IC = ID(1)

 IA = IS (2)

I ∈ SH (*)
Gọi H là giao điểm của AC và BD.Từ (1) suy ra
Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng

, khi đó

∠SAB = 450

nên SAB

AB 3 x 6
=
3
3

SA2 − HA2 = SH 2 ↔ x 2 −

Trong tam giác vuông SHA có:
Đáp án C

6 x2
3a 2 3a
= a 2 ↔ x 2 = 3a 2 → R =
=
9
2a
2

.

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên

( SAB) ⊥ ( ABCD )



Hướng dẫn giải

1

thì

( SAB) ⊥ ( ABCD )
Do

C.

(∆ )

1

Qua O, kẻ

R=

nên kẻ

là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

SH ⊥ AB

SH ⊥ ( ABCD )

thì



SH = 2a.

3
a 3
= a 3 ⇒ EH =
2
3

∆AIO : R = AI = OA 2 + OI 2 = 2a2 +

Trong

3a2 a 21
=
9
3

.

Đáp án A.
Câu 23: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình
cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất.
2R
2R
R 6
2R
r=
r=
r=

 3

2R
V ' = π  − h2 + R2 ÷⇔ h = ±
3
 4


Vậy

( 0 < h < 2R)

4
2R
V =h
Vmax = π R3 3 ⇔ h =
9
3

Lúc đó

1 4R2 2R2
R 6
r 2 = R2 − .
=
⇒r=
4 3
3
3


đều SEF mà EF // AB.Vì OAB là tam giác vuông cân nên

AB = BC = R 2

.Suy ra

2

 AB 
π R3 2
VT = π 
BC
=
÷
2
 2 
Ta thấy, tâm O của hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông ABCD đồng thời
cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF.
Như vậy, đường cao của tam giác SEF là
Trong tam giác EOH (vuông tại H,

SH = 3OH = 3R

¼
EOH
= 30°

). Ta có :

EH = OH . 3 = R 3

1
SO1 = SO
3
vuông góc với SO tại O1 sao cho
. Một mặt phẳng qua trục hình
N
nón cắt phần khối nón
nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là
N
hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón
N
nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón
.
3
3
3
7π R
πR
26π R
52π R 3
9
9
81
81
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
AA1B1B


Vậy

Dễ thấy
Từ đó

R 4R
=
3
3

1
2R
SO1 = OO1 =
2
3

SO = 2 R
V * = V1 − V2

Gọi thể tích phần hình nón phải tính là V* thì
V1 là thể tích của hình nón

N

, trong đó:

.

V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của


Câu 26: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán
kính

R

là

R 3
A.

.

B.

R 3
3

.

C.

4R 3
3

.

D.

2R 3

3
9
;
.

x
. Tính chiều cao
của khối trụ có thể tích lớn
h
nhất nội tiếp trong hình nón theo .
h
h
h
2h
x=
x=
x=
x=
3
2
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


.

OA

là một đường sinh của hình nón,

trụ. Ta có:

B

là điểm chung của

OA

với khối

r h−x
R
=
⇒ r = (h − x )
R
h
h

Thể tích khối trụ là:

Xét hàm số

.

Câu 28: Cho hình nón đỉnh

O

. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của
O
đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh
x
đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao
của khối nón này để thể tích của nó lớn
0< x

.


1 R2
V = π 2 (h − x )2 x
3 h

Thể tích khối nón cần tìm là:
.
2
1 R
V ( x ) = π 2 (h − x )2 x , 0 < x < h
3 h
Xét hàm số
.
2
1 R
h
V '( x ) = π 2 ( h − x )( h − 3x ) = 0 ⇔ x = h hay x = .
3 h
3
Ta có
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của
x=

nó là


. Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu
là
3
16π R
4π R 3
4π R 3
3
1+ 5
1+ 2 5
2 5 −1
B.
.
C.
.
D.
.

(

)

Hướng dẫn giải
Giả sử hình nón có đỉnh

O

và đường kính đáy là

AB


=
p 1+ 5

Vtru = π r 2 h = 2π r 3 =

Thể tích khối trụ cần tìm là:

.
16π R 3

(1 + 5)

3

.