MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU................................................................................................................... 2
1.1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................................2
1.5. Những điểm mới của SKKN...............................................................................2
2. NỘI DUNG................................................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận.......................................................................................................3
2.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số............................................3
2.1.2. Các định lý về giới hạn của dãy số và hàm số..............................................3
2.2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.............................................................4
2.2. Thực trạng của vấn đề.........................................................................................5
2.3. Các giải pháp thự hiện.........................................................................................6
2.3.1. Giải pháp chung...........................................................................................6
2.3.2. Các dạng sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục......................................7
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.......................................................................................19
3.1. Kết luận............................................................................................................. 19
3.2. Kiến nghị...........................................................................................................19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn Sách giáo khoa Đại số và Giải tích
11 đã viết: “Trong đó, Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích.
Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của
Giải tích đều liên quan đến Giới hạn” [1].
Khi học sinh tiếp thu các tri thức của giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi
về chất trong nhận thức của học sinh. Khái niệm giới hạn chính là cơ sở cho

Đức; Nhà xuất bản Hà Nội, năm 2004. Tôi thấy tác giả cũng đã tìm hiểu những
sai lầm và nguyên nhân một cách chung nhất khi giải toán.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn những
dạng sai lầm và nguyên nhân trong chủ đề giới hạn.
2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
2.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số.
a) Dãy số
• lim un = 0 ⇔ Mọi un đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
• lim un = L ∈ R ⇔ lim(un − L) = 0.
•Mọi un đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
• lim un = ∞ ⇔ Mọi un đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
b) Hàm số
• Giả sử x0 ∈ (a; b) và f là một hàm xác định trên (a; b) có thể trừ x0 .
f(x) = L ∈ R ⇔ Với mọi dãy (x n ) trong (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta đều có
+ xlim
→x
0

lim f(x n ) = L .
f(x) = +∞ ⇔ Với mọi dãy (x n ) trong (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta đều có
+ xlim
→x
0

x →+∞

lim f(x) = −∞ ,

lim f(x) = L ,

x → x0+

lim f(x) = +∞ ,

x→+∞

x → x 0−

lim f(x) = −∞ ,

x→+∞

lim f(x) = +∞ ,

x → x0−

lim f(x) = −∞ ,

x→+∞

lim f(x) = L , lim f(x) = +∞ , lim f(x) = −∞ ,

x →−∞


f ( x) L
=
(nếu M ≠ 0 ).
g ( x) M

limcf(x) = cL (c là hằng số; lim

2.2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
a) Dãy số
• Nếu lim un = ±∞ , lim v n = ±∞ thì lim(un vn ) được cho trong bảng sau:
lim un

limv n

lim(un vn )

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞



un
được cho trong bảng sau:
vn

Dấu của L

Dấu của vn

lim(un vn )

+
+
-

+
+
-

+∞
−∞
−∞
+∞

4


b) Hàm số
f(x) = ±∞ , lim g(x) = L ≠ 0 thì lim [ f ( x) g ( x) ] được cho trong bảng
• Nếu xlim

0

0

lim [ f ( x) g ( x) ]

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞
g(x) > 0 hoặc

g(x) < 0 với mọi

x ∈ J \{x0 } , trong đó J là một khoảng nào đó chứa {x0 } thì lim
x→ x

0

f ( x)
được
g ( x)

cho trong bảng sau:
Dấu của L
+
+
2.2. Thực trạng của vấn đề

2.3.1. Giải pháp chung
Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không
chắc chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh
nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã
có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng
lại là sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến
thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được,
chúng sẽ được tạo nên từ những chướng ngại.
Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và
có thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai
lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai
lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những
khó khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý
nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học.
Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán
học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi
lĩnh hội tri thức này.
Qua phân tích những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học phần giới
hạn, từ đó:
• Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
• Rèn luyện cho học sinh kĩ năng mặt tư duy...
• Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, biến đổi...
• Tăng khả năng phán đoán, khả năng học sinh tự học.
• Phân dạng bài tập và phương pháp giải
• Đưa ra các dự đoán sai lầm.
• Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
• Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Giáo viên đánh giá học sinh.


x3 − 8
để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng lim
x→2
x2 − 4

x3 − 8
không tồn tại.
x2 − 4

Lời giải đúng:
Với x ≠ 2 , Ta có
Do đó lim
x →2

x3 − 8 x 2 + 2 x + 4
=
.
x2 − 4
x+2

x3 − 8
x2 + 2 x + 4
=
lim
= 3.
x 2 − 4 x→2 x + 2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;

lim

Học sinh cho rằng:

x →9

81 − x 2 + x − 9 = f(9) =

(

)

81 − 9 2 + 9 − 9 = 0

81 − x 2 + x − 9 = 0

Nguyên nhân sai lầm:
Thực ra thì hàm số f(x) =

(

)

81 − x 2 + x − 9 không có giới hạn tại x = 9

 81 − x 2 ≥ 0
⇔ x = 9 , tức tập xác định là K = { 9} . Do
vì tập xác của hàm số f(x): 
 x − 9 ≥ 0




Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu ∞ này, có
thể
được hiểu theo các cách khác nhau như + ∞ hoặc −∞ . Vì vậy, nên khi
xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn + ∞ hay
giới hạn −∞ tức là lim un = + ∞ hoặc lim un = −∞ . Do ¡ là một tập hợp sắp thứ
tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là ∞ hay viết lim un= ∞ . Bản
chất của + ∞ và −∞ không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng
ra nói đến lân cận của + ∞ tức là khoảng ( a ; + ∞ ) và lân cận của −∞ là khoảng
( −∞ ; a) với ∀a ∈ ¡ , do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số
trên chúng.
Chẳng hạn:
thể viết lim
x→a

lim
x →a

f ( x)
= 0 nếu lim
f ( x ) = L và lim
g ( x ) = + ∞ nhưng không
x→ a
x→ a
g ( x)

f ( x)
f ( x ) lim
L

(

)

n2 + n + 1 − n =

1+

1
2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số.
c. Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy.
9




1

Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim 

2
 n +1

+



n +n
2

Nên
mà

n
n2 + n

lim

1

≤

n +k
2

n
n2 + n


Do đó lim 

1

≤

n2 + 1

, ∀ k ∈ [ 1; n ] .
n
1

+ ... +

n2 + n

≤

n
= 1;
n

= 1.

1
n2 + 2

+ ... +


÷ = 1.
n2 + n 
1

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
Củng cố các định lý về giới hạn dãy số;
d. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng vận dụng các định nghĩa,
định lý, công thức.


x →2

1
1
= −∞ và xlim
= +∞.
+
→2 x − 2
x−2

Vậy lim
x →2

1
không tồn tại.
x−2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới một bên;
- Củng cố các định lý về điều kiện có giới hạn;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số.
1 + 2 + ... + n
Ví dụ 2: Tính giới hạn lim
.
2
n +2

Sai lầm thường gặp:
= 0+0+... +0 = 0.

1 + 2 + ... + n
1
n +n
n
Do đó: lim
= lim 2( n 2 + 2) = lim 2
= lim
=
2
4
2
n +2
2n + 4
2+ 2
n

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
11


- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Chú ý: Tổng vô hạn các đại lượng có Giới hạn 0 chưa chắc đã có Giới
hạn 0 (tức là các phép toán Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và
được sử dụng cho hữu hạn các số hạng.
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng

0
.
0



Vậy không tồn tại giới hạn.
Nguyên nhân sai lầm:
Định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ
mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn.
Lời giải đúng:
Ta có 0 ≤

( −1)

n

2 +1
n



n

n

Tức: Với un = (-1) , vn = n + 1 thì lim
2

( −1)

n

n2 + 1

=0.

Nguyên nhân sai lầm:
Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là lim (-1)n không có giới hạn
Lời giải đúng:

( −1)

Ta có:

n

n2 + 1

Vậy lim

( −1)

)

(

1− x2 + x − 1 .
Ví dụ 5: Tính giới hạn lim
x→1

Sai lầm thường gặp:

1− x2 = 0 và lim x − 1 = 0 .
Ta có lim
x→1
x→1
Vậy theo định lí về Giới hạn của tổng hai hàm số thì:

)

(

lim 1− x2 + x − 1 = 0.
x→1

Nguyên nhân sai lầm:
Thực ra nhưng hàm số f(x) = 1− x2 + x − 1 không có Giới hạn tại x = 1
bởi lẽ biểu thức

1− x2 + x − 1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập

xác định của f(x) là K= { 1} .

Sai lầm thường gặp:
Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do f(3) = 1 do đó limf(x) = 1.
x→3
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh chưa biết vận dụng định nghĩa giới hạn một bên.
Lời giải đúng:
Ta có limf(x)
= lim+ 9 − x2 = 0 và limf(x)
= lim− 9 − x2 = 0.
+
−
x→3

x→3

x→3

x→3

f(x) = 0
Do đó lim
x→3
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn một bên;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn một bên.
e. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng biến đổi:

14


Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất
x2 − 2x − 2 x − 2
= 2 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn
x3 + x2
x

toàn khác nhau.
Nguyên nhân sai lầm:
Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất
x2 − 2x − 2 x − 2
= 2 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn
x3 + x2
x

toàn khác nhau.
Lời giải đúng:
x 2 − 2 x − 2 ( x + 1)( x − 2) x − 2
=
= 2 .
Với x ≠ −1 ta có:
x3 + x2
x 2 ( x + 1)
x
2
lim x − 2 x − 2 = lim x − 2 = −3
Do đó x→−
1
3
2
2

15


Ví dụ 2: Tính giới hạn xlim
→−∞

x 2 + x + 2 + 3x
16 x 2 + 1 + x + 1

.

Sai lầm thường gặp:


1 2
x  1 + + 2 + 3÷
x x
x 2 + x + 2 + 3x =

lim 
lim
x →−∞
2
x →−∞

1
1
16 x + 1 + x + 1
x  16 + 2 + 1 + ÷
x

x x
x

1 2
+ 2 −3
x + x + 2 + 3x
2
x
x
=
lim
=
−
Khi đó xlim
.
→−∞
3
1
1
16 x 2 + 1 + x + 1 x →−∞
16 + 2 − 1 −
x
x
1+

2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;

lim




4 1
4 1
n 2 + 4n − 1 − n
n  1 + − 2 − 1÷
 1 + − 2 − 1÷
n n
n n





đến đây gặp dạng vô định

0
và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này
0

bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng
phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán thường dẫn đến kết quả
sai.
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi
biến đổi tính toán đại số.
Lời giải đúng:

n n2
n 2 ( −4 )

 =−1
= lim
×
n →+∞
1 
2


n2  4 + ÷  4 + 1 + 2 + 1 ÷
2
n

n
n


Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Rèn luyện thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi
tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi n → + ∞ thì tử số và mẫu số
đều có dạng vô định ( ∞ - ∞ ) thì ta phải khử dạng vô định này trước.
- Khi tìm Giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng
dạng thuộc loại vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do
đó xem các dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) đều
thuộc dạng vô định là ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng các kỷ thuật tính toán khử
dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả Giới
hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác
nữa, chẳng hạn:

(

)

x 2 + 1 − x = lim

x → −∞

1
x +1 + x
2

= lim

x → −∞

)

nếu cứ thực hiện biến đổi
1



1
− x 1 + 2 − 1
x



= lim

→ −∞

(

)

∞
x 2 + 1 − xlim
→ −∞ x = +

Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:
2
lim x 2 1 − 1  = +∞
a) xlim
(x
–
x)
=
→ −∞
x → −∞



(

)

x



những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; học sinh có thể
quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó
thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương Giới hạn nói riêng.
Qua đề tài cũng đã chỉ ra một số yếu kém trong việc tiếp thu tri thức giới
hạn, đã phân tích những nguyên nhân của sự yếu kém đó. Từ những hạn chế mà
học sinh gặp phải khi giải quyết các vấn đề giới hạn của học sinh để cho các nhà
giáo dục có các biện pháp để giúp học sinh nâng cao hiểu biết về giới hạn. Trên
cơ sở đó tôi đã mạnh dạn đề xuất một số phương pháp nhằm nâng cao hiệu quả
cho học sinh THPT khi tiếp thu khái niệm giới hạn.
Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn
nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời
sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
3.2. Kiến nghị
Trong quả trình giảng dạy, khi thực hành cần cho học sinh trao đổi, so
sánh kết quả, tìm ra nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sau đó giáo viên
mới tổng hợp và kết luận.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm cho các chuyên đề khác trong môn Toán
THPT.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình
giảng dạy, sẽ có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để cho đề tài
được hoàn thiện và đi vào áp dụng.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 11 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)



1.

2.
3.

4.

5.

6.

7.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Khái quát hóa, tổng quát hóa,
Ngành GD cấp tỉnh
đặc biệt hóa từ bài toán quen
Thanh Hóa.
thuộc.
Hướng dẫn học sinh dùng ẩn Ngành GD cấp tỉnh
phụ trong giải toán
Thanh Hóa.
Phát huy tính tích cực tự giác


Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2003 - 2004

C

2005-2006

C

2016 -2007

B

2017-2008

B

2012 - 2013

B

2014 -2015

B