PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
S ( t)
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC)Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
y=
2
lim S ( t ) .
( x + 1) ( x + 2 ) y = 0 x = 0 x = t (t > 0)
t →+∞
,
,
,
. Tìm
1
1
1
1
− ln 2 −
ln 2 −
− ln 2
ln 2 +
2
2
2
2
A.
.


a + b = 0
a = 1


⇔  4a + b + c = 0 ⇔ b = −1
 4a + c = 1
 c = −3
⇔ 1 = ( a + b ) x 2 + ( 4a + b + c ) x + 4a + c



y=

[ 0;t ]
*Vì trên

1

( x + 1) ( x + 2 )

2

,

.

>0

nên ta có:

= ∫
−
−
+
÷dx =  ln
÷
2

÷
x
+
1
x
+
2
x
+
2
x+20
(
)

x
+
2
(
)
0

t

Nên

lim

t →+∞

và

1
=0
t+2

1
1
1
 t +1
lim S ( t ) = lim  ln
+
+ ln 2 − ÷ = ln 2 −
t →+∞
t →+∞
2
2
 t+2 t+2

.

Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.

Diện tích hình phẳng:




Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B.
α

1
dx
1
+
tan
x
0

I =∫

Câu 2:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích
α
sin x
 π
J =∫
dx
α ∈  0; ÷
cosx + sin x
 4
0
với
, khẳng định sai là

I + J =α

.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có

1
1
cos α
=
=
1 + tan α 1 + sin α cos α + sin α
cos α

nên A đúng.

α
d ( cos x + sin x )
cos x − sin x
dx = ∫
= ln cos x + sin x
cos
x
+
sin
x
cos

Câu 3:

1

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số

3

− 8t ) dt

f ( x)

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
M −m
.
A. 18
B. 12
C. 16

m, M
. Gọi

lần lượt
[ 0;6]
trên đoạn
. Tính
D. 9

Hướng dẫn giải
f ( x) =

M − m = 16

.

Đáp án: C.

∫ x ( 1− x)
Câu 4:

2017

( 1− x)
dx =

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử
2a − b
các số nguyên dương. Tính
bằng:
2017
2018
2019
A.
.
B.
.
C.
.

a


2017

(

dx = ∫ ( 1 − x )

2017

− ( 1− x)

2018

)

( 1− x)
dx = −

2018

2018

( 1− x)
+

2019

2019

a = 2019, b = 2018 ⇒ 2a − b = 2020
Vậy

D.
.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1
e +3
x

+C


Hướng dẫn giải
F ( x) = ∫
Ta có:

dx
1 
ex 
1
x
=
1
−

÷dx = x − ln ( e + 3) + C
x
x
∫
e +3 3  e +3
3

Do đó:
Chọn A.

f ( x), g ( x)
Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho
3

∫

[ 2; 6]

2

là các hàm số liên tục trên đoạn
6

6

3

3

f ( x) dx = 3; ∫ f ( x )dx = 7; ∫ g ( x )dx = 5

và thỏa mãn
KHÔNG đúng.

. Hãy tìm mệnh đề

D.
Hướng dẫn giải

3

∫
2

6

6

3

2

f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f( x)dx = 10
6

6

6

3

3

3

∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 3∫ g ( x)dx − ∫ f ( x) dx = 15 − 7 = 8

2

2

2

B

A

đúng

đúng

[2f ( x) − 1]dx = ∫ [2f ( x) − 1]dx = 2 ∫ f( x) dx − 1∫ dx = 20 − 4 = 16
nên

C

đúng


ln e6

∫
3

D

Nên

2
2x
∫ e (2 x + 5 x − 2 x + 4)dx = (ax + bx + cx + d )e + C
a+b+c+d
. Khi đó
bằng
A. -2
B. 3
C. 2
D. 5

sử

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta

có

( (ax

3

∫e

2x

(2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C
nên


Câu 8:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết

−1

. Tính giá trị của

2

P = ∫ [f (5 − 3 x) + 7]dx
0

A.

P = 15

B.

P = 37

C.

P = 27

D.

P = 19


5
5

dt
1
1
) = ∫ [f (t ) + 7]dt =  ∫ f (t ) dt + 7 ∫ dt ÷
3
3 −1
3  −1
−1


1
1
= .15 + .7.(6) = 19
3
3

chọn đáp án

D
f ( x ) = a sin 2 x − b cos 2 x

Câu 9:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số
π 
f '  ÷ = −2
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
f ' ( x ) = 2a cos 2 x + 2b sin 2 x
π 
f '  ÷ = −2 ⇔ −2a = −2 ⇔ a = 1
2
b

b

a

1

∫ adx = ∫ dx = 3 ⇔ b − 1 = 3 ⇔ b = 4
Vậy

a + b = 1 + 4 = 5.
ln 2



∫  x + 2e
0

1
x

1 a
5

ln 2

∫
0

ln 2

1 

x+ x
÷dx = ∫ xdx +
2e + 1 

0

ln 2

∫ 2e
0

1
x

+1

dx

.
ln 2



Tính
t = 2e x + 1 ⇒ dt = 2e x dx ⇒ dx =
Đặt
ln 2

∫ 2e

1
x

0

ln 2

5

+1



. Đổi cận :

.

dt
5
 1 1
= ∫
− ÷dt = ( ln t − 1 − ln t ) = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 = ln 2 − ln

÷dx = ln 2 + ln 2 − ln ⇒ a = 2, b = 1, c = −1
+1
2
3

a +b−c = 4

.

( C)
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số
1
y = ( x 2 − 4 x + 3)
M ( 3; −2 )
( C)
2
và hai tiếp tuyến của
xuất phát từ
là
8
5
13
11
.
.
.
.
3
3

và

.

( x0 ; y0 )
tại điểm có tọa độ

y = ( x0 − 2 ) ( x − x0 ) +

y ′ ( x0 ) = x0 − 2

là

1 2
( x0 − 4 x0 + 3)
2

M ( 3; −2 )
Vì tiếp tuyến đi qua điểm

nên

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


−2 = ( x0 − 2 ) ( 3 − x0 ) +

x = 1⇒ y = −x +1
1 2
x0 − 4 x0 + 3) ⇔  0


x

∫ 1 + cos 2 x dx = aπ + b ln 2
0

Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân
16a − 8b
thực . Tính
4.
5.
A.
B.

, với

C.

2.

D.

a

,

b

là các số


1 π4
π 1
π 1
1 π 1
1
1
I = x tan x 4 − ∫ tan xdx = + ln cos x 4 = + ln
= − ln 2 ⇒ a = , b = −
2
2 0
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0

Do đó,

16a − 8b = 4

.
1

∫

5

f ( x ) dx = 3


Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

1

0

0

5

5

0

0

∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 3 ∫ f ( z ) dz = 9 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 9
Ta có

;

3.

5

f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt
3


1

3

⇒ ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = 6.
ln 2

∫
0

e 2 x+1 + 1
a
dx = e +
x
e
b

Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân
1.
2.
A.
B.

. Tính tích
C.

6.

a.b

0

∫

e − x dx =

ln 2

e x +1d ( x + 1) −

∫

0

ln 2
0

ln 2

0

ln 2

∫ e d ( −x)
−x

0

1
1 

.
a + b + c + d = 28
a + b + c + d = 16
a + b + c + d = 14
A.
. B.
. C.
.

a , b, c , d
với

a + b + c + d = 22

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
π
3

∫π

I=

−

1+ x + x
6



(

)

1 + x 6 − x 3 sin x
1+ x − x
6

3

. Đổi cận

6

dx =

π
3

∫π (

−

3

π
π

 x = − 3 ⇒ t = 3

π
3

(

)

1 + x 6 + x 3 sin xdx

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

.


2I =

π
3

∫π ( −2 x

−

Suy ra

3

sin x ) dx ⇔ I =

π

(–)

+ sin x

0
I = ( − x sin x + 3 x cos x + 6 x sin x − 6 sin x )
2

π
3
π
−
3

a = 27, b = −3, c = −2, d = 6
Suy ra:

− cos x

(–)

6x

3

+ sin x

(+)

. Vậy


π

 4 ; 2π 

D.

3

thỏa mãn

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt

t = 1 + 3cos x ⇒ t 2 = 1 + 3cos x ⇒ 2tdt = −3sin xdx.

Đổi cận: + Với
+ Với
a

∫
0

Khi đó

x=0⇒t =2


a ∈  ; 2π  ⇒ ≤ + kπ ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ ⇒ 
4 2
4
2
4

k = 1

a=

.

π
+π
2

Bình luận: Khi cho
thì tích phân không xác định vì mẫu thức
không xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp
a=
nhận

π
2

.

Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
y =1
y = 2x , y = − x + 3

•
•

2x = − x + 3 ⇔ x = 1
2x = 1 ⇔ x = 0
−x + 3 = 1 ⇔ x = 2

Diện

tích

cần
1

tìm
2

 2x
  − x2

1 1
S = ∫ ( 2 − 1) dx + ∫ ( − x + 3 − 1) dx = 
− x÷ +
+ 2x ÷ =
−
 ln 2
0  2
 1 ln 2 2
0
1


sao

cho

a

A.

20

.

B.

19

9

.

C. .

D.

10

.

Hướng dẫn giải

2

và
n +1

lim

n →+∞

k ∈¢

1

∫ 1+ e

x

a ∈ ( 0; 20π )
.

Vì

nên

nên có 10 giá trị của

k

dx



n

Ta có:
Đặt

t = 1 + e x ⇒ dt = e x dx

I=
Khi đó:

1+ e

n+1

∫

1+ en

x = n ⇒ t = 1 + e n ; x = n + 1 ⇒ t = 1 + en +1

. Đổi cận: Khi

1
dt =
t ( t − 1)

1+ en+1

∫


∫ sin
0

Câu 20: (THTT – 477) Nếu

n

khi

n → +∞

x cos xdx =

, Do đó,

1
64
thì

n

1
lim I = 1 + ln = 0
n →+∞
e

bằng




Suy ra

1
 ÷
2

=

x = 0 ⇒ t = 0; x =
. Đổi cận: khi

1
n +1 2

n +1

t
1 1
=
. ÷
n +1 0 n +1  2 

=

π
1
⇒t =
6
2

S =9

S

( C)
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
S=

.

B.

27
4

.

C.

21
4

.

và trục hoành.

D.

5
4

tại điểm có hoành độ

.

 x = −2
x3 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x =1

∫ (x
1

−2

3

.

− 3 x + 2 ) dx =

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho
Biết rằng

2

∫

y = f ( x)

và

4

C.

I = 5.

D.

I = 2.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì

f ( x)

là hàm số chẵn nên

a

∫

f ( x ) dx = 0 ⇒

−a

3

∫
1


−1

f ( −2 x ) dx = ∫ f ( 2 x ) dx = 3

Xét tích phân

2

.

2

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 8
1

I = 14.

[ −6;6] .


6

6

6

1
1
f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 6

0

1+ 3 x

dx =

Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
A.

T = 6.

B.

T = 9.

a 2 b
e + e + c ( a, b, c ∈ ¡
5
3

C.

T = 10.

)

T =a+
. Tính
D.


(

2

2

) (

2

2

1

1

dx =2 ∫ tet dt = 2 tet − ∫ et dt = 2 tet − et
1

a = 10
⇒
⇒ T = 10
b = c = 0

1

1

) = 2 ( 2e − e − e + e ) = 2e .
2


SD
Giả sử
là diện tích hình phẳng
phương án A, B, C, D cho dưới đây?
0

b

a

0

D

. Chọn công thức đúng trong các

S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
A.

.
0

b

a

0

b

Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:

• Đồ thị

O ( 0;0 )

(C )
cắt trục hoành tại

• Trên đoạn
• Trên đoạn

[ a; 0]

f ( x) = − f ( x)

(C )
, đồ thị

[ 0;b]

ở dưới trục hoành nên
f ( x) = f ( x)

( C)
, đồ thị

ở trên trục hoành nên


S = 11.
A.
B.

1

2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5
x

C.

a ,b
, với

S = 5.

Hướng dẫn giải

D.

S = −3.

là


Chọn B.
5

I =∫

dx
1
2
x
x
x
x
2

2 5
5
2
5
3

= ∫  − x ÷dx + ∫  2 − ÷dx = ( 5ln x − x ) + ( 2 x − 3ln x )
1
2
1
2
x
x



a = 8
⇒
⇒ a − b = 11.
= 8ln 2 − 3ln 5 + 4
b = −3

I = ∫ x ln ( 2 x + 1) dx
0

Ta có

Đặt

2

du =
dx

u = ln ( 2 x + 1)

2x +1
⇒

2
dv = xdx
v = x

2

4
x 2 ln ( 2 x + 1)
x2
I = ∫ x ln ( 2 x + 1) dx =
−∫
dx
2

+
ln
2
x
+
1
=
ln 3 − 3
÷

÷
÷
4
4
8
4



0

a = 63
a
63

⇒ ln 3 − c = ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = 70
b
4
c = 3


k = 3 4 − 1.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Oy
Do đồ thị nhận trục

làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
y = 1 − x2 , y = k , x = 0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

bằng diện tích hình

y = 1 − x , y = x − 1, y = k , x > 0.
2

2

phẳng giới hạn bởi :

1− k

∫ (1− x
0

2

− k ) dx =


2
4
( 1+ k ) 1+ k = ⇔
3
3

(

1+ k

)

3

=2

⇔ k = 3 4 − 1.


y = f ′( x)

y = f ( x)

Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số
có đồ thị
cắt trục Ox tại
a
f ′( x )
một nguyên hàm của
.

là

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
b

b

a

a

 y = f ′( x)
y = 0


x = a
 x = b

là:

S1 = ∫ f ′( x)dx = − ∫ f ′( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b )
b

.
S1 > 0 ⇒ f ( a ) > f ( b ) ( 1)
Vì

khác,

dựa

vào

hình

vẽ

ta

có:

S1 < S2 ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) ( 3)
.
Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
f ( a)
(có thể so sánh
f ( b)
sánh

với

Câu 29: Cho tam giác đều

dựa vào dấu của

dựa vào dấu của



Hướng dẫn giải
Đáp án A
SABC = 3 Þ AB = BC = CA = 2
. Chọn hệ trục vuông góc

(

O ( 0;0) , A ( 1;0) , B 0;-

Oxy

)

3

sao cho

AC

với

. Phương trình đường thẳng

AB

O

và so


1

V ¢= pò 3( x - 1) dx = p
0

. Vậy thể tích cần tìm

V = 2V ¢= 2p

.

p
2

2x- 1.cosx
ò 1+ 2x dx
p

-

Câu 30: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của
1
2
A. .
B. 0.
C. 2.

2

D. 1.

2

2x cosx

ò ( 1+ 2 ) .2 dx ( 1)
x

0

2

Ta có:

Đặt

)

p
2

-

x =- t

x=0

ta có

p
2

cost

cosx

ò ( 1+ 2 ) .2 dx = ò ( 1+ 2 ) .2 d( - t) = - ò ( 1+ 2 ) .2 dt = - ò ( 1+ 2 ) .2 dx
x

-t

0

t

0

x

0

0

Thay vào (1) có
p
2

p
2

x


2

p
2

p
2

( 1+ 2 ) cosx dx = cosx dx = sin x
=ò
ò 2
2
( 1+ 2 ) .2
x

p
2

x

0

0

0

=

1
2

A. 8.

.

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
. Tính

B. 9.

1

C. 6.

.
D. 7.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
3

3

3

1

1

1


v = 2

3

3

3

1

1

1

.
3

3

u = ∫ f ( x ) dx v = ∫ g ( x ) dx
1

, trong đó

,

1

.


.
1

(


V = π ∫  3 + 1 − x2
−1 

Đặt

) (
2

− 3 − 1 − x2

x = sin t ⇒ dx = cos t.dt

⇒ V = 12π

π
2

∫π

−

2

. Với


2

.

.

tdt = 6π 2

.

Oxyz

( E)

Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ
cho
có phương
2
2
x
y
+
= 1, ( a, b > 0 )
( E)
( C ) : x 2 + y 2 = 7.
a 2 b2
trình
và đường tròn
Để diện tích elip


= 1, ( a, b > 0 ) ⇒ y =

b 2
a − x2
a

.

a

( E)
Diện tích

Đặt

a

b a2 − x2 dx
b
= 4 ∫ a2 − x2 dx
a
a0
0

S( E) = 4∫

là

 π π


∫ x.ln ( 2 x + 1)
0

Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân
b
c
phân số
tối giản. Lúc đó
b + c = 6057.
b + c = 6059.
b + c = 6058.
A.
B.
C.

2017

b
dx = a + ln 3
c
. Với

D.

b + c = 6056.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1


2 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

1
  x2 1  2 
 x2 1 
x
.ln
2
x
+
1
d
x
=
ln
2
x
+
1
−
−
)
))
( (

ln 3.
8
8


b + c = 6059.

S
Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 2
y , ( m > 0)
2 mx =
2my = x ,
S =3
m
2
. Tìm giá trị của
để
.

A.

3
m= .
2

B.

m = 2.

 y = 2mx ≥ 0
1 2
y ⇔ y 2 = 2mx ⇔ 
2
 y = − 2mx < 0

.
mx =

2my = x 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
x = 0
1 2
x = 2mx ⇔ x 2 = 2m 2mx ⇔ x 4 − 8m3 x = 0 ⇔ 
2m
 x = 2m
2m

S=

∫
0

Khi đó

1 2
x − 2mx dx =
2m

2m

S =3⇔

Để

2m

0

4m 2
=
3

.

4m 2
9
3
= 3 ⇔ m2 = ⇒ m =
3
4
2

(do

m>0

).

( H)
Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi

.

D.

π a3
4

Tính

.

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.

( H)

Oxyz

Ta gọi trục tọa độ

như hình vẽ. Khi đó phần giao

một phần tư hình tròn tâm
trục

Ox

O

bán kính


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất