MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trang
1
1
1
2
2
2
2
3
19
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát
triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước.
Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng

- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc
bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả
năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực
độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội
ngũ học sinh giỏi toán ngày một khả quan hơn. Với các lí do trên, tôi xin trình
bày đề tài “Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 6 bậc THCS” hi vọng
góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giáo viên tìm cách khai thác bài toán ban đầu để giúp học sinh phát triển thành
bài toán mới khó hơn, phức tạp hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để giúp học sinh khá, giỏi
lớp 6 bậc THCS khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu : Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách
giáo khoa, sách tham khảo,…
2


- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh
nghiệm cho lớp học sinh sau.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn
tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều
chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học
tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập
chưa cao.
3


- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố,
khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức
mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,
sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi nói chung.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,
phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan
trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em học sinh , giúp học sinh có hứng
thú hơn khi học toán.
- Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp. Trong năm học 2016 – 2017, tôi được giao nhiệm
vụ dạy Toán 6. Khối 6 có 2 lớp với tổng cộng 68 học sinh, số học sinh khá, giỏi
toán là 19 em. Giữa học kì I của năm học, tôi kiểm tra kiến thức toán của học
sinh với đề kiểm tra khảo sát như sau: (Thời gian: 60 phút)
Bài 1(4 điểm): Tính các tổng sau:
a. A = 1 + 2 + 3 + ... + 50
b. B = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
c. C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 49.50
d. D = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Bài 2(3 điểm): Tính các tổng sau:
a. A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
b. B = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 502
Bài 3(3 điểm):

3

Tỉ lệ ( % )
15,8

2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em
tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các
hình thức như:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? từ bài toán đã cho có rút ra được
bài toán tổng quát không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán
mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
4


Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết
quả ba bài toán tính tổng ở lớp 6 quen thuộc. Nhằm giúp học sinh thấy được cái
hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong số học nói riêng. Từ đó,
giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm
yêu thích môn Toán hơn, nâng cao chất lượng mũi nhọn. Đặc biệt kết quả học
tập môn toán ngày càng được nâng lên rõ rệt.
Từ kết quả của một bài toán ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có
thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo
ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ:
1. Dạng 1: Khai thác, phát triển từ một số bài toán liên quan đến tính
tổng các số tự nhiên, tổng lũy thừa với các cơ số và số mũ là các số tự nhiên
1.1. Bài toán 1 và các hướng khai thác bài toán 1:
Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Có nhiều cách ghép cặp, tuy nhiên thông thường ta nên ghép cặp như sau: số
hạng đầu với số hạng cuối.
Bước 3: Tính tổng đã cho bằng cách chuyển tổng cần tìm về tìm tích
Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát của bài toán 1.
5


Bài toán 1.1:
Tính tổng: B = 1 + 2 + 3 + . . . + n (với n ∈ N*)
Từ cách giải bài toán 1 ta có công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp
từ 1 đến n (Với n∈ N* ) như sau:
1 + 2 + 3 + .... + n =

n(n + 1)
với n∈ N *
2

Vậy dựa theo công thức tổng quát này để tính tổng dãy số cách đều
Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa các số hạng trong
dãy của bài toán 1
Bài toán 1.2: Tính tổng: a) C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
b) D = 2 + 4 + 6 + ...+ 100
Giải
(1 + 49).25 50.25
=
= 25 2 = 625
2
2
( 2 + 100).50 102.25
=

Từ đó hãy vận dụng phương pháp làm của bài toán 1.1 để giải bài toán
này? ( giáo viên yêu cầu ). Và ta có cách làm như sau:
6


Giải
Ta có:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .....+ (x + 48) + (x + 49) = 1275
( x + x + x + .....................+ x) + (1 + 2 + 3 + ..........+ 48 + 49) = 1275
50 số hạng

50.x +

(49 + 1).49
= 1275
2

50.x + 1225 = 1275
50.x
= 1275 - 1225
50.x
= 50
x
=1
Vậy x = 1
1.2. Bài toán 2 và các hướng khai thác bài toán 2:
* Tính tổng: D = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99.100
Phân tích bài toán:
Mỗi một hạng tử của tổng là một tích, tích đó có hai thừa số, khoảng
cách giữa hai thừa số bằng 1.

Giải
6F = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6
7


= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 +…+ 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101
⇒ F = ( 3 + 97.99.101 ) : 6 = 161 651
Từ bài toán 2.2 ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 2.3:
Tính tổng: G = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1).(2n + 1) với n ∈ N*
Giải
Với cách làm như bài toán 2.2, ta có công thức tổng quát:
1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+ (2n - 1).(2n+1) =

3 + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
6

với n ∈ N*

Nhận xét:
Ta thấy khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng của bài toán 2 là
2 – 1 = 3 - 2 = 4 – 3 = …= 1;
Ở bài toán 2.2 là 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = … = 2.
Trong bài toán 2.2 ta đã nhân hai vế của E với 3 ( 3 lần khoảng cách giữa
hai thừa số ), trong bài toán 2.2 ta nhân hai vế của F với 6 (3 lần khoảng cách
giữa hai thừa số)
Từ nhận xét đó học sinh có thể làm được các dạng bài theo hướng khai


(2n − 2)2n(2n + 2)
6

với n ∈ N*, n > 1

Bài toán 2.6: Tính tổng: K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
Phân tích bài toán: Để tính tổng K ta không nhân cả 2 vế với cùng một số thích
hợp mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác
mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải
K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
= 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
= 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
= (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
=

99.100.101 99.100 99.100.205 99.100.(99.2 + 7)
+
=
=
= 338250
3
2
6
6

Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức K thành tổng của hai biểu
thức có dạng như bài toán 2.3 và 2.5 rồi tính tổng K.
Từ bài toán 2.6 ta có bài toán tổng quát sau :


Từ bài toán 2.8 ta có bài toán tổng quát sau :
Bài toán 2.9:
Tính tổng: P = 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) với n ∈ N*
Giải
Với cách làm như bài toán 2.8, ta có công thức:
1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) =

n.( n + 1)(n + 5)
3

với n ∈ N*

Hướng khai thác thứ ba: Làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử
của bài toán 1.
Bài toán 2.10:
Tính tổng: Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + … + 98.99.100
9


Giải
Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 +..…+ 98.99.100
4.Q = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 98.99.100).4
= [1.2.3.(4-0) + 2.3.4.(5-1) + 3.4.5.(6-2) + 4.5.6.(7-3) + …+ 98.99.100(101 – 97)]

= (1.2.3.4 - 1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6 – 3.4.5.6 +…+ 97.98.99.100 – 97.98.99.100 + 98.99.100.101)
= 98.99.100.101
Vậy Q =

98.99.100.101


Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
R = 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1)(n + 2) =
Ta có công thức tổng quát:
1.2.3 + 2.3.4 … + n (n + 1)(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
với n ∈ N*
4

Từ bài toán 2.11, ta tiếp tục thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong
mỗi hạng tử, ta có bài toán sau:
Hướng khai thác thứ tư: Vừa làm thay đổi khoảng cách giữa các thừa số,
vừa làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 2.
Bài toán 2.12: Tính tổng: S = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99
Giải
8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +…+ 95.97.99(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
⇒ S=

15 + 95.97.99.101
= 11 517 600
8

Nhận xét:

thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng
tính được.
Bài toán 2.14: Tính tổng: U = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 + …+ 99.99
Phân tích bài toán:
Thoạt đầu sẽ có nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài này, nhưng giáo
viên có thể gợi ý học sinh bằng câu hỏi: Em hãy nhận dạng bài toán này với bài
toán 2.5 xem chúng có cùng dạng không? Nếu học sinh không trả lời được giáo
viên có thể viết lại bài toán như sau:
U = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1) + …+ 99.(100 – 1)
Từ đó hãy vận dụng phương pháp làm của bài toán 2.5 để giải bài toán
này? ( giáo viên yêu cầu ). Và ta có cách làm như sau
U = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1) + …+ 99.(100 – 1)
= ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100. ) – ( 1+2 + 3 + 4 + …+ 99)
= U 1 – U2 ( trong đó U1 là bài toán 2.1, U2 là tổng của các số tự nhiên
liên tiếp từ 1 đến 99)
=

99.100.101 99.100
= 333300 – 4950= 328 350
3
2

? Biểu thức K có thể viết ở dưới dạng nào nữa.
Từ đó ta có thể phát triển thành bài toán sau:
Bài toán 2.15:
Tính tổng: V = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ 992
Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 328350 ở bài toán 2.14 mà ta biến đổi
99.100.101 99.100
như sau:
3

sau:
Bài toán 2.17:

Tính X = 12 + 32 + 52 + … + 992

Giải
X1 = 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97)
= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99
= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99)
= 1 + 4998 + 161651
= 166650
Thay đổi số mũ của bài toán 2.15 ta có bài toán sau:
Bài toán 2.18:
Tính: X2 = 13 + 23 + 33 + … + 1003
Giải
3
3
3
Ta có: X2 = 1 + 2 + 3 + … + 1003
= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 +…+ 1003 – 100 + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + …+ 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= (1.2.3 + 2.3.4 + …+ 99.100.101) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100 )
=

99.(99 + 1).(99 + 2).(99 + 3) 100.101
+
= 101989800 + 5050 = 101994850
4
2


2

Ta có công thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như
sau:
2

 n(n + 1) 
1 + 2 + 3 + …+ n = 
với n ∈ N*
 2 
3

3

3

3

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 2.18 ta có bài toán sau:
12


Bài toán 2.20:
Tính tổng: X4 = 13 + 33 + 53 + … + 993
Phân tích bài toán: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính
tổng trên ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp
rồi trừ đi phần cộng thêm.
Giải
3
3

 n( n + 1) 
 2( 2n + 1)( n + 1) 
 n( n + 1) 
− 23 
=
− 23 
= 



2
2


 2 


 2 
n 2 (n + 1) 2
2
2
= ( n + 1) ( 2n + 1) − 2n 2
= ( 2n + 1) 2 ( n + 1) 2 − 8.
4
2
2
= ( n + 1) 2n + 4n + 1
2

2

Bài toán 2.24: Tính tổng: Y2 = 1 + a + a2 + a3 + … + an với a∈ N, a > 1, n ∈ N
Giải
Với cách làm như bài toán 2.23, ta có:
a. Y2 – Y2 = an+1 – 1
(a – 1) Y2 = an+1 – 1
13


Y2 =
Ta có công thức:

a n +1 − 1
a −1

a n +1 − 1
1+a+a +a +…+a =
với a∈ N, a > 1, n ∈ N
a −1
2

3

n

Nhận xét:
Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển bài toán thành
nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh
hoạt, sáng tạo.
* Bài tập tự luyện: Tính các tổng sau:
a. A = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202

1
1
1
= − ;
= − ;
= − ;…
=
− ;
1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4
98.99 98 99

1
1
1
=
−
99.100 99 100

Từ đó ta có thể tính tổng A một cách dễ dàng. Ta có thể giải bài toán như
sau:
Giải
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1

1

Tính tổng: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.( n + 1) với n ∈ N*
Giải
Với cách làm như bài toán 1, ta có công thức:
14


1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1.2 2.3 3.4
n.( n + 1) n + 1

với n ∈ N*

Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa hai thừa số trong
mỗi mẫu của từng phân số của bài toán ban đầu.
Bài toán 2:

Tính tổng: C =

1
1

=
1 3 1.3 1.3 3 5 3.5
3.5
99 101 99.101 99.101

Giáo viên có thể hỏi: phải biến đổi B về dạng nào thì mới áp dụng được cách
giải của bài toán 1 ? Và học sinh sẽ biến đổi được như sau:
2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
100
= −
=
= − + − + − + −
1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101
100
50
=
Vậy C =
.
101.2 101

Ta có: C1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + n( n + 2).
=

1 1 1 1 1 1
1
1  1
1  1 n +1
1 − + − + − + ... + −
 = 1 −
= .
2 3 3 5 5 7
n n+ 2 2 n+2 2 n+ 2

Ta có công thức:

Bài toán 4:

1
1
1
1
1 n +1
+
+
+ ... +
.
=
với n ∈ N, n lẻ
1.3 3.5 5.7
n( n + 2 ) . 2 n + 2

5.10 10.15 15.20
100.115

ĐS:

Bài toán 5:

2C2 =

Học sinh sẽ tính được tổng D bằng cách nhân hai vế của D với 5
( Vì 10 – 5 = 15 – 10 = … = 115 – 100 = 5 ) Và tính tương tự
22
575

ĐS: D =

Hướng khai thác thứ ba: Làm thay đổi mẫu số của từng phân số của bài
ban đầu.
Bài toán 6:

Tính: E =

1 1 1
1
+ + + ... +
2 6 12
9900

Nhận xét: Ta có 2 = 1.2; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; …; 9900 = 99.100
Như vậy bài toán 5 có thể đưa về bài toán quen thuộc chính là bài toán 2

2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.100.

Tính tổng: F =

Nhận xét: Từ cách giải của bài toán 2 học sinh sẽ biết cách giải bài toán 5.
Giải
2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.100.
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
100
= −
=
= − + − + − + −
1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101
100
Vậy F =

1
3

1
5

1
5

1
7

1
n

= = − + − + − + ... + −
Ta có công thức:

1
1
n +1
= 1−
=.
n+2
n+2
n+2

2
2
2

Đây là một tình huống có vấn đề buộc học sinh phải suy nghĩ và tìm cách
biến đổi, ta có cách giải như sau:
Giải
2 3
3
3
3
+
+ ... +
)
.( +
2 1 .3 3 .5 5 .7
99.100.
3 2
2
2
2
+
+ ... +
)
= .( +
2 1 .3 3 .5 5 .7
99.100.
3 1 1 1 1 1 1 1
1
= .( − + − + − + − )
2 1 3 3 5 5 7 99 101
3 1 1
3 100 150
=

;
1.2 2.3 1.2.3

1
1
2
1
1
2
−
=
. ;…;
−
=
2.3 3.4 2.3.4
98.99 99.100 98.99.100

Giải
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2H = (
).2
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100
1


1

Bài toán 11: Tính tổng: H1 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) với n ∈ N*
Giải
Với cách làm như bài toán 10, ta có:
H1 =


1
1
1
1
1 1
1
+
+
+ ... +
= . −
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1)(n + 2) 

1  (n + 1)(n + 2) − 2  ( n + 1)(n + 2) − 2 n 2 + 2n + n + 2 − 2
n(n + 3)
=
=
=
= 

2  2(n + 1)(n + 2) 


17


1
1
3
1 1
1 
= .
= 
−

1.2.3.4 3 1.2.3.4 3  1.2.3 2.3.4 
1
1
3
1 1
1 
.= .
= 
−

2.3.4.5 3 2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 
1
1
3
1 1
1 
.= .

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
= .(
)
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
27.28.29 28.29.30
1
1
1 4059
1353
451
1
−
)= .
=
=
= (
3 1.2.3 28.29.30

I1 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
1
1
1
1
1
.[ 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ].3
3
1
1
1
1
1
1
1
= .[ 1.2.3 − 2.3.4 + 2.3.4 − 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) − (n + 1)(n + 2)(n + 3) ]
3
1
1
1
= .[ 1.2.3 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) ]
3

=

Ta có công thức :
1
1
1
1

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100
1
1
1
1
1
1
1
1
9898
−
−
=
−
=
=
+ −
+…+
1.2 2.3 2.3 3.4
98.99 99.100 1.2 99.100 19800
9898
Vậy: K =

3
+
+
+ ... +
=(
).
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100 2
1
1
1
1
1
1
3
−
).
=( −
+ −
+ …+
1.2 2.3 2.3 3.4
98.99 99.100 2
1
1
3 9898 3 4949
). =
=( −
. =
1.2 99.100 2 19800 2 6600
4949

1.2 2.3 3.4
99.100
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
= − + − + − + ... + − + −
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
1 1
99
99
=
=
= −

….....................................................................
1
1
1


Ta lại có: P >
5.6 6.7 7.8
100.101 5 6 6 7 7 8
100 101
1 1
1 1
> >
P> −
(2)
5 101 5 6
1 1
1
1
1
1


+ ... +
c. C =
1.2.3 2.3.4
37.38.39

a. A =

Bài 2:
36
36
36
+
+ ... +
. Chứng minh: A < 3
1.3.5 3.5.7
25.27.29
5
5
5
1
+
+ ... +
b. Cho B =
. Chứng minh: B
1 ta có:
1

+
+
+ ... +
5.8 8.11 11 .14
2006.2009
1
1
1
1
+
+ ... +
b. Cho B =
. Chứng minh: B

hiểu và giải được bài đã tăng lên rõ rệt. Các em được làm quen với phương
pháp làm việc mang tính tư duy, sáng tạo rất cao, qua đó hoàn thiện các kỹ năng
biến đổi, vận dụng các phương pháp. Đặc biệt các em được rèn luyện thói quen
làm việc có phương pháp, có sự sáng tạo và không ngại trước các bài toán khó
cũng như rèn luyện ý chí vươn lên trong học tập. Với kết quả trên, học sinh có
được động lực học tập, còn tôi thấy vững tin hơn ở phương pháp dạy học của
mình. Đồng nghiệp của tôi cũng có nhận xét rằng cách khai thác, phát triển các
bài toán trong đề tài khá dễ hiểu và dễ nhớ đối với học sinh (dù là học sinh vùng
nông thôn!)
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng
trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán. nhất là việc
bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi
nhận thấy:
Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc
khai thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Mở rộng, phát
triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát
triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và
người học.
Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu
thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp
chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng
cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc,
hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học
yêu thích bộ môn toán hơn.
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ
của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Khai thác
và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm phát triển tư duy sáng

hay.
Xin chân thành cảm ơn !
Xác nhận của thủ trưởng
Hiệu trưởng

Hà Sỹ Sơn

Thọ Xuân, ngày .... tháng 03 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
kinh nghiệm của mình viết, không
sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện

Trần Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
22


1. Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 6 – Vũ Dương Thụy(chủ biên)
2. Nâng cao và phát triển Toán 6 – Vũ Hữu Bình
3. Bổ trợ và nâng cao Toán 6 - Trần Diên Hiển (Chủ biên)
4. Nguồn bài tập từ Internet.

23