PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC)Gọi S  t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng

y

1

 x  1 x  2

2

, y  0 , x  0 , x  t (t  0) . Tìm lim S  t  .
t 

1
A.  ln 2  .
2

1
B. ln 2  .
2

C.

1
 ln 2 .
2


 4a  c  1
c  3


2

*Vì trên  0;t  , y 

1

 x  1 x  2 

2

 0 nên ta có:

t 
t 

1
1
x3 
Diện tích hình phẳng: S  t    
d
x




2

 ln 2  .
t2 t2
2

1
 t 1 
 t 1 
 1  lim ln 
 0 và lim
*Vì lim 
0


t  t  2
t 
t  t  2


t2

1
1
1
 t 1

 ln 2    ln 2  .
Nên lim S  t   lim  ln
t 
t 
2

 dx  0,193
  x  1 x  2 2 



Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta đƣợc đáp án B.


Câu 2:



1
sin x
(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích phân I  
dx và J  
dx
1  tan x
cosx  sin x
0
0
 
với    0;  , khẳng định sai là
 4


cos x
dx .
cosx  sin x
0

0
0



0

 ln cos   sin  B đúng



I  J   dx  x 0   D đúng.
0

Câu 3:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x  

x

  4t

3

 8t  dt . Gọi m, M lần lƣợt là

1

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên đoạn  0;6 . Tính M  m .
A. 18

Đáp án: C.
Câu 4:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử

 x 1  x 

các số nguyên dƣơng. Tính 2a  b bằng:
A. 2017 .
B. 2018 .

2017

1  x 
dx 

a

a

C. 2019 .

1  x 

b

b

 C với a, b là


2018

1  x 


2019

2019

C

Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 .
Chọn D.
Câu 5:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
và
e 3
x

1
F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của phƣơng trình 3F  x   ln  x3  3  2 là:
3
A. S  2 .
B. S  2; 2 .
C. S  1; 2 .
D. S  2;1 .
Hướng dẫn giải

3
Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2
Chọn A.
Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn  2; 6  và
3

thỏa mãn


2

6

A.  [3g ( x)  f ( x)]dx  8

C.

6

6

3

3

f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
3



6

3

2

f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10
6

6

6

3

3

3

Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15  7  8 nên A đúng
3

3

3

2

2


6

3

3

3

đúng

[4f ( x)  2 g ( x)]dx   [4f ( x)  2 g ( x)]dx  4  f( x)dx  2  g ( x)dx  28  10  18

Nên D sai
Chọn đáp án D
Câu 7:

(NGUYỄN
KHUYẾN
TPHCM)
Giả
2x
3
2
3
2
2x
 e (2 x  5x  2 x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C . Khi đó a  b  c  d bằng
A. -2


a  1
3a  2b  5
b  1



Do đó 
. Vậy a  b  c  d  3 .
 2b  2c  2
c  2
c  2d  4
d  3
5

Câu 8:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho

biết

 f ( x)dx  15

.

Tính

giá

1


3

x 0t 5
x  2  t  1

đặt

nên

5
5
5

dt
1
1
P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t ) dt  7  dt 
3
3 1
3  1
5
1

1

1
1
 .15  .7.(6)  19
3
3

b

b

a

1

 adx   dx  3  b 1  3  b  4
Vậy a  b  1  4  5.
ln 2

Câu 10: (TRẦN HƢNG ĐẠO – NB) Biết rằng:



  x  2e
0

1 
1 a
5
 dx  ln 2  b ln 2  c ln . Trong đó
1 
2
3

x

a, b, c là những số nguyên. Khi đó S  a  b  c bằng:


x
2

1
x

2 ln 2

1

0



ln 2

 2e
0

1
dx .
1

x

2

ln 2
2

  x  2e
0

1 
1 2
5
 dx  ln 2  ln 2  ln  a  2, b  1, c  1
1 
2
3

x

Vậy a  b  c  4 .
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số

1 2
 x  4 x  3 và hai tiếp tuyến của  C  xuất phát từ M  3; 2  là
2
8
5
13
11
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3

1 2
x0  4 x0  3  

2
 x0  5  y  3x  11

Diện tích hình phẳng cần tìm

S



3

1

1 2

 2  x  4 x  3    x  1 dx 



5

3

8
1 2

 2  x  4 x  3   3x  11  dx  3


Đặt 
. Ta có

dx
1
d
v

v

tan
x

1  cos 2 x

2






1
1 
 1
 1 1  1
1
1
I  x tan x 4   4 tan xdx   ln cos x 4   ln


B. 5.

3


1

C. 6.

5

f  t  dt   f  t dt
3

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

Ta có


0

1

5


3

1

3

9   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  3   f  t  dt   f  t  dt
0

3

5

1

3

  f  t  dt   f  t  dt  6.
ln 2



Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân

0

A. 1.

e2 x1  1
a



0

ln 2
0

e x 1dx 

ln 2


0

e x dx 

ln 2



e x 1d  x  1 

ln 2

0

 e d x 
x

0


l các số nguyên. Tính a  b  c  d .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


A. a  b  c  d  28 .

B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 .

D. a  b  c  d  22 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

I





3

3









3



1  x 6  x3 sin xdx .

3




 x   3  t  3
Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận 
.
x    t   

3
3


I





3


3

3

 x



3







3

3

3

3

(+)

 sin x

3x 2




 sin x


3 2
 2  6 3

27
3
3
Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .
I    x3 sin x  3x 2 cos x  6 x sin x  6sin x  3 

3





Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn
4

a
sin x
2
0 1  3cos x dx  3 .

A. 2 .

sin x
2
2
2
2
dx   dt  t   2  A    A  1  1  3cos a  1  cos a  0
3
3 A 3
3
1  3cos x
A

 k  k 

 . Do

Bình luận: Khi cho a 

1
3 k  0

  
a   ; 2     k  2    k   
.
4 2
4
2 k  1
4



Hướng dẫn giải
Chọn A.

Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm của các đƣờng. Ta có:
 2x   x  3  x  1
 2x  1  x  0
 x  3  1  x  2
1

2

 2x
   x2

1 1
Diện tích cần tìm là: S    2  1 dx     x  3  1 dx  
 x 
 2x  

 ln 2
0  2
 1 ln 2 2
0
1
1

2

x


7
7
7
0
0
0
5

Do

0

6

sin 7 a  1  sin a  1  a 

đó



1
 k 2  20    k  10 và k 
2
2
n 1

Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của lim

n 


Chọn D.
n 1

Ta có: I 

1

 1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x  dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n  t  1  en ; x  n  1  t  1  en1
1 en1



Khi đó: I 

1 en

1
dt 
t  t  1

1 en1


n

Mà

1  en
1  e n 1

1
  1 1
1
e
  n
 khi n   , Do đó, lim I  1  ln  0
n 
e
e
1

e
 
e

6

Câu 20: (THTT – 477) Nếu  sin n x cos xdx 
0

A. 3.

1



6

t 

1
.
64

n





n 1
có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu).
64

n 1

1
2

nên


Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d ,  a, b, c  , a  0  có đồ thị



f  x    f   x  dx    3x2  3 dx  x3  3x  C .

 C  tiếp xúc với đƣờng thẳng
f   x0   0  3x02  3  0  x0  1.

y  4 tại điểm có ho nh độ x0 âm nên

Do

Suy ra f  1  4  C  2   C  : y  x  3 x  2
3

 x  2
.
x 1

Xét phƣơng trình x  3 x  2  0  
3

 x
1

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3

2

 3x  2  dx 

B. I  5.

C. I  2.

D. I  14.

Hướng dẫn giải

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


Chọn D.
a

Vì f  x  là hàm số chẵn nên



a

3


1

2

2


1
1
f  u  du   f  x  dx  3   f  x  dx  6

22
22
2
6

6

2

6

1

1

1

2

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14.
Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
A. T  6.

1

 3e


  3e
0

13 x

2



2

 

dx 2 tet dt 2 tet   et dt  2 tet  et
1

2

1

1

2

2

1

1


a

0

A. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

B. S D    f  x  dx   f  x  dx .

C. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

D. S D    f  x  dx   f  x  dx .
Hướng dẫn giải



0

+ Do đó: S D   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
5

Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƢƠNG – GL) Biết I  
1

các số nguyên. Tính S  a  b.
A. S  9.
B. S  11.

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là
x

C. S  5.

D. S  3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
5

Ta có: I  
1

2
5

1
2
x
x
x
x
2

2 5
5
2
5
3

    x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x 
1
2
1
2
x
x



a  8
 a  b  11.
 8ln 2  3ln 5  4  
b  3
4


u  ln  2 x  1 
2x 1
Đặt 

2

dv  xdx
v  x


2
4
x 2 ln  2 x  1
x2
I   x ln  2 x  1 dx 

dx
2
2
x

1
0
0
0
4

4

4

4

Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  1 và

y  k ,0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng
đƣợc kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A. k  3 4.
B. k  3 2  1.

1
C. k  .
2
D. k  3 4  1.
Hướng dẫn giải


Chọn D.
Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  k , x  0 bằng diện tích hình phẳng giới
hạn bởi : y  1  x2 , y  x2 1, y  k , x  0.

1 k

 1  x
0

2

 k dx 



2
4
1  k  1  k  
3
3



1 k



3

 2  k  3 4  1.

Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ( x) cắt trục Ox tại ba
điểm có ho nh độ a  b  c nhƣ hình vẽ. Mệnh đề n o dƣới đây l đúng?
A. f (c)  f (a)  f (b).
B. f (c)  f (b)  f (a).
C. f (a)  f (b)  f (c).
D. f (b)  f (a)  f (c).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên các
đoạn  a; b  và b; c  , lại có f ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề

b

 x  c
c

c

b

b

S2   f ( x)dx   f ( x)dx  f  x  b  f  c   f  b  .
c

S2  0  f  c   f  b   2  .

Mặt

khác,

dựa

vào

hình

vẽ

ta


AB

BC

2 . Chọn hệ trục vuông góc Oxy

CA

sao choO 0;0 , A 1;0 , B 0;

3

với O

Phƣơng trình đƣờng thẳng AB là y

l

trung điểm AC .

3 x

1 , thể tích khối

tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính bởi

D.V

7
.

1
.
2

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2

2

2x 1 cos x
dx
1 2x

Ta có:

2

2x cos x
2x .2

1

0

dx
0

0, x

2 t cos
1

2

t
t

.2

2

thì t
2

d

t
0

2

và dx

cos t


2x cos x
2x .2

1

2

dx
0

cos x
1

2x .2

dx

2

2

2x cos x

1
1

0

2


1
2

2

Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3
3

thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 .
1

A. 8.

B. 9.

3

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính
1

C. 6.

3

  f  x   g  x  dx .
1

D. 7.



1

1

 Tƣơng tự   2 f  x   g  x   dx  6  2 f  x  dx   g  x  dx  6 .
3
3
u  3v  10
u  4

 Xét hệ phƣơng trình 
, trong đó u   f  x  dx , v   g  x  dx .
2u  v  6
v  2
1
1

3

3

3

1

1

1





2


2
 dx  12  1  x dx .
1
1



 x  1  t  2
Đặt x  sin t  dx  cos t.dt . Với 
.
 x  11  t   

2


 V  12

2







b
diện tích hình tròn  C  khi đó
A. ab  7 .

B. ab  7 7 .

C. ab  7 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

x2
a

2



y2
b

2

 1,  a, b  0   y 

b 2 2
a x .
a

b a2  x 2 dx

Theo giả thiết ta có S E  7.SC    ab  49  ab  49.
1

Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân

 x.ln  2 x  1
0

b
tối giản. Lúc đó
c
A. b  c  6057.
B. b  c  6059.

2017

b
dx  a  ln 3 . Với phân
c

số

C. b  c  6058.

D. b  c  6056.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1


 2 8  0 0   2 8  2x 1 
0
1

1

 x2  x 
3
3
 ln 3  
  ln 3
8
 4 0 8
1

 I   x.ln  2 x  1

2017

0

3
 6051
dx  2017  ln 3  
ln 3.
8
8


Khi đó b  c  6059.

y  y 2  2mx  
2
y


2
mx

0


Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm của 2my  x2 và mx 

1 2
y ta có
2

x  0
1 2
.
x  2mx  x 2  2m 2mx  x 4  8m3 x  0  
2m
 x  2m
2m

Khi đó S 


0


.

3

4m 2
9
3
 3  m2   m  (do m  0 ).
3
4
2

Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi  H  là phần giao của
1
hình trụ có bán kính a , hai trục hình
4
trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính
thể tích của  H  .

hai khối

A. V H 

2a 3
.

3

C. V H  


a

0

0

2
2
 S  x  dx    a  x dx 

2a 3
.
3


2

Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên a, b thỏa mãn

3

  2 x  1 ln xdx  a  2  ln b .
1

Tính tổng P  a  b .
A. P  27 .

B. P  28 .

C. P  60 .

1
dx
x

 x2

3
3

 6 ln 2    x  1 dx  6 ln 2    x  12  6 ln 2   4    4   ln 64
2
2

 2

1
2

P  a  b  4  64  60 .
Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những
mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh đƣợc
trồng một lo i hoa v nó đƣợc tạo thành bởi một trong
những đƣờng cong đẹp trong toán học. Ở đó có một
mảnh đất mang tên Bernoulli, nó đƣợc tạo thành từ
đƣờng Lemmiscate có phƣơng trình trong hệ tọa độ Oxy

y

là 16 y 2  x 2  25  x 2  nhƣ hình vẽ bên.


Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tƣơng ứng với 4 lần diện tích của
mảnh đất thuộc góc phần tƣ thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .

1
Từ giả thuyết bài toán, ta có y   x 5  x 2 .
4
Góc phần tƣ thứ nhất y 

1
x 25  x 2 ; x   0;5
4

5

Nên S( I ) 

1
125
125 3
x 25  x 2 dx 
S 
(m )

40
12
3

Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V là thể tích khối tròn y
xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đƣờng y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đƣờng


Ta có M a; a

0



Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:
 Hình nón  N1  có đỉnh là O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ;
 Hình nón

 N2 

thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2  HK  4  a , bán kính đáy

R  MK  a
1
1
4
Khi đó V1   R 2 h 1   R 2 h 2   a
3
3
3
4
Theo đề bài V  2V1  8  2.  a  a  3 .
3
Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y  x2  4x  4 , trục tung và trục ho nh. Xác định k để đƣờng thẳng  d  đi qua điểm
A  0; 4  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau.


2

2

Phƣơng trình đƣờng thẳng  d  đi qua điểm A  0;4 

y

có hệ số góc k có dạng: y  kx  4 .

4

 4 
Gọi B l giao điểm của  d  và trục ho nh. Khi đó B  ;0  .
 k 

Đƣờng thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích
bằng nhau khi B  OI và SOAB 

1
4
S .
2
3

x

O B1 I
d


Câu 41: (CHUYÊN
6 2
3


1

TUYÊN

QUANG

–L1)

Tính

tích

phân

4 x 4  x 2  3
2
dx 
a 3  b  c  4 . Với a , b , c l các số nguyên. Khi đó
4
x 1
8






2

dx  4 x 1

6 2
2

6 2
2


1


x 1 
 4  4
 dx  4
x 1 

2

6 2
2



dx 


2


1

1
x 2 dx 
1
x2  2
x
1

6 2
2


1

1
x2
dx.
2
1

x  2
x

1

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề


 

.

2

Đặt

2

t  2 tan u  dt  2 1  tan 2 u  du .

Khi

t  0  u  0


.
t

2

u


4

4


8
2 1  tan u 

a  b  16
4 x 4  x 2  3
2
.
dx 
16 3  16    4  
4
x 1
8
c  1





Vậy a  b2  c4  241 .
Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S 2  có cùng bán kính R thỏa mãn

tính chất: tâm của  S1  thuộc  S 2  và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của
hai khối cầu tạo bởi (S1 ) và ( S2 ) .
A. V   R3 .

B. V 

 R3
2



là

 C  : x2  y 2  R2
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
R

V  2 
R
2



R

 2
x3 
5 R3
.
R  x dx  2  R x   
3 R
12

2

2



2


5
2

B. m   .

C. m  .

5
4

D. m  .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử x  b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 4  3x 2  m  0 . Khi đó ta
có
b 4  3b 2  m  0 (1)

Nếu xảy ra S1  S2  S3 thì
b

x
0

4



 3x 2  m dx  0 