Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học phẳng rất đa dạng và phong phú, nhất là đối với học sinh lớp 9 các
em đã làm quen với rất nhiều tính chất hình học và các loại hình cơ bản như:
tam giác, tứ giác, đường tròn,... nhưng giải quyết các bài toán đó chỉ ở mức độ
hình học thuần túy. Khi các em được tiếp cận với hình học giải tích thì các bài
toán giải đa dạng và gần gũi hơn, tác động tốt đến tư duy của người học hơn,
làm cho người học phát triển được tư duy sáng tạo, tìm tòi và dựa trên cái cũ mà
phát triển các điều mới đa dạng, sâu rộng và khoa học hơn.
Đối với học sinh phổ thông hiện nay các bài toán về tìm tọa độ điểm hay viết
phương trình các đường trong hệ tọa độ oxy đang phổ biển và đa dạng, học sinh
trung bình thì ngại không tiếp cận cho rằng đây là dạng toán khó, đối với học
sinh khá và giỏi thì đam mê giải quyết hơn nhưng đôi khi thiếu định hướng để
bứt phá.
Trong những năm gần đây các dạng toán này đều được đưa vào các kỳ thi: thi
đại học, thi học sinh giỏi và các yếu tố hình học ngày càng nhiều hơn, phức tạp
hơn trong khi đó chương trình ở sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức cơ bản
và các công thức nên đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng, liên hệ những kiến
thức đã học về hình học phẳng để giải quyết. Ngoài ra học sinh phải khéo trong
quá trình sử dụng các tính chất hình học liên quan với các biểu thức tọa độ
tương ứng. Chính vì vậy học sinh cần phải được bổ trợ kiến thức, tổng hợp dạng
toán cụ thể có thể chuyên sâu một dạng nào đó để rèn kỹ năng và vận dụng các
dạng bài tập liên quan.
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh
tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần.
Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng phải đòi
hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ.

sinh giỏi …
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh
Gia 2.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 10 sau đó
khảo sát các lớp dạy.

GV Hoàng Thị Huệ

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
PHẦN II: NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học
sinh tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần
dần. Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng
phải đòi hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ.
Trên thực tế các dạng toán trong hệ oxy rất nhiều và phong phú đòi hỏi
người học phải tự chọn cho mình học những dạng nào cho phù hợp, người dạy
phải dạy gì cho học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai
thác sâu và chắc chắn.
Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ
bản hình học phẳng và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết
các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách
linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

a. Phép cộng vectơ:
Ta có: ∀A, B, C : AC = AB + BC (quy tắc chèn điểm)
Nếu ABCD là hình bình hành thì : AC = AB + AD
b. Phép trừ vectơ:
∀O, A, B : OB − OA = AB

c. Tích một số thực với một vectơ:

( )
• m( n a ) = ( mn ) a ;1.a = a ; − 1.a = − a

• m a + b = ma + m b ; ( m + n ) a = ma + na

(

Điều kiện: b cùng phương a ⇔ ∃k ∈ R : b = k a a ≠ 0

( )

)

d. Tích vô hướng: a b = a b cos a , b

e. Vectơ đồng phẳng:3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng.
a , b , x đồng phẳng ⇔ ∃ h, k ∈ R : x = h a + k b
f. Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:
Với a , b , c không đồng phẳng và vectơ e , có duy nhất 3 số thực x1, x2, x3:
e = x1 a + x 2 b + x3 c



Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Oxy: O là gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung. Trong đó:
i = (1; 0 ) , j = ( 0;1) là các vec tơ đơn vị trên các trục. Ta có: a = b =1 và i . j = 0

b. Tọa độ của vectơ: u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j
c. Tọa độ của điểm: OM = ( x; y ) ⇔ M ( x; y ) . Trong đó x là hoành độ, y là tung
độ của M.
2. Các kết quả và tính chất:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho A( x A ; y A ) , B( x B ; y B ) và các vectơ a = ( a1 ; a 2 ) , b = ( b1 ; b2 )
Ta có :
● a ± b = ( a1 ± b1 ; a 2 ± b2 )

(

)

● Tích giữa một véctơ với một số thực: k a = k a ; k b , k ∈ R
● Tích vô hướng giữa hai véctơ: a b = a1b1 + a 2 b2
∗ a = a12 + a 22

( )

Hệ quả: ∗ cos a ; b =

a1b1 + a 2 b2
a + a 22

2
● Khoảng cách: AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A )

x A + xB

x
=
M

2
● Nếu M là trung điểm của AB, ta có: 
y A + yB
 yM =

2

● Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến) :
x A + x B + xC

 xG =
3

y A + y B + yC
 yG =
3
G là trọng tâm tam giác ABC : 

4. Kiến thức về hình chữ nhật và hình vuông:
GV Hoàng Thị Huệ




Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

1. Phương trình tổng quát của D: A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) = 0, ( A 2 + B 2 ≠ 0)
2. Phương trình tham số của

 x = x0 + at

:  y = y + bt
0

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: ( ∆ 1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0, ( A12 + B12 ≠ 0)

( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C 2 = 0, ( A22 + B22 ≠ 0)

A

B

A

B

C

A



5. Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y 0 ) đến đường thẳng

( ∆ ) : Ax + By + C = 0, ( A 2 + B 2 ≠ 0) là:
d( M ,∆) =

Ax + By + C
A+ B

6. Đường tròn có tâm I ( a; b ) , bán kính R có phương trình : ( x − a ) 2 + ( x − b ) 2 = R 2
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
- Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh bằng nhau của hình vuông để
tìm ra độ dài cạnh hình vuông, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng như
phương trình các cạnh.
- Vận dụng tính chất song song, vuông góc của đường thẳng.
- Các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm đối xứng qua tâm, điểm đối xứng
qua đường chéo.
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kết hợp với góc và diện tích tam giác,
tứ giác.
Chú ý:
- Đường cao bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và độ dài cạnh đáy.
1
2

1
2

1
2

Lời giải:

Do I là tâm hình vuông nên I là trung điểm của BD. Suy ra: B(-2; -2)
 IA = ID
 AB = AD

Giả sử A(x; y) ta có hệ phương trình: 
 x + ( y + 3) = ( 0 − 2) + ( − 3 + 4 )
⇔
2
2
2
2
( x + 2 ) + ( y + 2 ) = ( x − 2 ) + ( y + 4 )
2

2

2

2



 x =1
⇔
⇔
 y = 2x − 3 



S ABCD = ab =16
1
ab 1 a b ab 16
S AMN = S ABCD − S BMN = − . . = =
=2
4
4 2 2 2 8
8

Mặt khác : S AMN =

1
1
b2 − 3− 5+ 4
AN . d ( M , AN ) =
a2 + .
=2
2
2
4
34

ab =16

a = 4 2

⇔
Ta có hệ phương trình :  2 b 2
b = 2 2
 a + 4 = 34

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện
tích bằng 16, phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0,điểm I(1; 2) là giao
điểm của hai đường chéo. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết A có
hoành độ dương.
Giải

GV Hoàng Thị Huệ

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Ta có: AD = BC = 2d ( I , AB ) = 2

Năm học 2016 - 2017

1− 2 + 3
2

=2 2

S ABCD = AB. AD = 16 ⇒ AB = 4 2
IA =

1
1
AC =
AB 2 + BC 2 = 10
2



Gọi A a;

⇔ ( a −1)( a + 4 ) +

− 7 a − 3 − 7 a + 17
.
= 0 ⇒ a = − 1( a < 0 ) ⇒ A( − 1; 5)
4
4

Phương trình đường thẳng AB đi qua A và M: x +2y -9 = 0
Phương trình đường thẳng AD đi qua A và N: 2x - y+7=0
Gọi I ( 4 x0 −1; 5 − 7 x0 ) là tâm hình chữ nhật.
Diện tích hình chữ nhật ABCD có thể tính theo các công thức sau :
S ABCD = AB. AD = 4 d ( I , AB ) . d ( I , AD ) = 30
1

x0 =
10 x 0 15 x 0

1
2
⇔ 4.
.
= 30 ⇔ x02 = ⇔ 
1
4
5


GV Hoàng Thị Huệ

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

điểm đối xứng thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện.
Dấu hiệu nhận biết: Giả thiết bài toán cho tọa độ tâm và tọa độ một điểm trên
cạnh (có thể là tâm hoặc điểm thuộc một đường thẳng cho trước).
Bài 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tâm I(1;1). Đường
thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (- 1;2), đường thẳng chứa cạnh CD đi qua
điểm N(2;1). Viết phương trình đường thẳng BC.
Giải

 E ∈CD

Gọi E là điểm đối xứng của M qua I ta có: 
 E ( 3; 0 )

Đường thẳng CD đi qua hai điểm E và N nên có phương trình: x + y - 3 = 0
Ta có d ( I , CD ) =

1+1− 3
2

=

Giải
Phân tích tìm lời giải

GV Hoàng Thị Huệ

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Giả thiết bài toán gồm tọa độ tâm I(6;2), điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng
chứa cạnh AB. Vì vậy ta lấy điểm N đối xứng với M qua I ⇒ N ∈CD
Kết hợp tính chất của hình chữ nhật có: IE ⊥ CD ⇒ IE NE = 0
Từ đó dễ tìm được tọa độ điểm E và phương trình đường thẳng AB đi qua M và
nhận IE làm véc tơ pháp tuyến.
Lời giải
Gọi N đối xứng với M qua I ⇒ N (1; 5)
Giả sự tọa độ điểm E ( e; e −1) ∈ d : x − y −1 = 0
Ta có: IE = ( e − 6; e − 3) ; NE = ( e −1; e − 6)
Do E là trung điểm của CD nên :
e = 2
IE ⊥ NE ⇒ IE NE = 0 ⇒ ( e − 6 )( e − 3) + ( − 1 + e )( − 6 + e ) = 0 ⇔ 
e = 6

Với e = 2 ta có: E ( 2;1) ⇒ IE = ( − 4; − 1) ⇒ AB : x − 4 y + 19 = 0
Với e = 6 ta có: E ( 6; 5) ⇒ IE = ( 0; − 3) ⇒ AB : y = 5
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là AB: y – 5 = 0 hoặc
x – 4y + 19 = 0

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
2 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD biết điểm M(0 ;1). Đường

thẳng AN có phương trình là : 2 2 x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ điểm A.
Phân tích tìm lời giải:
Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, (a, b > 0).
Ta có: S ABCD = ab = 2 2 (1)
S AMN = S ABCD − S ADN − S ABM − S CMN =
S AMN

3ab 3 2
=
8
4

a 2 + 4b 2 3 2
1
= AN . d ( M , AN ) =
=
2
4
4

( 2)

Từ (1) và (2) ta tìm đươc: a = 2 ; b = 2 .Từ đó ta tính được độ dài AM = 3 .
a = 2

Gọi A a; 4 − 2 2a , với AM = 3 , Ta tìm được 
2


Năm học 2016 - 2017

- Và suy ra tọa độ B, C (các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, D qua I).
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: (2;1), (4;1), (7;2),(5;4)


Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  .
3 1
2 2

Đường thẳng chứa các cạnh AB, CD lần lượt đi qua các điểm M( - 4; - 1),
N(- 2; - 4). Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hoành độ âm.
Phân tích tìm lời giải:
- M1, N1, lần lượt là điểm đối xứng
của M, N qua điểm I , khi đó M1(7;2) và N1(5;5).
- Vì MN1 AB

- Gọi B b;


AB: 2x – 3y + 5 = 0

2b + 5 
∈ AB , b < 0 . Do IB = 2 d ( I , AB ) ⇒ b = − 1 . Suy ra tọa độ B.
3 

C. BÀI TẬP TỰ LÀM
Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh D( 5;1)
. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AC =

3.1. Kết luận
3.1.1 Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
ĐỀ KIỂM TRA LỚP 10( Thời gian làm bài 45’)
Bài 1:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có
tâm I (1;1) . Đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua M ( − 2; 2) , N ( 2; − 2) . Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 2:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
phương trình cạnh AD là 2 x + y −1 = 0 , điểm I ( − 3; 2) thuộc BD sao cho
IB = − 2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết D có hoành độ dương và

AD = 2AB.
3.1.2 Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
ĐỀ KIỂM TRA LỚP 10( Thời gian làm bài 45’)
Bài 1:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
tâm I ( 6; 2) . Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình cạnh AB.
Bài 2(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh
9 3
A(1;1) . AB = 4. Gọi M là trung điểm của BC, điểm H  ; −  là hình chiếu
5 5

vuông góc của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết đỉnh
B có hoành độ bé hơn 2..
3.1.3 Kết quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm
Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách
chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm
bài tập giao về nhà tương tự. Phương pháp dạy học trên dựa trên nhu cầu cần
thiết của người học toán:
- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức cũ và mới.
- Khả năng tư duy sáng tạo và tự học.


Từ 3đ

Từ 5đ

đến

đến

5đ

7đ

13

16

Từ 7đ
đến 8đ

Từ 8đ
đến
10đ

Dưới

Từ 3đ

Từ 5đ



12

2

27.9%

4.6%

4

0

0

11.6%

46.5% 32.7%

9.3%

sinh
10C3
42 học

6

20

12

Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết như
GV Hoàng Thị Huệ

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi
hỏi tính sáng tạo như các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm
ở hai lớp dạy là 10C1 và 10 C3 trườngTHPT Tĩnh Gia 2 đã chứng tỏ đề tài giúp
học sinh phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều
đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh
nghiệm quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.
Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “ Phân tích các tính
chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ
Oxy ”.
. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các đồng
chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2 Những kiến nghị
Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần
lưu ý một số điểm sau:
a) Đối với giáo viên:
- Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn,
nghiệp vụ sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát
huy năng lực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều
chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác

- Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn
Sở GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác
tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp
loại.
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các
em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Hoàng Thị Huệ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 10 (Nhà xuất bản giáo dục)
2. Các dạng toán luyện thi đại học ( Trần Thị Vân Anh- Nhà xuất bản Đại
Học Quốc Gia Hà Nội)
GV Hoàng Thị Huệ

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

3. Báo toán học tuổi trẻ.
4. Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Đại học cao đẳng ( Tủ
sách toán học và tuổi trẻ).
5. Tuyển chọn những bài toán hay và khó(PGS.TS Đậu Thế Cấp-Nguyễn

Phần III

Năm học 2016 - 2017

Nội dung

3

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
A. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
B. HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM
C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

3

A. Nội dung phương pháp

7

1. Phương pháp tính độ dài cạnh

7

2. Phương pháp đối xứng qua tâm
B. Bài tập hướng dẫn trên lớp

18
20

21