PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG
3
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y  x  mx  5 , m là tham số. Hỏi hàm số đã
cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y  x 6  mx  5

Suy ra: y �

3x5
x

3

m 

3x5  m x
x


TH1: m  0 . Ta có: y�

3


m
3
 0 � 3x5  m x � � 5
�x
TH2: m  0 . Ta có: y �
3
3
3x  mx
�

Bảng biến thiên
x

y�

�

m
3

0





0

�




�

0



y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m
Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m  0 , ta có thể chọn m là một số dương
(như m  3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m  3 để làm sẽ cho
lời giải nhanh hơn.
Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y 

2 x  2017
(1) . Mệnh đề nào dưới đây là
x 1

đúng?
A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận
đứng là đường thẳng x  1.
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2, y  2
và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 và
không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận
đứng là các đường thẳng x  1, x  1.
Hướng dẫn giải



 0 có hai
Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y�
nghiệm

phân

biệt

3 x 2  2 x  m  0 (1) có

hai

nghiệm

phân

biệt

1
�
 1  3m  0 � m  .
3
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT là hoành độ hai điểm cực trị.

2
�
x



C. m �3 .

1
3
D.  �m � .
4
4

Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính bỏ túi.

x 3  x  x  1  m  x 2  1 � mx 4  x 3   2m  1 x 2  x  m  0
2

Chọn m  3 phương trình trở thành 3 x 4  x 3  5 x 2  x  3  0 (không có nghiệm
thực) nên loại đáp án B, C.
Chọn m  6 phương trình trở thành 6 x 4  x 3  13 x 2  x  6  0 (không có nghiệm
thực) nên loại đáp án A.
Kiểm tra với m  0 phương trình trở thành  x 3  x 2  x  0 � x  0 nên chọn đáp
án D.
Tự luận
Ta có x 3  x  x  1  m  x 2  1 � m 
2

Xét hàm số y 

x3  x 2  x
(1)
x4  2x 2  1

2

 2 x  1  x 4  2 x 2  1   x 3  x 2  x   4 x3  4 x 

x

4

 2 x 2  1

2

 x6  2 x5  x 4  x 2  2 x  1

 x  2 x  1
  x  1  x  2 x  1

 x  2 x  1
4

4

2

2

2

4



f  a   f  b  2  có giá trị bằng
A. 1 .

B. 2 .

C.

1
4

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: b  2  1  a
f  a 

9a
91 a
3
;
f
b

2

f
1

a



Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2 nằm về hai phía so với trục hoành?
A. m  3 .
B. 1  m  2 .
C. m  3 .
D. 2  m  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
 3x2  6 x  m .
Ta có: y �

 0 có 2 nghiệm
Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y �
phân biệt.
 9  3m  0 � m  3 .
Do đó �

Gọi x1 , x2 là điểm cực trị của hàm số và y1 , y2 là các giá trị cực trị tương
ứng.
1 � �2
�1
� 2
3
2
. � x  � � m  2 �x  m  2 nên y1  k  x1  1 ,
Ta có: y  x  3x  mx  m  2  y�
3 � �3
�3
� 3


C. m 

2� 5
.
2

D. m 

2� 3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 3 x 2  3m nên y �
 0 � x2  m .
Ta có y�

Đồ thị hàm số y  x 3  3mx  2 có hai điểm cực trị khi và
chỉ khi m  0 .
1
1
 2mx  2 .
Ta có y  x3  3mx  2  x  3 x 2  3m   2mx  2  x. y�
3
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



Suy

d I ,  

ra:

� 8m 2  16m  2  0 � m 

2m  1  2
4m 2  1



2
� 4m  2  2  4m 2  1
2

2� 3
.
2

Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng
2x 1
y  x  m  1 cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x 1
AB  2 3 .
A. m  4 � 10 .


Đường thẳng y  x  m  1 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình f  x   0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , hay
0
m2
�
m 2  8m  12  0
�
�
�
��
�
�
m6
1 �0
�
�
�f  1 �0

 *

.

�x1  x2  2  m
Khi đó, gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình f  x   0 , ta có �
�x1 x2  m  2
(Viète).
Giả sử A  x1 ; x1  m  1 , B  x2 ; x2  m  1 � AB  2 x2  x1 .


Theo giả thiết AB  2 3 � 2 x2  x1  2 3 �  x1  x2   4 x1 x2  6 � m 2  8m  6  0

�
y
 ln �  2 �.
x
�y
�

x
, điều kiện: 0  t �4 thì
y

6
P  f  t   12   ln  t  2 
t
f�
 t  

6
1
t 2  6t  12


t2 t  2
t 2  t  2

�
t  3  21
f�
 t  0 � �
t  3  21

các hằng số dương, ab  4 ). Biết rằng  C  có tiệm cận ngang y  c và có
đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng T  3a  b  24c
A. T  1.
B. T  4.
C. T  7.
D. T  11.

Câu 10:

(LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y 

Hướng dẫn giải
Chọn D.

lim y 
x ���

a
a
. Tiệm cận ngang y  c �  c .
4
4

(C) có một tiệm cận đứng nên phương trình 4 x 2  bx  9  0 có nghiệm kép.

1
1
  0 � b 2  144  0 � b  �12 . Vì b  0 � b  12 � a  � c  .
3
12


0
m
TH2: ۹�

3

y �có hai nghiệm x1 , x2  x2  x1 

� Hàm số luôn nghịch biến trên  x1 ; x2  .
Yêu cầu đề bài:
� x2  x1  3 �  x2  x1   9 � S 2  4 P  9
2

m6
�
2
�  m  1  4  m  2   9 � m 2  6m  0 � �
m0
�


Câu 12:

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
3
2
y  2 x  x mx đồng biến trên  1, 2 .

A. m 

1  3m �0
�
�
� 1
�
m�
�
�
�
1  3m  0
3
�
�
�
�
� 1
�1
�
m
�
�
� 1
�
3
�
3
�
�
�
�

1
�
�
2
�
�
�
�
 x1  1  x2  1 �0
�
�
Câu 13:

m

1

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y   3m  1 x  6m  3 cắt đồ

thị hàm số y  x 3  3x 2  1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách
đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (1;0) .

B. (0;1) .

3
C. (1; ) .
2
Hướng dẫn giải.



4 x 2  1  3x 2  2
là:
x2  x
B. 3.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 1.

Chọn A.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1� �
1 �
�
�;  ��� ;1�
� 1;  �
Tập xác định: D  �
2� �
2 �
�
Tiệm cận đứng:
4 x 2  1  3x 2  2
4 x 2  1  3x 2  2
 � ; lim y  lim
 �

2
2
4 x  1  3x  2
x
x  3 � y  3 là tiệm cận ngang
lim y  lim
 lim x
2
x ��
x��
x
�

�
1
x x
1
x
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
lim y  lim

Câu 15:

(SỞ

GD

HÀ

NỘI)


C. m  n 2  1 .

D. m  n 2  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
1
1 2 

2
x
 x  1

Ta có :

x

2

 x  1

x 2  x  1

2

2



2018 n
2018
n

Ta chứng minh

20182  1
là phân số tối giản.
2018

Giả sử d là ước chung của 20182  1 và 2018
Khi đó ta có 20182  1Md , 2018Md � 20182 Md suy ra 1Md � d  �1
Suy ra

20182  1
là phân số tối giản, nên m  20182  1, n  2018 .
2018


Vậy m  n 2  1 .
Câu 16:
(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
để đồ thị hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến trên �.
A.  2 �m � 2.
B. m � 2.
C.  2  m  2.
D. m � 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y  sin x  cos x  mx

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số y  f ( x ) là:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa 0  m  2 thì phương trình f  x   m có số
nghiệm nhiều nhất là 6.
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số y 

Câu 18:

x2  4x
đồng biến trên  1; � thì giá trị
xm

của m là:
�1 �
� 1�
� 1�
1; �.
1; .
A. m �� ; 2 �\  1 . B. m � 1; 2 \  1 . C. m ��
D. m ��
�2 �
� 2�
�
� 2�
Giải

�
�
x 2
Khi đó  1 � �
(2)
 x2
�
2m�
,x� 2; �
�
x 2
�
 x2  4x
 x2
�
f
x



1
;
�
\
2
   có
Xét hàm số f  x 
trên 
2
 x  2


x2  2mx  4m
x2  4x
y
'

D

�
\

m
  và
có tập xác định là
.
y
2
x m
 x  m
m 1
�
�
Hàm số đã cho đồng biến trên  1; � � � 2
�x  2mx  4m�0, x� 1; �


4 �m�0
�
�
��


0
�
�
�
�
m�1
�
�
�
�
�
�
2
�x1  x2 �1 �
m m  4m �1 �
�
� 1
�
�
�
m�
2
�
�
�
�
1
Kết hợp với đk m 1 ta được 1 m� .
2


y  m  0 ;

y  2   8  4a  2b  c  0

và

y  2   8  4a  2b  c  0 .
Do y  m  . y  2   0 suy ra phương trình y  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng  m; 2  .

y  2  . y  2   0 suy ra phương trình y  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng  2; 2  .

y  2  . y  M   0 suy ra phương trình y  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng  2; M  .
Vậy đồ thị hàm số y  x 3  ax 2  bx  c và trục Ox có 3 điểm chung.
Câu 20:

(CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số
2x 1
y
2
 mx  2 x  1  4 x 2  4mx  1 có đúng 1 đường tiệm cận là

A.  0 .

B.  �; 1 � 1; � .

C. �

TH2: Xét m �0 . Có: 1  1  m và  2  4m 2  4
Th2a.

Cả

2

phương

trình

(1)

và

(2)

đều

vô

nghiệm:

1 m  0
m 1
�
�
�� 2
��
� m ��

C. m  2.

D. m  0.

Chọn B

y  0 khi x  1 .
Cách 1: Với m  0 thì y  0 nên max
 2;2
Với m �0 .
Đặt x  tan t , ta được y 

m
.sin 2t . Với x � 2; 2 thì t �  arctan 2;arctan 2  .
2

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x  1 tương ứng với t 
Khi m  0 thì
Khi m  0 thì

max

y

m

khi và chỉ khi t  .
2
4


2

,

TH1: m  0 � y  0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x  1


x  1 (n)
�
0��
TH2: m �0 . Khi đó: y�
x  1 ( n)
�
Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị
�y  1 �y  2 
�
y  2 
lớn nhất tại x  1 trên đoạn  2; 2 khi và chỉ khi �y  1 �۳�
�
�y  1 �y  1
(do m �0 )

m

0

m

0


+)  1 � 3  2  x 2  x  2   x 2  x  m
2
 x   2 x  1
Đặt:  x 2  x  t ; f  x    x  x; f �

�1 � 1
� 1�
f  1  2, f  2   2, f � � � t ��
2; �
�2 � 4
� 4�

 1 � 3  2

t  2  t  m � 2 t  2  t  m 3 � m  2 t  2 3t

Đặt f  t   2 t  2  3  t

f�
 t 

1
1 t  2
1 
. f�
 t   0 � 1  t  2  0 � t  1
t2
t2

Bảng biến thiên

0

t

1
4

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình   có
� 1�
2;
nghiệm t ��
� 4�
�
Từ bảng biến thiên � m � 5;6 .
Chọn B
x3 3 2
 x  4 x  2017 .
3 2
Định m để phương trình y '  m 2  m có đúng hai ngiệm thuộc đoạn [0; m]

Câu 23:

( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số y 

�
1 2 �
A. �
.
� 3 ;2�
�

Ta có: y '  m 2  m � x 2  3 x  4  m 2  m
2
Đặt f  x   x  3x  4  P 

y  m2  m

Yêu cầu bài toán :
4
7
4
3
3
2
2


�3
�3

m
�2  m
�2
�
�
2
�7
�7
� �  m 2  m �m2  3m  4 � �  m  m
4
�4

�
2
�
m �2
�
�
0  m �2
�
Câu 24:

(LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y  ln  16 x 2  1   m  1 x  m  2 nghịch biến trên khoảng  ��
; .

A. m � �; 3 .

B. m � 3; � .

C. m � �; 3 .

D. m � 3;3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Ta có: y  ln  16 x  1   m  1 x  m  2

y�



m �5
2
2
2

16
m

32
m

240
�
0
�


16

16
m

1
�
0


�
�
��


2



1

2

1
g�
( x)  0 � x  �
4
�1 �
�1�
lim g ( x)  0; g � � 4; g �
 � 4
�4 �
� 4�

x ���

Bảng biến thiên:
x

�

g�
 x


1 4
Do đó: m �۳

m 3.

(LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
cot x  1
�  �
y
đồng biến trên khoảng � ; �.
m cot x  1
�4 2 �
A. m � �; 0  � 1; � .
B. m � �; 0  .

Câu 25:

C. m � 1; � .

D. m � �;1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.


Ta có: y�

  1  cot 2 x   m cot x  1  m  1  cot 2 x   cot x  1

 m cot x  1

 0, x �� ; �
2
�
�4 2 �
 m cot x  1
�





m 0 .

2

.


Câu 26:
(NGUYỄN TRÃI – HD) Phương trình 223 x .2 x  1024 x  23x3  10 x 2  x có tổng
các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây
A. 0,35.
B. 0, 40.
C. 0,50.
D. 0, 45.
Hướng dẫn giải
Chọn D
3
2
3

c
d
x1  x2  x3   ; x1 x2  x2 x3  x3 x1  ; x1 xx x3  
a
a
a
Câu 27:

(HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Đường thẳng d : y  x  4 cắt đồ thị hàm số
y  x 3  2mx 2   m  3 x  4 tại 3 điểm phân biệt A  0; 4  , B và C sao cho diện tích

tam giác MBC bằng 4, với M  1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
A. m  2 hoặc m  3. B. m  2 hoặc m  3.
C. m  3. D. m  2 hoặc m  3.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương

trình

hoành

độ

giao

điểm

của

�

(*)

Ta gọi các giao điểm của d và  C  lần lượt là A, B  xB ; xB  2  , C  xC ; xC  2  với
xB , xC là nghiệm của phương trình (1).

�xB  xC
Theo định lí Viet, ta có: �
�xB .xC

  2m
m2

1
�
BC �
d  M , BC   4.
2
Phương trình d được viết lại là: d : y  x  4 � x  y  4  0.
Ta có diện tích của tam giác MBC là S 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mà d  M , BC   d  M , d  
Do đó: BC 

1 3  4
1   1

Cho hàm số y 

nào?
11 �
� 7 � �
0;
và � ;  �.
A. �
�
� 12 � �12
�

� 7
0;
C. �
� 12

� �7 11
và � ;
�
� �12 12

x
 sin 2 x, x � 0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng
2

�7 11 �
B. � ;
�.
�12 12 �

2
�
x
 k
� 12
7
11
Vì x � 0;   nên có 2 giá trị x 
và x 
thỏa mãn điều kiện.
12
12
Bảng biến thiên:

||00||

11 �
� 7 � �
0;
Hàm số đồng biến �
�và � ;  �
� 12 � �12
�
Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y  f ( x)  x  m cos x luôn đồng biến trên �?

A. m �1 .



Trường hợp 1: m  0 ta có 0 �1, x ��. Vậy hàm số luôn đồng biến trên �
1
��۳
, x �
Trường hợp 2: m  0 ta có sin x ۳
m

1
1
m

1
1
�
Trường hợp 3: m  0 ta có sin x � , x �
m
m

m 1
1۳

m

1

Vậy m �1
Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

(2m 1) sin x 3 m, x �

1
7
ta có 0  ,x . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên
2
2

�.
Trường hợp 2: m  

1
3 m
�� , x �
ta có sin x �
2
2m  1

3 m
2m  1

1

�3�m
۳2m 1

Trường hợp 3: m  
3 m
sin x ��۳ , x �
2m  1


Câu 31:

b

sao cho hàm số

1 2
D. a  2b �
.
3

Hướng dẫn
Chọn C.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 2  acosx  b sin x
Tập xác định D  R . Ta có: y�
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2  a 2  b 2 �y�
�2  a 2  b 2
Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
y�
�0, x � 2  a 2  b2 �0 � a 2  b 2 �4 .
Câu 32:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y  x 3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng  0; � ?
A. m �0 .

của y �

 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
 Trường hợp 2.2: y�
�
�
36  3m  0
�
0
�
�
�
x1  x2  0 � �S  0 � �
4  0(vl ) � không có m .Vậy m �12
�P  0
�m
�
� 0
�3
m �12
�
x 3x2
Cách 2:Hàm số đồng biến trên  0; � ۳

Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên  0; � .
x

0

+

m

sao cho hàm số

D. m � �; 5  .

Hướng dẫn
Chọn B.
Tập xác định D  �. Ta có y '  4 x 3  4( m  1) x .
Hàm số đồng biến trên (1;3) ۳��
y ' 0,
�
x (1;3)
�

g ( x)

x 2 1 m, x (1;3) .

Lập bảng biến thiên của g ( x) trên (1;3) .
x

+

g
g

3

1

Tập xác định: D  �. Ta có y �
 x 2  mx  2m

�0, x �� vì a  1  0
Ta không xét trường hợp y �
 0 có 2 nghiệm x1 , x2
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 � y�
thỏa
�
  0 � m 2  8m  0
�
�m  8 hay m  0
x1  x2  3 � �
��2
�
2
2
m

8
m

9
x

x

9
�
S


D. m �0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn
Chọn B.

 
+) Điều kiện tan x m. Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên  0;  là
 4
m 0;1
+) y' 

2 m
.
cos x(tan x m)2
2

+) Ta thấy:

 
1
 0x 0; ;m 0;1
2
 4
cos x(tan x m)
2


C. �
D. �
15 �
15 �
�
�
� 15 �
� 15
�

Câu 36:

Hướng dẫn
Chọn B.
Tập xác định D  R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
mx 2  14mx  14 �0, x �1 , tương đương với g ( x) 

14
�m (1)
x  14 x
2

Dễ dàng có được g ( x ) là hàm tăng x � 1; � , suy ra min g ( x )  g (1)  
x�
1

�g ( x ) m
Kết luận: (1) ۳�min
x�
1

tối giản và q  0 . Hỏi tổng p  q là?
q
B. 9.
C. 7.

Hướng dẫn
Chọn C.
Tập xác định D  �. Ta có y�
 4 x3  2(2m  3) x .

số

m

 1; 2 

sao cho hàm số
� p�
�; � , trong đó
là �
� q�

D. 3.



y��
0, x (1; 2)
Hàm số nghịch biến trên (1; 2) ۣ�
 ۣ�

2

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m �min g ( x )

m

5
. Vậy p  q  5  2  7 .
2

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số
2 x 2  (1  m) x  1  m
đồng biến trên khoảng (1; �) ?
y
xm
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.

Câu 38:

Hướng dẫn
Chọn D.

Tập xác định D  �\  m . Ta có y �

2 x 2  4mx  m 2  2m  1
g ( x)


(t )  2t  2
Xét hàm số f (t )  t 2  2t  1, t �0; f �
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất