ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HÀ THỊ TUYỀN

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HÀ THỊ TUYỀN

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

+ Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Thái
Nguyên, các thầy cô giáo ở Viện Toán học Việt Nam, trƣờng Đại Học Sƣ Phạm
Hà Nội, trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Thái Nguyên đã hƣớng dẫn chúng em học
tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
+ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ThS. Phan Thị Phƣơng Thảo cô là ngƣời đã động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện
đề tài.
+ Ban giám hiệu nhà trƣờng, các thầy cô giáo trong nhóm Toán và các
thầy cô giáo chủ nhiệm khối 10 trƣờng THPT Bá Thƣớc 3 - Huyện Bá Thƣớc
- Tỉnh Thanh Hoá đã chỉ bảo, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em
thực nghiệm để hoàn thành đề tài.
+ Bạn bè và gia đình đã giúp đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả luận văn

Hà Thị Tuyền
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii




MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan ...................................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................ iiii

SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƢỜNG THPT
THÔNG QUA DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC ......................................... 27
2.1. Rèn luyện cho học sinh tìm đƣợc nhiều cách giải cho một bài toán
bất đẳng thức ....................................................................................... 27
2.2. Rèn luyện cho học sinh biết sáng tạo ra các bất đẳng thức mới .......... 42
2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng kết nối các kiến thức đã học để
tìm đƣợc lời giải độc đáo cho một bài toán bất đẳng thức ................. 47
2.4. Rèn luyện cho học sinh khả năng tạo ra nhiều bài toán từ các
bài toán mở ......................................................................................... 58
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 71
3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 71
3.2. Nội dung thực nghiệm.......................................................................... 71
3.3. Đối tƣợng thực nghiệm ........................................................................ 86
3.4. Tổ chức thực nghiệm............................................................................ 86
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ............................................................. 88
3.7. Kết luận chƣơng 3 ................................................................................ 88
KẾT LUẬN .................................................................................................... 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 90

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv




NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
TT

Viết tắt


Giáo viên

6.

HS

Học sinh

7.

NXB

Nhà xuất bản

8.

SBT

Sách bài tập

9.

SGK

Sách giáo khoa

10.

THPT

học, thiên về dạy, yếu về học, không kiểm soát đƣợc việc học… Thực trạng đó
chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu đối với sự nghiệp GD & ĐT trong công cuộc đổi
mới đất nƣớc, nhất là việc quan tâm rèn luyện, phát triển năng lực tƣ duy sáng
tạo, bồi dƣỡng nhân tài ở nhà trƣờng phổ thông.
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chƣơng trình toán phổ thông
nhƣng cũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị. Trong các kì thi tuyển sinh
đại học, thi học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay đƣợc đề cập và là một
thử thách thực sự với các thí sinh. Để giải đƣợc các bài toán bất đẳng thức, đòi
hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, sử dụng các kiến thức toán
học rộng khắp và đặc biệt tƣ duy giải toán linh hoạt sáng tạo,... Mặc dù vậy
trong SGK cũng nhƣ sách bài tập toán THPT, số lƣợng bài tập về bất đẳng thức
1


không nhiều. Thực tiễn khi giảng dạy cho thấy nhiều giáo viên và học sinh ít
quan tâm đến thể loại bài tập này.
Để góp phần bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi cấp THPT
và đổi mới phƣơng pháp dạy học toán cũng nhƣ khắc phục những tình trạng
trên đây, đề tài đƣợc chọn là “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá
giỏi ở trường THPT thông qua dạy học bất đẳng thức”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu TDST, về nội dung bất đẳng thức, về đặc điểm đối
tƣợng học sinh khá giỏi cấp THPT, đề xuất một số biện pháp sƣ phạm nhằm
rèn luyện tƣ duy sáng tạo Toán học cho học sinh khá giỏi thông qua nội dung
bất đẳng thức.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất đƣợc một số biện pháp sƣ phạm phù hợp và vận dụng chúng
một cách hợp lí trong dạy học bất đẳng thức thì sẽ góp rèn luyện tƣ duy sáng
tạo cho học sinh khá giỏi ở trƣờng THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

3


Chƣơng 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Đại cƣơng về tƣ duy
1.1.1. Khái niệm chung về tư duy
“Tƣ duy là quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tƣợng trong
hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết”. [26, tr79]
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Nhận thức cảm tính
giúp con ngƣời nhận biết các thuộc tính trực quan, cụ thể bên ngoài, các mối
quan hệ về không gian, thời gian, trạng thái vận động của sự vật, hiện tƣợng.
Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vƣợt xa giới hạn của nhận thức cảm tính, tƣ
duy (nhận thức lý tính) phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan
hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tƣợng, những điều mà con ngƣời
chƣa biết cần tìm tòi giải quyết.
Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm
tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề". Trong quá trình diễn biến của mình,
tƣ duy nhất thiết phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính
đem lại. “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tƣ duy trừu tƣợng, tựa hồ
nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy” (X.L. Rubinstein). Ngƣợc lại, tƣ duy và
những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác làm
cho khả năng cảm giác của con ngƣời tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác
của con ngƣời mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa. “Nhập vào với con mắt của
chúng ta chẳng những có cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tƣ duy của ta
nữa” (Ph. Angghen).
Trong quá trình tƣ duy, con ngƣời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức
vấn đề, tiến hành các thao tác trí tuệ và biểu đạt kết quả của tƣ duy. Sản phẩm



SƠ ĐỒ QUÁ TRÌNH TƢ DUY (CỦA K.K.PLATÔNÔP)
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tƣởng
Sàng lọc liên tƣởng và hình
thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết

Chính xác
hóa

Khẳng định
Giải quyết vấn đề

Phủ định
Hành động tƣ duy mới

1.2. Sáng tạo
1.2.1. Sáng tạo là gì?
Theo Đại bách khoa toàn thƣ Xô Viết thì “Sáng tạo là hoạt động của
con ngƣời trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi
thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của con
ngƣời. Sáng tạo là hoạt động đƣợc đặc trƣng bởi tính không lặp lại, tính độc
đáo và tính duy nhất”.
Theo R.L.Solsor “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức đem lại một cách
nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay một tình huống”.
Theo Henry-Glitman “Sáng tạo là năng lực tạo ra những giải pháp mới
hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích”.
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Ngƣời có óc sáng tạo là ngƣời có

Giai đoạn 2: Giai đoạn ấp ủ
Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề một cách có ý
thức ngừng lại và công việc tiếp diễn lúc này chính là hoạt động của các lực
lƣợng tiềm thức. Tuy nhiên, để lôi cuốn hoạt động của các lực lƣợng tâm lý
tiềm thức thì cần một sự nỗ lực của ý chí và sự lao động tích cực của trí óc.
7


Pôlya đã khẳng định “Chỉ có những bài toán mà ta tập trung suy nghĩ
nhiều, thì khi trở lại mới đƣợc biến đổi, sáng ra. Hình nhƣ sự cố gắng có ý thức
và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc”. [4, tr131]
Giai đoạn 3: Giai đoạn bừng sáng
Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự “bừng sáng” trực giác, một bƣớc nhảy
vọt về chất trong tiến trình nhận thức. Đây là giai đoạn quyết định của quá
trình tìm kiếm lời giải. Sự “bừng sáng” hay trực giác này thƣờng xuất hiện
đột nhiên, không thấy trƣớc đƣợc. Đây là giai đoạn mà tại thời điểm đó con
ngƣời đột nhiên tìm thấy sự le lói ban đầu của giải pháp mà họ đã tìm kiếm
rất lâu. Sáng tạo thƣờng xuyên xuất hiện trong sự bừng sáng bất ngờ nhƣ vậy.
Gauus cũng công nhận điều đó: “Việc giải một bài toán mà tôi loay hoay
trong vài năm không xong bỗng cuối cùng vụt đến cách đây vài hôm. Cách
giải quyết đã đến bất ngờ nhƣ một tia chớp lóe sáng. Tôi không thể nói đƣợc
cái đã nối liền những kiến thức trƣớc kia của tôi với cái đã làm ra sự thành
công của tôi là cái gì?”.
Giai đoạn 4: Giai đoạn kiểm chứng
Ở giai đoạn này, các nhà nghiên cứu xem xét, khái quát kết quả, triển
khai lập luận và kiểm chứng lời giải nhận đƣợc từ trực giác. Giai đoạn này là
cần thiết vì tri thức nhận đƣợc bằng trực giác là chƣa chắc chắn, có tính giả
thuyết, nó có thể đánh lừa các nhà nghiên cứu. Công việc của các nhà nghiên
cứu trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức và rất tích cực.
Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo thì giai đoạn ấp ủ

gì mới độc đáo ở mức độ nào đó biểu lộ đƣợc thiên hƣớng, năng lực và kinh
nghiệm của cá nhân học sinh. Nhà Toán học Pháp A-đa-ma đã nói “Giữa
việc giải quyết một bài toán Đại số hay Hình học của ngƣời học sinh và sự
phát minh, cái khác nhau chỉ là ở mức độ và chất lƣợng vì cả hai việc đó
đều có cùng một tính chất. Thật vậy, tính chất chung đó là sự sáng tạo”. Còn
G.Polya cho rằng: Một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn
đề lớn, nhƣng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát
minh. Bài toán mà anh giải có thể là bình thƣờng nhƣng nếu nó khêu gợi
đƣợc trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo và nếu tự mình giải lấy bài toán đó

9


thì anh sẽ có thể biết đƣợc cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng
lợi. [4, tr3]
Nhƣ vậy chúng ta thấy các cấp độ của sự sáng tạo đƣợc biểu hiện ra thành
các cấp độ năng lực hoạt động của con ngƣời. Đó là khả năng, tài năng và thiên
tài trong đó tài năng và nhất là thiên tài thể hiện sự sáng tạo cao nhất.
Trong điều kiện xã hội có nhiều thay đổi mạnh mẽ nhƣ hiện nay, sự sáng
tạo có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, bởi vì nó cho phép khắc phục đƣợc nhiều
khó khăn trong cuộc sống, đem lại nhiều thành tựu trên các lĩnh vực khác nhau
của cuộc sống, xã hội. Giúp cho đất nƣớc phát triển không ngừng. Với ý nghĩa
đó của sự sáng tạo, đòi hỏi nhà trƣờng phổ thông phải có ý thức chuẩn bị cho
học sinh có đƣợc năng lực sáng tạo nhất định làm cơ sở cho sự tồn tại, phát
triển sau này.
1.2.4. Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo
Theo Lecne I Ia, hoạt động sáng tạo có bảy biểu hiện đặc trƣng sau:
- Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo sang
tình huống mới gần hoặc xa bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống
kiến thức.

kế hoạch trong các quy hoạch trong đầu, hình dung cho mình một cái gì đó
nhƣ là cái toàn thể và sáng chế ra nó.
Nhà tâm lý học Đức G. Mehlhoru cho rằng “Tƣ duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”.
J.Daton (1985) cho rằng “Tƣ duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, những mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khám phá, sự
phát minh, sự đổi mới, trí tƣởng tƣợng…”.

11


G.Pôlya “Có thể gọi là tƣ duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập cụ
thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng
tiện để giải bài tập”.
Theo tác giả Tôn Thân, Trần Luận “Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy
độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”.Ý
tƣởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Tính độc đáo thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc
duy nhất.
Tƣ duy sáng tạo đƣợc hiểu là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiện nhất của tƣ
duy tích cực và tƣ duy độc lập, tạo ra những cái mới có tính giải quyết vấn đề một
cách hiệu quả và chất lƣợng. Tƣ duy sáng tạo là tƣ duy độc lập vì nó không bị gò
bó, phụ thuộc vào những cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đạt
đƣợc mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tƣ duy sáng tạo
đều mang đậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó. [3, tr12]
Các tác giả đã đƣa ra các quan điểm khác nhau về TDST nhƣng nhìn
chung họ đều cho rằng TDST có các đặc điểm sau:
- Nó là một dạng của tƣ duy độc lập.
- Tạo ra những ý tƣởng mới độc đáo mang lại hiệu quả giải quyết
công việc cao.


1

1

p a

p b

p c

2

1
a

1
b

1
.
c

Để giải bài toán này thông thƣờng các em hay nghĩ đến phép biến đổi
tƣơng đƣơng. Tuy nhiên đối với những học sinh có khả năng sáng tạo với sự
mềm dẻo về kiến thức, các em dễ nhận thấy
p a

p b c


1 1
. Ta có: x
,
x y

đƣợc kết quả

1
x

1
y

4
x

y

1
x

y

1
y

4 (*) . Chia 2 vế của (*) cho x y ta

.


a
4
(3)
b

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:
2

1

1

1

p a

p b

p c

1

1

1

p a

p b


đặc trƣng sau:
- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề cần
đƣợc giải quyết ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều
phƣơng án khác nhau và từ đó có thể tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu.
- Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh, có một cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. [3,tr13]
14


Ví dụ 1.2:
Cho 3 số dƣơng a,b,c thỏa mãn
1

1
1
1
1
1
a
b
c

a b c 1.

Chứng minh

64 .


bc

1
ca

1
abc

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
3

1 a b c

1
a

1
b

1
ab

1
c

1
bc

3
3

1

1
a

a 1
a

Tƣơng tự: 1
Suy ra P

1
b

a a b c
a

44 a 2 bc
a

44 b 2 ac
1
,1
b
c

44 c 2 ab
c

644 a 4 b 4 c 4

15

1
27

1
abc

27 33


44

1
b

Tƣơng tự : 1

Suy ra P

44

1
c

1

b
33
b

1

1
b

Tƣơng tự: 1

1
c

1

Suy ra P

44

1
3a

44

1
3 a3
3

1
3 b3

44


a2

b2

c2 a b c

2 a3

b3

c3 .

Bài toán này học sinh dễ dàng chứng minh đƣợc bằng phƣơng pháp biến
đổi tƣơng đƣơng.Và trong quyển sách “Đa thức và ứng dụng” của tác giả
Nguyễn Hữu Điền - NXB Giáo dục (2003) đã cho lời giải nhƣ sau:
Đặt x a b c, y a b c, z

a b c ta có:

16


a2

b2

c2 a b c
2

2 a3


2

x

y

3

y

z

3

z

x

3

0 luôn đúng.

Nhận xét: Cách dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng là cách giải theo lối tƣ duy
thông thƣờng khi giải bài toán trên. Cách giải thứ hai thì khá cầu kỳ. Thực ra
một chút khéo léo biến đổi đại số, ta có một lời giải ngắn gọn nhƣ sau:
a2

b2


điều kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác
nhau mà có thể tìm thấy phƣơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo).
Các tính chất này lại quan hệ khăng khít với các tính chất khác nhƣ:
Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các tính chất đặc
trƣng nói trên cùng góp phần tạo nên tƣ duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các
hoạt động trí tuệ của con ngƣời.

17


Tuy nhiên có thể thấy rằng 3 yếu tố: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn,
tính độc đáo là 3 yếu tố cơ bản của tƣ duy sáng tạo.
1.4. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh giỏi toán ở trƣờng THPT
1.4.1. Những biểu hiện của học sinh giỏi về toán
Học sinh giỏi về toán thƣờng có những biểu hiện rõ rệt các mặt sau:
- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh.
- Biểu hiện ở sự linh hoạt trong quá trình tƣ duy nhƣ:
+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
không bị gò ép bởi những suy nghĩ rập khuôn có sẵn.
+ Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, kết
hợp sự liên tƣởng tốt, tìm ra cách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
+ Biết nhìn nhận những cái khác biệt của vấn đề, lựa chọn phƣơng tiện,
cách thức tốt nhất để giải quyết vấn đề đó.
+ Lý luận chặt chẽ, hợp lôgic, có các thao tác tƣ duy nhanh trong giải toán.
- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức Toán học cô đọng, nhanh chóng,
chính xác và bền vững, giúp học sinh giỏi về toán nhớ đƣợc nhiều kiến thức
mà không tốn quá nhiều sức lực và trí tuệ khi giải toán.
Các biểu hiện của học sinh trên đây là những biểu hiện cụ thể về những
mặt khác nhau của một cấu trúc năng lực hoàn chỉnh, một tƣ chất của Toán học