BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP. HCM
------------

Nguyễn Thy Phương
XÂY DỰNG MÔ HÌNH LOGIT CẢNH BÁO
SỚM TÌNH HÌNH TÀI CHÍNH CHO CÁC
DOANH NGHIỆP VIỆT NAM VÀ KIỂM ĐỊNH
LẠI TÍNH HIỆU QUẢ THÔNG QUA MÔ HÌNH
BAO DỮ LIỆU DEA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KINH TẾ

TP.Hồ Chí Minh – Năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP. HCM
------------

Nguyễn Thy Phương
XÂY DỰNG MÔ HÌNH LOGIT CẢNH BÁO
SỚM TÌNH HÌNH TÀI CHÍNH CHO CÁC
DOANH NGHIỆP VIỆT NAM VÀ KIỂM ĐỊNH
LẠI TÍNH HIỆU QUẢ THÔNG QUA MÔ HÌNH
BAO DỮ LIỆU DEA
Chuyên ngành: Tài chính – Ngân hàng
Mã số: 60340201

LUẬN VĂN THẠC SĨ KINH TẾ


CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................6
2.1. Mô hình dựa trên phân tích phân biệt ...............................................................6
2.1.1. Phân tích phân biệt đơn biến của Beaver (1966)........................................7
2.1.2. Mô hình Z-score của Altman (1968) ..........................................................9
2.2. Mô hình phân tích logit...................................................................................11
2.2.1. Mô hình phân tích logit của Ohlson (1980) .............................................11
2.2.2. Mô hình phân tích logit của Shuangjie Li, Shao Wang (2014) ................13
2.3. Mô hình phân tích bao dữ liệu DEA (Data Envelopment Analysis) ..............15
2.3.1. Sơ lược về sự hình thành, quá trình phát triển của phương pháp phân tích
bao dữ liệu (DEA) ..............................................................................................15
2.3.2. Mô hình DEA trong nghiên cứu của của Shuangjie Li, Shao Wang (2014)
............................................................................................................................19
CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG MÔ HÌNH LOGIT ....................................................23
3.1. Chỉ số và dữ liệu .............................................................................................23
3.2. Mô hình logit cảnh báo sớm về tài chính .......................................................49
3.3. Kiểm định trong mẫu ......................................................................................50


3.4. Kiểm định ngoài mẫu......................................................................................54
CHƯƠNG 4: XÁC MINH TÍNH HIỆU QUẢ QUA MÔ HÌNH PHÂN TÍCH
BAO DỮ LIỆU (DEA) ............................................................................................60
4.1. Kiểm định trong mẫu ......................................................................................62
4.2. Kiểm định ngoài mẫu......................................................................................65
CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN ......................................................................................71
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Danh sách 50 công ty trong mẫu nghiên cứu
Phụ lục 2: Danh sách 50 công ty ngoài mẫu nghiên cứu



Bảng 3.6: Kết quả dự báo của mô hình logit cho 50 công ty trong mẫu ..................50
Bảng 3.7: Kết quả dự báo của mô hình logit cho 50 công ty ngoài mẫu ..................55
Bảng 3.8: Mô tả phân tích ACC ................................................................................58
Bảng 3.9: TPR và FPR ..............................................................................................59
Bảng 4.1: Tương tự quan giữa các chỉ số mô hình logit và chỉ số hiệu quả .............62
Bảng 4.2: Kết quả dự báo của mô hình DEA cho 50 công ty trong mẫu .................62
Bảng 4.3: Kết quả dự báo của mô hình DEA cho 50 công ty trong mẫu .................66
Bảng 4.4: Số thứ tự các công ty có dự báo lệch ........................................................70


1

TÓM TẮT
Các mô hình cảnh báo sớm về tài chính nhằm mục đích giúp các công ty nhận ra
cuộc khủng hoảng tài chính và làm giảm các rủi ro tài chính từ các thông điệp của
mô hình. Các mô hình cảnh báo hiện nay chủ yếu được xây dựng trên một hệ thống
các chỉ số tài chính và độ chính xác của dự báo chỉ được xác nhận qua các chỉ số tài
chính chứ không phải là các chỉ số phi tài chính. Các vấn đề xảy ra trong tình huống
này là các chỉ số tài chính được điều khiển và thao túng bởi các nhân viên cấp quản
lý của công ty, và do đó, chỉ sử dụng các chỉ số tài chính không thể đảm bảo độ tin
cậy của các mô hình. Để xử lý vấn đề này, bài viết phát triển mô hình logit mới có
độ chính xác khá tốt trong dự báo. Quan trọng hơn, tác giả đề xuất một phương
pháp mới để xác minh độ chính xác dự báo của mô hình logit bằng cách sử dụng
các chỉ số hiệu quả phi tài chính vào mô hình phân tích bao dữ liệu (DEA). Một
nghiên cứu thực nghiệm trên bộ dữ liệu các công ty Việt Nam cho thấy rằng mức độ
dự đoán chính xác của mô hình đề xuất trong và ngoài mẫu lần lượt là 88% và 80%,
một kết quả tương đối cao. Và sử dụng các chỉ số hiệu quả phi tài chính để kiểm
định lại kết quả dự đoán của mô hình logit trong và ngoài mẫu tương ứng là 72% và
66%. Kết quả cho thấy rằng mô hình logit đề xuất cảnh báo sớm về tài chính khá
chính xác và ổn định; phương pháp tiếp cận trong đó sử dụng các chỉ số hiệu quả

của các nhà nghiên cứu trên toàn thế giới và được khuyến khích bởi nhiều nhà
nghiên cứu. Những mô hình logit sử dụng một loạt các chỉ số tài chính quan trọng,


3

chẳng hạn như chỉ số nghĩa vụ về tài sản, đòn bẩy tài chính, và chỉ số dòng tiền để
dự báo tình hình tài chính của công ty trong tương lai.
Trong những năm qua, các nghiên cứu đã sử dụng nhiều mô hình thông minh để
thực hiện cảnh báo sớm về tài chính. Tuy nhiên, hai mô hình thống kê là mô hình
logit và mô hình phân tích đa biến phân biệt là rất phổ biến trong việc cảnh báo sớm
về tài chính vì sự dễ dàng trong sử dụng mô hình và giải thích. Các mô hình logit
được sử dụng thường xuyên hơn và rộng rãi hơn bởi vì nó ít đòi hỏi hơn so với mô
hình phân tích đa biến phân biệt. Bài viết này đề xuất một mô hình logit để dự đoán
rủi ro tài chính do (1) mô hình logit đã được sử dụng rộng rãi và giảng dạy, đó là
một mô hình xác suất phi tuyến tính phù hợp cho vấn đề cảnh báo sớm về tài; (2)
mô hình logit là tương đối dễ hiểu và có sẵn trong hầu như tất cả các chương trình
phần mềm; nó không cần các giả định cho mô hình đa biến, nhưng đưa ra một mối
quan hệ rõ nét giữa các biến giải thích và phản ứng dựa trên những số liệu cho. Mô
hình Logit dễ dàng giải thích lý do tại sao một cuộc khủng hoảng tài chính sẽ hoặc
sẽ không xảy ra; (3) mô hình logit có độ chính xác cao hơn và ổn định hơn so với
nhiều mô hình khác; (4) mô hình logit không yêu cầu dữ liệu đa dạng và chất lượng
và do đó, có nhiều ứng dụng hơn so với các kỹ thuật thông minh khác trong những
tình huống mà không có dữ liệu chất lượng cao, chẳng hạn như trong ngành công
nghiệp tài chính của Việt Nam và các nước đang phát triển khác.
Trong bài này, tác giả phát triển mô hình logit bằng cách sử dụng phương pháp
“forward screeming Wald” là phương pháp đưa tuần tự các biến nhập vào mô hình
logit theo từng bước. Với một giá trị mặc định của các biến với một mức ý nghĩa là
0,05 hoặc nhỏ hơn sẽ được giữ lại, nếu không loại bỏ. Vì vậy, với phương pháp này
cuối cùng có thể đảm bảo rằng các biến còn lại trong mô hình có tác động đáng kể

mới sử dụng các chỉ số hiệu quả phi tài chính để xác minh dự đoán của mô hình
logit, điều này đảm bảo độ tin cậy của dự báo chính xác của mô hình logit.
Các phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: Chương 2 nêu ra các cơ sở lý
thuyết, các tài liệu nghiên cứu trước đây liên quan đến đề tài. Trong chương 3, xây
dựng mô hình logit cảnh báo sớm về tài chính thông qua kiểm tra các công ty trong


5

và ngoài mẫu. Chương 4 xác minh độ tin cậy dự báo của mô hình logit từ quan điểm
của tính hiệu quả qua mô hình DEA. Trong chương 5, tác giả tóm tắt các kết quả và
đưa ra phần kết luận.


6

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các nghiên cứu về dự báo tình hình tài chính đầu tiên, được biết đến, là được thực
hiện bởi Ramster và Foster (1931), Fitzpatrick (1932), Winakor và Smith (1935), và
Merwin (1942) (Ugurlu và Aksoy, 2006). Do hạn chế về kỹ thuật tính toán nên các
ông chỉ so sánh giá trị tỷ số tài chính giữa các công ty có vấn đề về tài chính và các
công ty có tình hình tài chính lành mạnh và phát hiện ra rằng tỷ số tài chính của các
công ty có vấn đề về tài chính là kém hơn so với các công ty có tài chính lành mạnh.
Đến cuối những năm 1960 và đầu những năm 1970, các nghiên cứu mang tính đột
phá về dự báo tài chính mới xuất hiện, đó là các nghiên cứu của Beaver (1966) và
Altman (1968). Tiếp sau đó là nhiều nghiên cứu khác nhau được thực hiện tại Mỹ
và nhiều nước khác.
Trong phần này, tác giả sẽ trình bày các bằng chứng thực nghiệm về một số mô
hình dự báo về tài chính đã được phát triển trên thế giới.
2.1. Mô hình dựa trên phân tích phân biệt



Z = điểm số để phân loại,



βi (i = 1, 2, …, n) = hệ số,



Xi (i = 1, 2, …, n) = các biến độc lập, các tỷ số tài chính.

Theo đó, mỗi quan sát sẽ nhận được một điểm số Z, và sau đó, so sánh điểm số Z
này với giá trị của “điểm cắt” (cutoff), nhằm giúp xác định quan sát đó thuộc vào
nhóm nào.
Phân tích phân biệt cho ra kết quả tốt hơn khi các biến có dạng phân phối chuẩn và
ma trận hiệp phương sai đối với mọi nhóm là bằng nhau. Tuy nhiên, nghiên cứu
thực nghiệm cho thấy các công ty có tình hình tài chính không lành mạnh vi phạm
giả định phân phối chuẩn (Back và cộng sự, 1996). Mặc dù vậy, vấn đề về giả định
phân phối chuẩn không làm yếu đi khả năng dự báo của mô hình DA, mà chỉ làm
yếu khả năng xác định xác suất xảy ra kiệt quệ tài chính của mô hình DA. Vì vậy,
phân tích phân biệt (DA) chỉ có thể nhận dạng một công ty là có vấn đề về tài chính
hay tài chính lành mạnh, không thể cung cấp thông tin về xác suất xảy ra kiệt quệ
của công ty. Ngoài ra, phân tích phân biệt (DA) cũng xuất hiện hiện tượng đa cộng
tuyến giữa các biến độc lập, đặc biệt khi phương pháp stepwise được sử dụng (Hair
và cộng sự, 1998). Mặc dù vậy, Altman (2000) tuyên bố rằng hiện tượng đa cộng
tuyến không nghiêm trọng trong mô hình phân tích phân biệt DA, bởi vì trước đó,
việc lựa chọn các biến số độc lập (các tỷ số tài chính) cho mô hình đã được thực
hiện rất cẩn thận.
2.1.1. Phân tích phân biệt đơn biến của Beaver (1966)

tỷ số tài chính. Kiểm định được thực hiện bằng cách phân chia ngẫu nhiên các công
ty trong mẫu thành 2 mẫu con. Với một tỷ số tài chính cho trước, một điểm cắt tối
ưu (optimal cutoff) sẽ được xác định ở mỗi mẫu con. Các điểm cắt tối ưu của mẫu
con này sẽ được sử dụng để phân loại cho mẫu con kia và ngược lại. Beaver nhận
thấy rằng có 6/30 tỷ số là có ý nghĩa lớn để dự báo kiệt quệ, đó là những tỷ số có
“lỗi” phân loại thấp nhất:


Thứ nhất,



Thứ hai,



Thứ ba,



Thư tư,



Thứ năm,

𝑑ò𝑛𝑔 𝑡𝑖ề𝑛 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑡ừ ℎ𝑜ạ𝑡 độ𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛ℎ 𝑑𝑜𝑎𝑛ℎ
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑛ợ

𝑙ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑠𝑎𝑢 𝑡ℎ𝑢ế 𝑣à 𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦


(𝐷𝑜𝑎𝑛ℎ 𝑠ố−𝐿ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡ℎ𝑢ế−𝐾ℎấ𝑢 ℎ𝑎𝑜)/365

Cuối cùng là phân tích khả năng dự báo, bao gồm kiểm tra biểu đồ tần số, overlap,
độ xiên (skewness) và phân phối chuẩn của các tỷ số tài chính. Phân tích này cho
thấy các tỷ số tài chính có thể dự báo kiệt quệ tài chính vào khoảng thời gian 5 năm
trước khi kiệt quệ xảy ra.
2.1.2. Mô hình Z-score của Altman (1968)
Khác với Beaver, Altman sử dụng phương pháp phân tích phân biệt đa biến (MDA)
để tìm ra phương trình tuyến tính của các tỷ số tài chính để xác định công ty nào là
phá sản và công ty nào là không phá sản. Ông chọn ra 33 công ty phá sản trong suốt
các năm 1946 đến 1965. Giống như Beaver, ông chọn 33 công ty không phá sản
bằng cách sử dụng phương pháp bắt cặp, trong đó, từng cặp công ty phải thuộc cùng
một ngành và có quy mô như nhau. Altman chọn 22 tỷ số tài chính dựa trên tính
phổ biến trong các nghiên cứu trước. Cuối cùng, ông tìm được 5 tỷ số tài chính làm
tốt việc xác định các công ty là phá sản hay không phá sản khi đứng cùng nhau:
𝑍 = 0,012𝑊𝐶𝑇𝐴 + 0,014𝑅𝐸𝑇𝐴 + 0,033𝐸𝐵𝐼𝑇 + 0,006𝑀𝐸𝑇𝐿 + 0,999𝑆𝑇𝐴 (2.2)
Trong đó:


WCTA: vốn luân chuyển trên tổng tài sản,



RETA: thu nhập giữ lại trên tổng tài sản,



EBIT: thu nhập trước thuế và lãi vay trên tổng tài sản,


Số lượng

Phần trăm

Phần trăm

chính xác

chính xác

sai số

n

Loại 1

31

94

6

33

Loại 2

32

97


1

32

Nguồn: Altman, E. I. (1968). Financial Ratios, Discriminant Analysis and Prediction of Corporate
Bankruptcy, Journal of Finance 23(4), p. 589.

Các công ty với Z-score thấp hơn so với điểm cắt sẽ bị phân loại vào nhóm phá sản
và ngược lại. Theo đó, Z-score càng thấp thì càng cho thấy rủi ro tài chính đang rất
cao. Với phương trình này, Altman dự báo chính xác 95% tình trạng của các công ty
trong mẫu ở thời điểm 1 năm trước khi kiệt quệ xảy ra. Đồng thời, mô hình của
Altman dự báo chính xác hơn so với mô hình đơn biến của Beaver.
Đến năm 1977, Altman, Haldeman và Narayanan phát triển một mô hình thứ hai từ
mô hình Z-score gốc với một vài sự nâng cấp. Mô hình mới, được gọi là ZETA, có
độ chính xác cao hơn trong việc dự báo các công ty phá sản so với mô hình Z-score
cũ và tăng thời gian dự báo lên 5 năm trước khi xảy ra kiệt quệ.


11

Bảng 2.2: So sánh kết quả của mô hình ZETA (1977) và mô hình Z-score của Altman
(1968)
Số năm trước
khi xảy ra phá

Mô hình ZETA

Mô hình Altman (1968)

Phá sản


91,4

48,3

n.a.

4

68,1

89,5

28,6

n.a.

5

69,8

82,1

36,0

n.a.

sản

Nguồn: Altman, E. I. (1993). Classification Results, Two Statements Prior to Bankruptcy.




𝑋6 =

𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑐ổ 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎườ𝑛𝑔 𝑥 𝑔𝑖á 𝑚ộ𝑡 𝑐ổ 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎườ𝑛𝑔



𝑋7 = 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛,

𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛

𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛
𝑛ợ 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛

,

,

,

,
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛

,

2.2. Mô hình phân tích logit
2.2.1. Mô hình phân tích logit của Ohlson (1980)

xi (i = 1, 2, …, n) = biến độc lập, tỷ số tài chính.

Nhà nghiên cứu đầu tiên sử dụng phân tích logit trong dự báo kiệt quệ tài chính là
Ohlson (1980). Ohlson phê bình phương pháp phân tích phân biệt đa biến (DA) vì
các giới hạn như đòi hỏi sự giống nhau của ma trận hiệp phương sai giữa nhóm
công ty kiệt quệ và nhóm công ty không kiệt quệ, đồng thời, cũng đòi hỏi các biến
có phân phối chuẩn. So với phân tích phân biệt (DA), lợi thế của phân tích logit là
thoát khỏi các giả định về phân phối chuẩn và ma trận hiệp phương sai. Ông cũng
chỉ trích điểm số Z-score từ phương pháp phân tích phân biệt không cung cấp thông
tin về xác suất xảy ra kiệt quệ của một công ty, mà chỉ cho biết một công ty là kiệt
quệ hay không kiệt quệ. Để khắc phục vấn đề này, ông sử dụng phân tích logit để
ước lượng xác suất xảy ra rủi ro tài chính.
Ohlson trích xuất dữ liệu các công ty có vấn đề về tài chính từ báo cáo tài chính 10K3. Ông lấy 105 công ty phá sản và 2058 công ty không phá sản trong thời kỳ 1970
đến 1976. Các chỉ số dự báo của nghiên cứu được chọn lựa từ các nghiên cứu trước
đó. Mô hình của Ohlson có 9 biến, đó là:

3

Báo cáo tài chính 10-K là báo cáo chi tiết về tình hình tài chính hàng năm của các công ty đại chúng dựa
theo quy định của Ủy ban chứng khoán quốc gia Hoa Kỳ (SEC). Trong đó, báo cáo phải có đầy đủ các thông
tin chi tiết về: lịch sử công ty, cơ cấu tổ chức, vốn chủ sở hữu, số lượng cổ phần, các công ty con, v.v…


13

𝑂 = −1,32 − 0,407𝑆𝐼𝑍𝐸 + 6,03𝑇𝐿𝑇𝐴 − 1,43𝑊𝐶𝑇𝐴 + 0,0757𝐶𝐿𝐶𝐴 −
2,37𝑁𝐼𝑇𝐴 − 1,83𝐹𝑈𝑇𝐿 + 0,285𝐼𝑁𝑇𝑊𝑂 − 1,72𝑂𝐸𝑁𝐸𝐺 − 0,521𝐶𝐻𝐼𝑁 (2.4)
Trong đó:





CHIN: = (NIt – NIt-1)/([NIt] + [NIt-1]), trong đó NIt là thu nhập ròng kỳ gần
nhất. Biến này nhằm mục đích đo lường sự thay đổi trong thu nhập ròng.

Mô hình Ohlson ở trên là mô hình 1 của nghiên cứu với độ chính xác đạt 96,12%.
Tổng thể, Ohlson xây dựng 3 mô hình: mô hình dự báo trước 1 năm, mô hình 2 dự
báo trước 2 năm và mô hình 3 dự báo trước 1 năm hoặc 2 năm.
2.2.2. Mô hình phân tích logit của Shuangjie Li, Shao Wang (2014) 4
Là một nghiên cứu thực nghiệm trên bộ dữ liệu các công ty Trung Quốc có mức độ
dự đoán chính xác của mô hình rất cao cho các dữ liệu trong và ngoài mẫu lần lượt
là 97,1% và 94,1%, cao hơn so với kết quả của các nghiên cứu trước đây. Kết quả
của nghiên cứu cho thấy rằng mô hình logit đề xuất của tác giả đã được cải thiện về
tính chính xác của dự báo và độ ổn định cao. Bài viết này lựa chọn 17 công ty
Trung Quốc niêm yết, được gọi là các công ty ST trong năm 2009, những công ty
này có lợi nhuận âm trong hai năm liên tiếp (2007-2008), và đồng thời lựa chọn 17
4

Shuangjie Li, Shao Wang, 2014. A financial early warning logit model and its efficiency verification
approach. Knowledge-Based Systems.


14

công ty Trung Quốc được liệt kê trong cùng một ngành mà có lợi nhuận tích cực
tương ứng từng cặp. Các dữ liệu của năm 2006 đã được lựa chọn cho dự đoán của
năm 2009. Tất cả các dữ liệu tài chính được lấy từ cơ sở dữ liệu CCER (Trung tâm
Nghiên cứu Kinh tế Trung Quốc, Đại học Bắc Kinh) và báo cáo tài chính của các
công ty Trung Quốc niêm yết.
Để phản ánh đầy đủ hiệu suất hoạt động của các công ty khi xây dựng mô hình

nhiều trong các bài báo, công trình nghiên cứu khoa học quốc tế về kinh tế. Tuy
nhiên, ứng dụng DEA ở Việt Nam hiện nay còn hạn chế, phương pháp này vẫn còn
tương đối mới, chưa được tiếp cận, áp dụng nhiều trong các nghiên cứu đánh giá
hiệu quả hoạt động của các tổ chức, doanh nghiệp. Do tài liệu trong nước về
phương pháp luận của phương pháp DEA đến nay hầu như không có nhiều.
Phương pháp phân tích bao số liệu sử dụng kiến thức về mô hình toán tuyến tính,
mục đích là dựa vào số liệu đã có để xây dựng một mặt phẳng phi tham số (mặt
phẳng giới hạn sản xuất). Khi đó, hiệu quả hoạt động của các tổ chức, doanh nghiệp
sẽ được tính toán dựa theo mặt phẳng này.
Phương pháp phân tích bao số liệu dùng để xây dựng đường giới hạn sản xuất, được
đề xuất đầu tiên bởi Farrell (1957). Một thời gian dài sau đó, phương pháp này chỉ
được quan tâm bởi một số ít nhà khoa học (Coelli et al., 2005). Sau đó, các tác giả
Boles (1966), Sephard (1970) và Afriat (1972) đã đề xuất các mô hình toán học có
thể giải quyết hiệu quả các bài toán có liên quan đến tính toán hiệu quả, năng suất
của các doanh nghiệp. Tuy nhiên, vào thời điểm đó các phương pháp này vẫn chưa
5

DEA được phát triển đầu tiên bởi Farrell(1957), Charnes, Cooper and Rhod (1978) và Banber, Charnes
and Cooper (1984).


16

nhận được sự ủng hộ rộng rãi. Theo Coell (2005), tình trạng này xảy ra cho đến khi
khái niệm và phương pháp “phân tích bao số liệu” được sử dụng trong bài báo của
Charnel, Cooper (1978). Năm 1978, Charnel, Cooper and Rhodes cũng đề xuất một
phương pháp với giả thiết tối thiểu hoá đầu vào và với điều kiện kết quả sản xuất
không thay đổi theo quy mô. Sau này, các bài báo của Fare, Grosskopf và Logan
(1983); Banker, Charnes, Cooper (1984) còn đề cập tới một số giả định khác và xây
dựng thêm mô hình phân tích bao số liệu với điều kiện kết quả sản xuất thay đổi

Một vấn đề khó khăn có thể xảy ra là có rất nhiều lời giải cho bài toán trên (ví dụ:
nếu u* v* là nghiệm thì 2u* 2v* cũng là nghiệm của bài toán). Để khắc phục vấn đề
này, điều kiện v’xi được đưa vào mô hình toán. Do vậy, ta có: Sự thay đổi ký hiệu
từ u và v sang θ, λ và hàm ý rằng ta đã xét đến một mô hình toán tuyến tính tương
tự khác. Sử dụng tính chất đối ngẫu của mô hình toán tuyến tính chúng ta có thể
phát triển một dạng mô hình đường bao số liệu tương ứng như sau:

(2.13)
Dạng mô hình đường bao số liệu tương ứng này có ít điều kiện tham chiếu hơn dạng
mô hình phức toán tuyến tính và vì vậy nó thường được áp dụng. Theo Farrell
(1957) khi thì mức độ hiệu quả hoạt động của công ty thứ i sẽ có vị trí trên đường
giới hạn sản xuất; và vì vậy nó sẽ là công ty hoạt động hiệu quả về mặt kỹ thuật.
Lưu ý là bài toán mô hình tuyến tính cần được giải K lần, mỗi lần cho một công ty,
mỗi một giá trị tương ứng cho một công ty.
Mô hình toán tuyến tính (2.13) cung cấp cho chúng ta những lý giải khá lý thú và
hữu ích. Trước hết, công ty thứ i sẽ được quan tâm để phân tích, bài toán tập trung
vào việc thu hẹp vectơ đầu vào càng nhiều càng tốt trong khi vẫn phải đảm bảo điều
kiện nằm trong giới hạn cho phép các đầu vào cần cho hoạt động sản xuất. Đường
bao giới hạn các “đầu vào” cho phép là một đường đẳng lượng (có tính chất tuyến
tính, từng mảng liên tục), được xác định bởi các số liệu (đầu ra và đầu vào của các