UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1(2,0 điểm).

 x y
x  y   x  y  2xy 

Cho biểu thức: P  
 :  1 
 (với x  0, y  0, xy  1 ).
 1  xy
1

xy
1

xy




a) Rút gọn biểu thức P .
b) So sánh P và P .
Câu 2 (2,0 điểm).

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)

ĐỀ CHÍNH THỨC

( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )
Nội dung
Câu 1

Câu

a)
1,25
điểm


P







 
xy 1 


0,5



2 x 1  y 
2 x

1  x 1  y  1  x

0,25

Ta có: P  0 x  0

0,25

b)
2 x 2 x
0,75 Lại có x  1  2 x với x  0 nên P 

1
x 1 2 x
điểm
Vậy 0  P  1  P  P
Câu 2
5
3
10x  1  9x  4 

0,25

9x  4  2x  2 
 10x  1  9x  4
1
1
5

 0 x 
 x  3 (thỏa mãn) vì
3
10x  1  9x  4
9x  4  2x  2
Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 .


0,25
0,25

0,25

Gọi K đối xứng với I qua tia Oy, suy ra K( -2;1)
Gọi H đối xứng với I qua tia Ox, suy ra H(2; -1)
Ta có: AI  AH , BI  BK suy ra IA  IB  AB  AH  AB  BK  HK
b)
1,0 Dấu "="  H , A, B, K thẳng hàng hay A, B là giao điểm của đường thẳng HK
điểm với tia Ox, Oy tương ứng.
phương trình HK : y 

1
x , suy ra A  B  O  0;0  .
2



Suy ra 2a  1 mod 3 suy ra a là số chẵn hay a  2c c  * .
Phương trình trở thành: 369  b 2  22 c  41.3.3   b  2c  b 2  2c 
Do b  2c  b  2c suy ra:

 b  2 ; b  2   41;9  ;  369;1 ;  41.3;3
  b; 2    25;16  ; 185;184  ;  63; 60 
c

c

0,25

c

  b; c    25; 4 

Vậy n  a  2008  2c  2008  2016 là số cần tìm.
Câu 4

C
B
I

F
E

a)
K O


2

Ta có CI là đường phân giác trong của BCF 

BI CB

(1) (t/c đường phân
IF CF

giác của tam giác)
Lại có 
ACD  900  CD  CI  CD là phân giác ngoài của tam giác BCF

b)
1,0
BD CB
điểm suy ra:

(2) ( t/c đường phân giác của tam giác)
DF

CF

Từ (1) và (2), có:

BI BD

 BI .DF  BD.IF
IF DF

điểm Mặt khác CI là phân giác BCK
  BCK
 , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
Từ (3) và (4) suy ra BEK
  EBC
  EBK
  EKF EBK  EK 2  EB.EF .
Suy ra EKC
Mà EK  ED ( chứng minh trên)Suy ra: ED 2  EB.EF
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy
ra: r  AB  BD  AD  AB  BD  2 R
d)
1,0 Suy ra r lớn nhất 2 AB  BD lớn nhất.
2
2
2
2
điểm Ta có:  AB  BD   2  AB  BD   2 AD  8 R

 AB  BD  2 2 R ( dấu " =" xảy ra khi

AB  BD  R 2 )

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25



 x y  y z   z x

1 1 1
9
VT(*)              2018      2  2  2  2018.
 15
x yz
 y x  z y  x z 
x y z
2018
2015
2015
2015
a
;b
;c
Dấu “=”  x  y  z 
3
6
9
12

Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
---HẾT---

0,25
0,25

0,25