BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

NGUYỄN TIẾN TRUNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
TOÁN ỨNG DỤNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội - 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo. Tôi cũng xin cam đoan rằng luận văn
không trùng lặp với các luận văn đã công bố và các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Nguyễn Tiến Trung

1


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................1

Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP KIỂU FOURIER ........................41
3.1. Các bất đẳng thức tích chập kiểu Fourier. .................................................. 41
3.2. Một số ứng dụng ......................................................................................... 52
3.2.1. Biến đổi Hardy .....................................................................................52
3.2.2. Biến đổi Meijer.....................................................................................53
3.2.3. Phương trình truyền nhiệt đối xứng qua biên ......................................54
3.2.4. Phương trình tích phân .........................................................................55
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................57
KẾT LUẬN ...................................................................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................59

3


LỜI MỞ ĐẦU
---o0o---

1. Lý do chọn đề tài.
Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân đã được các nhà toán học bắt
đầu nghiên cứu từ khoảng thế kỷ 19. Đầu tiên là tích chập của phép biến đổi Fourier
/( )

.

∫

√

(


việc đánh giá ước lượng nghiệm, đây là hướng nghiên cứu mới được nhiều nhà toán
học quan tâm. Đây là cơ sở để tôi chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích chập và ứng
dụng”. Cụ thể, luận văn trình bày các bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier,
tích chập suy rộng trong không gian có trọng và ứng dụng các bất đẳng thức này
trong đánh giá nghiệm của các phương trình tích phân, nghiệm phương trình vi
phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt và một số biến đổi tích phân…
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu các bất đẳng thức tích chập và ứng dụng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

4


Nghiên cứu các bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy
rộng và ứng dụng đánh giá nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình
truyền nhiệt, một số biến đổi tích phân.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Dựa trên lý thuyết các phép biến đổi tích phân, tích chập, các kết quả của
giải tích, giải tích hàm.
- Sử dụng các phương pháp kiến thiết và chứng minh bất đẳng thức từ các bài
báo [5, 7, 11, 12].
5. Bố cục luận văn.
Ngoài phần Mở đầu và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội
dung như sau:
Chƣơng 1: Kiến thức cơ sở.
Nội dung của chương này trình bày kiến thức cơ sở bao gồm các định nghĩa
của các tích chập đối với các phép biến đổi tích phân và một số bất đẳng thức tích
chập đã được nghiên cứu.
Chƣơng 2: Bất đẳng thức tích chập Fourier và tích chập suy rộng.
Chương này nội dung chủ yếu trình bày các bất đẳng thức tích chập Fourier và

6


Chƣơng 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, luận văn trình bày định nghĩa tích chập Fourier, các tích
chập kiểu Fourier và các tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine cùng một
số bất đẳng thức tích chập. Các kiến thức này là cơ sở cho các nội dung sẽ trình bày
trong Chương 2 và Chương 3. Nội dung của chương này được trình bày dựa vào các
tài liệu ([2, 3], [5 - 8], [10, 12]).
1.1. Tích chập
1.1.1. Tích chập Fourier.
Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân bắt đầu được nghiên cứu
từ đầu thế kỉ 19. Đầu tiên là tích chập đối với phép biến đổi Fourier
/( )

.

(

∫

) ( )

(

)

(


( ) (
∫ ̅̅̅̅̅̅̅

.

/( )

( ) (
)
∫ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

)

(

)

(

)

(

)

Từ các kiểu tích chập mới này, nhóm tác giả đã nhận được một số bất đẳng thức có
các ứng dụng quan trọng liên quan tới phương trình tích phân có nhân kiểu tích chập.

7



(

)|

(

)

(

*( )

( ) ( (
∫ ̅̅̅̅̅̅̅

)) |

(

)|

(

)

(

*( )


trên D. Như vậy, ‖ ‖
‖ ‖

và

(

và
(

). Cho

) của hàm biến phức đo

trong đó:
4∫

| ( )|
( )

5

(

)

và F = 0 bên ngoài miền hỗ trợ của trọng .
Từ các tích chập (1.1.6) tới (1.1.9), nhóm tác giả đã đưa ra được một số bất
đẳng thức tích chập và áp dụng chứng minh một số ứng dụng như tính bị chặn của
biến đổi Hardy và Meijer, đánh giá nghiệm của phương trình vi phân trong không


(

)

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
/( )

.
Trong đó,

)( ) (

(

)( )

là phép biến đổi Fourier sine.
(

√ ∫ ( )

)( )

Cùng năm 1951, Sneddon đề xuất tích chập đối với phép biến đổi Fourier
cosine:
Định nghĩa 1.2. Tích chập Fourier cosine có dạng như sau
/( )

.


)( )(

)( )

(

)

là phép biến đổi Fourier cosine.
(

)( )

√ ∫ ( )

Đến năm 1998, V. A. Kakichev, N. X. Thảo và V. K. Tuấn đưa ra tích chập
suy rộng Fourier cosine [6]:
Định nghĩa 1.3. Tích chập suy rộng Fourier cosine có dạng
.

/( )

√

∫ ,

(

) (|

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:

Cho

⁄

∫|

|

4∫ | |

5

⁄

4∫ | |

5

(

)

(

)

Bổ đề 2.2. [10] (Bất đẳng thức Holder ngược)
Cho hai hàm dương

chập Fourier dưới đây.
Định lý 1.1. (Định lý Young)
( )

Cho
|∫ .

/( ) ( )

( )
‖ ‖

|

10

( )‖

( ). Khi đó, ta có
‖

( )‖

‖

( )

(

)

)

(

)

(

)

( )

Chú ý: Bất đẳng thức Young không còn đúng trong trường hợp
Định lý 1.2. (Định lý Young ngược)
( )

Cho

( )

( ) và

( ) ( )
(
) ( ) ( )

( )
( )

Khi đó, ta có

(

59

)(

*

(

*

( ) bất đẳng thức (1.2.3), (1.2.4) và (1.2.5)

không đúng. Tới năm 2000, nhóm tác giả S. Saitoh , V. K. Tuấn và M. Yamamoto
đã giới thiệu các bất đẳng thức tích chập Fourier trong các không gian
hàm trọng không triệt tiêu ( ) mà trong đó thỏa mãn trường hợp

(

) với
( ).

Các bất đẳng thức này sẽ được luận văn trình bày chi tiết trong Chương 2.
1.2.3. Bất đẳng thức tích chập Fourier cosine
Năm 2010, đối với tích chập Fourier cosine, tác giả Nguyễn Thanh Hồng đã
đưa ra định lý kiểu Young và bất đẳng thức kiểu Saitoh [7].

11


‖

(

). Khi đó, ta có

)

(

)

Hệ quả 1.2. (Bất đẳng thức kiểu Young)
thỏa mãn

Cho
Khi đó, ta có .

(

/

(

với mọi hàm

‖

)


Cho hai hàm không triệt tiêu

) sao cho .

/ tồn tại. Khi đó, ta có

bất đẳng thức sau:
‖(

) (

).

/

‖
(

)

‖ ‖
(√

(

|

|) ‖

‖

)

12

(

)

(

) và


( ) ( )
(
) ( ) ( )

( )
( )

Khi đó, ta có
∫ .
ở đây với

/( ) ( )

√

‖ ‖



Khi đó, với bất kỳ các hàm dương
‖(

) (

).

/

, ta có có bất đẳng thức tích chập ngược:

‖
(

{
(√
với

.

(

)

*}

)

( ) xác định trong (1.2.6).

Các nội dung nói trên là những kiến thức cơ sở để tôi nghiên cứu tiếp ở các
chương tiếp theo.

14


Chƣơng 2
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP FOURIER
VÀ TÍCH CHẬP SUY RỘNG
2.1. Các bất đẳng thức tích chập Fourier.
Trong phần này, luận văn trình bày chi tiết các bất đẳng thức cho tích chập
Fourier trong không gian có trọng trên cơ sở bài báo [11]. Ý tưởng này của Saitoh
và cộng sự thực sự thú vị và là công cụ đắc lực trong nhiều ứng dụng và mở rộng
hướng nghiên cứu đối với tích chập của các phép biến đổi tích phân khác.
2.1.1. Bất đẳng thức kiểu Saitoh
( )(

Định lý 2.1. Cho hai hàm không triệt tiêu

). Khi đó, ta có bất

đẳng thức:
‖(

) (

).

/


‖ ‖

(

8∫ | ( )|

)

( )

9

Chứng minh.
Đặt
( )

( ) (

( )

( )

(

và

ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Holder cho
∫ | ( ) ( ) (


)|

9

(

)

(

)

(

)

hai vế (2.1.3) ta được

8∫ | ( ) ( ) (

) (

)|

∫ |

9 8∫ | ( ) (

( )


) (

9

)|

Sử dụng công thức tích chập Fourier (1.1.1) đồng thời lấy lũy thừa

hai vế của

(2.1.5) ta được:

:∫ :((

) (

)* .

4∫ |

( ) ( )|

/

;

;

5 4∫ |

‖(
trong đó

)

‖

‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

ở vế phải của (2.1.7) đều hữu hạn.

Bất đẳng thức (2.1.7) cho phép chúng ta ước lượng hàm đầu ra có dạng:

16

)


( )

( ) ( ) (

∫

)

(


*}

)‖

(

‖

(

(

)

)

( ) xác định trong (1.2.6).

với

Chứng minh.
Đặt
( )

( )

(

( )


) ( ) (

)

và

như sau:

( ) (

9 8∫

Lũy thừa p hai vế của bất đẳng thức ta có:
8∫

( )

( ) (

) (

)9 8∫

17

( ) (

)

9

chạy từ

thức sau:
(

( )

∫ (8∫

{

(

( ) (

*}

) (

( )

∫

( )

)

9 8∫

∫

)

(

). Khi đó, ta có bất

đẳng thức
‖

‖

( )

{

(

*}

‖ ‖

( )

‖ ‖

(

)) ‖

∫

(

*}

8∫

( )

9

)

∫

( ) ( )

Sử dụng công thức tích chập Fourier (1.1.1) và lũy thừa 1/p haivế (2.1.13) ta có
‖

‖

( )

{

(

*}

‖ ‖


(

*}

)5

( )

4∫

5

( ) ( )

∫

nếu các hàm dương liên tục

∫

(

)

-

(

)


.

̅ tương ứng là các hàm mở rộng lẻ của

(
xác định trên

Chứng minh.
Với mọi

ta có
(̅

)

(

) (|

|)

Do đó
. ̅

. Khi đó, ta có

̅/ ( )

(̅


(̅

∫

∫

(̅

) ̅( )

∫

∫

(

) ( )

∫

∫

, (

√

.

)


(̅

∫

) ̅( )

∫

(̅

) ̅( )

∫

(̅

) ̅(

∫

(̅

) ̅( )

∫

(̅

. ̅

√ ‖ ‖

(

)‖

‖

(

)‖

‖

(

)

(

)

/ ( ) là tích chập suy rộng Fourier cosine được định nghĩa trong công

với .

thức (1.1.13).
Chứng minh.
Đặt


) (|

|)

(

) (|

)| | ( )|

(

|)

(

)|

Ta có
(

(

Mặt khác, trong không gian
‖ ‖

(

)


) (|
|)

) (|
) ta có

∫ 4∫ |
(

Chú ý rằng hàm

(

(

|)
(

|)|

)|

)|

∫ | (

)|

21


(

)

(

)

(

)

(

)

Tương tự, ta có
‖ ‖

(

‖ ‖

)

(

)‖

‖


‖

)‖

(

‖

(

‖ ‖

)

(

)‖

‖

(

)‖

‖

(

)

‖

(

(

)‖

)‖

‖

(

|)
‖

(

(

)|| ( )|| ( )|

)

)

Ta có điều phải chứng minh.
Cũng giống như bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier, bất đẳng
thức kiểu Young sau đây là hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.3.


√ ‖ ‖

)

)‖

(

‖

(

(

)

)

Định lý 2.4. (Bất đẳng thức kiểu Saitoh)
sao cho tích chập .

Cho hai hàm không triệt tiêu

/ tồn tại. Khi đó, ta có bất

đẳng thức sau:
‖.(

)


)

)

với mọi
(

| |) (

)

Chứng minh.
, áp dụng (2.2.1) ta có

Với mọi

/( )

.
((

)

(

)* ( )

√
√

‖
(

)

‖(( ̃ ̅̅̅) (̃̅̅̅)* .̅̅̅ ̅̅̅/
(√

‖

)

(
(

)

Vì (( ̃ ̅̅̅) (̃̅̅̅)* ( ) và .̅̅̅ ̅̅̅/ ( ) là các hàm chẵn xác định trên
‖(( ̃ ̅̅̅) (̃̅̅̅)* .̅̅̅ ̅̅̅/

nên

‖
(

)

‖(( ̃ ̅̅̅) (̃̅̅̅)* .̅̅̅ ̅̅̅/

‖

‖ ‖

(√

‖
( )

‖̃‖

(

‖̃‖

|̅̅̅̅|) ‖

‖

( |̅̅̅̅|)

(

|̅̅̅̅|)

)

Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.4. Trong nhiều trường hợp, ta xét
( )

( )