✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❇Ò■ ❚❍➚ ❍➀◆●

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇■➌◆ ❚❍➎ ❈Õ❆ ◆➶

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✷✵✶✼


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❇Ò■ ❚❍➚ ❍➀◆●

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇■➌◆ ❚❍➎ ❈Õ❆ ◆➶
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ sì ❝➜♣
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✶ ✶✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿

❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ✣➐◆❍ ❇➐◆❍

▼Ð ✣❺❯✳
✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳

✶
✺

✶✳✶

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✹

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹



✹✷

✷✳✸

▼ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❏❡♥s❡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ♥❤➙♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷✳✸✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❧✉➙♥ ♣❤✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

✷✳✸✳✹

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P❡①✐❞❡r✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

ỹ t ồ ồ ỗ ồ t
ự t t ự t tố t ở ỹ
ồ ữỡ tr ỡ ồ ờ ỡ ồ tố t
ồ
Pữỡ tr ữủ ợ t tr s ừ ổ tứ
t t ữỡ tr õ tứ
tt r số f t ởt số tử tứ R R
x, y õ t số tỹ t ss ụ ự ữỡ
tr tr ố s ừ ổ tứ ữ sỹ
ự ổ t ụ ổ ró r r ỳ trữợ
ỳ t õ t t t tr s ừ r
sỹ ự t số t ừ ỳ t ự ử
t ừ ữỡ tr t ú ữ t
ổ ró r õ õ t út sỹ ú ỵ ừ t tr
tớ t ự
ỳ ữỡ tr Pữỡ tr tữỡ
ữỡ sỹ tữ s t tử t q tú
ỡ
ữợ ừ ự ữỡ tr sỷ
ử tổ tữớ tr số t õ r




r tr trữớ ủ t f : R R ộ s
r sỹ tỗ t ừ c R s f (x) = cx ợ ồ x R tỹ t
ữủ ự ử sỷ f
tử r ự r f õ t ữủ tt ỡ
tr ởt rt r rs
r tt r f ữủ s


ử qt rt t ữỡ tr õ õ t
tr t ồ s ọ tr ữợ qố t tữớ
ởt t tự ố ợ ồ s t t ữỡ
tr ữủ s tỹ ộ t
tr ởt số ự ử ữ qt ữủ ừ
ữỡ tr ỏ rt ú

ử
ử ừ ự q ữỡ
tr ữỡ tr ởt số t ừ õ t
ữủ sỹ ờ tữỡ ố ừ õ ố ợ t
ừ ổ ởt số ợ ữủ tr
ữ ởt ữỡ tr tr õ ởt số ụ ự t
ữ t t ữủ rở ởt số t ừ
ữỡ tr t ự ử ỵ tt tr
ỗ ữù tự t ồ ồ s P
t t s ồ

ố tữủ ự
ố tữủ ự ừ ữỡ tr
ởt số t ừ õ ởt ử t s tr t
q tr t t

Pữỡ ự
t ồ t ừ t ự
q ữỡ tr ự ử
r ờ q ợ t ữợ ự ử ừ ữỡ
tr ởt số t ừ õ



✶✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ➞♥ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠
sè✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ tù❝ ❧➔ t➻♠ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❝❤÷❛ ❜✐➳t ✤â✳

❚✐➳♣ ❝➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✱ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝â ♥❤ú♥❣ ❝ì sð ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ t❛ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣
✤÷ñ❝ ♠ët sè ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
✶✳ ❚❤➳ ❝→❝ ❣✐→ trà ❜✐➳♥ ♣❤ò ❤ñ♣✿ ❍➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â t❤➸ t❤➳
✈➔♦ ❧➔✿ x = 0, x = 1, ...❀ tø ✤â t➻♠ r❛ ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ♥➔♦
✤â ❤♦➦❝ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❤➔♠ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➔♠
sè ❤➡♥❣✳
✷✳ ◗✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✿ ✣➙② ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ ❣✐→ trà f (x) ✈➔ ❜➡♥❣
❝→❝❤ q✉② ♥↕♣ ✈î✐ n ∈ N ✤➸ t➻♠ f (n)✳ ❙❛✉ ✤â t➻♠ f ( n1 ) ✈➔ f (e)✳ P❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ♥➔② t❤÷í♥❣ →♣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ð ✤â ❤➔♠ f ✤➣ ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ tr➯♥ Q❀ tø ✤â ♠ð rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ sè rë♥❣ ❤ì♥✳
✸✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ✈➔ ❦✐➸✉ ❈❛✉❝❤②✳




ự t ỡ t tử ừ t t
ử tr ữỡ tr
ữỡ tr õ ổ õ t ỡ tử t t tr
ự t ỡ
ố tr ừ
ự t ỡ t ừ ụ tứ tr
ữỡ tr
ỹ ũ ữỡ ự ự
ỹ ú


số tũ ỵ


✼
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

❈❤♦ x = y ✱ t❛ ❝â✿ f (2x) = 2f (x)✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ n✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, x ∈ R.
❚❤➟t ✈➟②✱
❱î✐ n = 1 ✈➔ n = 2 ❤➺ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣✳
●✐↔ sû✿ f (kx) = kf (x), k ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â✿

f ((k + 1)x) = f (x + kx) = f (x) + f (kx) = f (x) + kf (x) = (k + 1)f (x).
❈❤♦ x = y = 0✱ s✉② r❛✿ f (0) = 0✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❤❛② x = −y ✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

0 = f (x − x) = f (x) + f (−x),
❤❛②

f (−x) = −f (x).
◆➳✉ n < 0✱ t❤➻✿ f (nx) = f ((−n).(−x)) = −nf (−x) = nf (x)✳
❱➟② f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z✳
◆➳✉ n ∈ Z, n = 0 t❤➻✿

f (x) = f n.
❤❛②


n
n
[n α]
❱î✐ ♠å✐ α ∈ R, n ∈ N✱ ✤➦t rn =
∈ Q✱
n
1
❚❛ ❝â rn ≤ α < rn + ✳
n
❉♦ ✤â t❛ ❝â ✿
❳➨t p =

lim rn = α

n→∞

✈➔

α x = lim (rn x).
n→∞




f tử

f (x) = lim f (rn x) = lim rn f (x) = f (x).
n

n

ự

ứ ự ừ ỵ t õ

f (rx) = rf (x), x R, r Q.
ứ (1) s r (2) tứ (2) s r (3)
ự (3) s r (1)
t x0 R

f (x) = f (x x0 + x0 ) = f (x x0 ) + f (x0 ).
limn (xn ) = x0 t

lim f (xn ) = lim [f (xn x0 ) + f (x0 )] = f (0) + f (x0 ) = f (x0 ).

n

n

f tử t x0




õ f số tử
ự tứ s r
sỷ f tử
ỵ f (x) = ax, x R, a số
f ổ ỗ t a = 0
õ f ỡ tr R
ữủ sỷ f ỡ tr ởt I R tt f

n
n



sỷ limn xn = x0
ợ ồ > 0 ồ n0 N s


< xn < x0 + , n > n0
x0
n0
n0


f x0 +
f x0
< .
n
n


< f (xn ) < f x0 +

õ f x0
n0
n0
r |f (xn ) f (x0 )| < , n > n0
f tử t x0 f tử
ự (1) (5) ự (5) s r (1)

M
< |kn xn |


> 0.

ln[f (x + y)] = ln[f (x)f (y)] = lnf (x) + lnf (y),


g(x + y) = g(x) + g(y),


✶✶

tr♦♥❣ ✤â✿ g(x) = ln[f (x)]✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✱ t❛ ❝â✿ g(x) = ax, a ∈ R✳ ❱➟②

f (x) = eax = bx , b = ea > 0.

❍➺ q✉↔ ✶✳✷ ❍➔♠ sè ❢ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R

{0}

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❤➔♠

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐✿

f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R

{0} ,


f (x) = |x|α , ∀x ∈ R

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❛② y = 1✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

{0} , α

{0} ,

❧➔ ❤➡♥❣ sè✳


✶✷

f (x) = f (x).f (1)
⇔ f (x).(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R.
◆➳✉ f (1) = 1 t❤➻ f (x) = 0, ∀x ∈ R

{0}✳

❉♦ ✈➟②✱ f ≡ 0✳
❳➨t f (1) = 1✳

1
1
= f (x).f
, ∀x ∈ R
x

x ln a

= xln

a

= xα , α ∈ R.

❳➨t x, y ∈ R− ✱ ❦❤✐ ✤â −x, −y ∈ R+ .
◆➳✉ x = y ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✿ f x2 = f 2 (x) > 0✳
❱➻ x2 > 0✱ t❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥ f x2 = x2
❉♦ ✤â✿

f 2 (x) = x2α .
❙✉② r❛ f (x) = ±|x|α ✳
❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔✿
✭✶✮ f (x) = 0, ∀x ∈ R

{0}✳

✭✷✮ f (x) = |x|α , ∀x ∈ R
✭✸✮ f (x) =

{0}✳

|x|α , x > 0,
−|x|α , x < 0.

α



✭✶✳✼✮

xy(x + y)
✈➔ g = f ✿ ✭✶✳✺✮ trð t❤➔♥❤✿
x2 y 2 + xy
f (x) + f (y) − f (x + y) = f

xy(x + y)
+ y 2 + xy

x2

✭✶✳✽✮

❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮✲✭✶✳✽✮ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥
q✉❡♥ t❤✉ë❝ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳

◆❤➟♥ ①➨t✿
✰ ◆➳✉ g(x) = c ✭g ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✮ t❤➻ ✈î✐ ❜➜t ❝ù ❤➔♠ H ✤➣ ❝❤♦ ♥➔♦✱ ✭✶✳✺✮
✤➲✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿

f (x) + f (y) − f (x + y) = c.
❘ã r➔♥❣ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔✿

f (x) = A(x) + c,


✶✹



f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y))

✭✶✳✶✵✮

❘ã r➔♥❣✱ ♥➳✉ φ ❧➔ ❛❢✐♥ t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ g ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✵✮ ✤➲✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠

f ❧➔ ❛❢✐♥✱ tù❝ ❧➔ ✭✶✳✶✵✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
❱➻ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t φ ❦❤æ♥❣ ❛❢✐♥ ✈➔ ❦þ ❤✐➺✉ I ❧➔ (α, +∞)✱ ✭❤♦➦❝

[α, +∞)✱ (−∞, +∞)✱ (−∞, −α]✱ (−∞, −α)✮✱ tr♦♥❣ ✤â α ≥ 0✳

✶✳✹ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
❚ø ❝ì sð ❧þ t❤✉②➳t ✤➣ ♥➯✉ ð ♣❤➛♥ tr➯♥✱ s❛✉ ✤➙② t→❝ ❣✐↔ s➩ tr➻♥❤ ❜➔②
ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✳




t số f (x) ỡ tr R tọ
ớ

f (x) tọ f (x) = a x, x R ợ a = f (1) R tũ
ỵ r f ỡ t f (x) = a x, x R
ự trữớ ủ f ổ ỏ trữớ ủ f ổ t
t ự tữỡ tỹ
sỷ f ổ tr R õ a = f (1) f (0) = 0 ợ ộ

x R t t t số ỳ t sn qn t ũ õ ợ
x

❈á♥ ♥➳✉✱ f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 s✉② r❛✿ ❤➔♠ f ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ tr➯♥ R✱ ❤❛②

f (x) = ax, ∀x ∈ R✱ ✈î✐ a ≤ 0✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷ ❚➻♠ ❝→❝ ❤➔♠ sè f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ R ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✮

✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✤♦↕♥ [c, d] ✈î✐ c < d ❜➜t ❦➻✳
▲í✐ ❣✐↔✐✿

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➔✐ t♦→♥✳

❉♦ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✮ ♥➯♥✿ f (x) = ax, ∀x ∈ Q✱ tr♦♥❣ ✤â✿ a = f (1)✳
❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ f (x) = ax, ∀x ∈ R✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② x ∈ R ❜➜t ❦ý✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ n ∈ N tç♥ t↕✐ rn ∈ Q ✭♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ n ✈➔ x✮✱ s❛♦ ❝❤♦✿

nx − d ≤ rn ≤ nx − c.
❙✉② r❛✱ f (nx − rn ) ❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ c ≤ nx − rn ≤ d✳
❚❛ ❝â✿

|f (nx − rn )| = |f (nx) + f (−rn )| = |nf (x) − arn |
= |n(f (x) − ax) + a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax| − |a(nx − rn )|.
❙✉② r❛✱ |f (nx − rn )| + |a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax|✳
▼➦t ❦❤→❝✱ |a(nx − rn )| ≥ max{|ac|, |ad|}✱ ✈➔ f (nx − rn ) ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐
♠å✐ n ∈ N✳
❉♦ ✤â✱ n|f (x) − ax| ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ ♠å✐ n ∈ N✳
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ①↔② r❛ ❦❤✐✿ f (x) − ax = 0✳
❱➟② f (x) = ax, ∀x ∈ R✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✸ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R t❤ä❛ ♠➣♥


f (x) + f (y) + f (z)
− f (0)
3
(f (x) − f (0)) + (f (y)f (0)) + (f (z) − f (0))
=
3
=

=

g(x) + g(y) + g(z)
3

g(x)
x
=
✳
3
3
g(y)
y
❈❤♦ x = z = 0✱ s✉② r❛ g
=
✳
3
3
❉♦ ✈➟②✱ ✈î✐ x, y ∈ R t❛ ❝â
❈❤♦ y = z = 0✱ s✉② r❛ g


❚❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝â✿ g(x) = ax ✈➔ f (x) = x2 + ax✳ ❚❤û ❧↕✐✱
t❛ t❤➜② f (x) t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮✳


✶✽

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✺ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ sè f : R+ → R
f
▲í✐ ❣✐↔✐✿

1
f (xy)

{0} t❤ä❛ ♠➣♥

= f (x)f (y), ∀x, y > 0

✭✶✳✶✷✮

❚❤❛② y = 1✱ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✷✮ t❛ ✤÷ñ❝✿

f

1
f (x)

✣➦t a = f (1) = 0✱ s✉② r❛✿ f
❉♦ ✤â t❛ ❝â✿

f

✳
a
❱➻ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R+ ♥➯♥ g ❝ô♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R+ ✳
❚ø ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â✿
g(x) = xα , ∀x ∈ R+ , 0 = α ∈ R.
❱➟② f (x) = axα , ∀x ∈ R+ ✳
❚❤û ❧↕✐ t❛ t❤➜② f (x) = axα , ∀x ∈ R+ ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✷✮✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✻ ❚➻♠ ❝➦♣ f, g ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ (1, +∞) s❛♦ ❝❤♦
f (xy) = xg(y) + yg(x), ∀x, y > 1.
▲í✐ ❣✐↔✐✿

❈❤♦ x = y ✱ t❤❛② ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â✿

f (x2 ) = 2xg(x).

✭✶✳✶✹✮


✶✾

f (x2 )
✳
2x
❚❤❛② ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

❙✉② r❛✿ g(x) =

xf (y 2 ) yf (x2 )
f (xy) =

2

✭✶✳✶✺✮

✣➦t h(x) = g(ex )✱ t❛ ❝â✿

h

x+y
2

=

1
(h(x) + h(y)) , ∀x, y > 0.
2

❱➻ g ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ h ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❏❡♥s❡♥ t❛
✤÷ñ❝✿

h(x) = ax + b
⇒ g(x) = alnx + b
tr♦♥❣ ✤â a, b ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè✳
❱➟②

√
a
ax
.lnx + bx, ∀x > 1.
f (x) = xg( x) = x .lnx + b =


f (1) = f (1) − f (0).
❙✉② r❛ f (0) = 0✳
❚❤❛② x = 1, y = 1 ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✼✮ t❛ ✤÷ñ❝✿ a = 0✳
❱➟② ✈î✐ a = 0 t❤➻ ❤➔♠ sè f ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐✳
❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ q✉❛♥ ❤➺ ❤➔♠

f (x − y) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R.
❚❛ ❝â✿ f (x) = f (x + y − y) = f (x + y) − f (y), ∀x, y ∈ R✳
❙✉② r❛ f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â✿ f (x) = cx, ∀x ∈ R, c ❧➔
❤➡♥❣ sè✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✾ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❤➔♠ sè f : R → R ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
f (x + y) + f (z) = f (x) + f (y + z), ∀x, y, z ∈ R

✭✶✳✶✽✮


✷✶
▲í✐ ❣✐↔✐✿

❚❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✽✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿

f (x + y) − f (x) = f (y + z) − f (z), ∀x, y, z ∈ R

✭✶✳✶✾✮

❉♦ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✾✮ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ x ♥➯♥ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✾✮ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö
t❤✉ë❝ ✈➔♦ x✳

❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔✿ f (x) = cx + a.