SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT
ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP

Người thực hiện: Trần Thị Vân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu

chóp

14

2.4. Hiệu quả của SKKN

16

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

17

3.2. Đề xuất

17

Tài liệu tham khảo

18

Danh mục các đề tài SKKN đã đạt giải

18

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

2



ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng áp dụng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm được
bài toán này và các bài toán về tính khoảng cách nói chung trên các loại hình
khác như: hình lăng trụ, hình hộp…
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt đáy của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.Nghiên cứu lý luận dạy học.
2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

3


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
M
phẳng (P) là khoảng cách giữa điểm
M và hình chiếu vuông góc H của M
trên mặt phẳng (P) .
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P) kí hiệu là: d ( M ; ( P )) .
H


P

Q

H

∆

Chú ý: Trong trường hợp việc tìm hình chiếu của M trên (P) gặp khó khăn thì
ta có thể tính d ( M ; ( P )) theo khoảng cách từ một điểm N phù hợp đến (P) dựa
vào nhận xét sau:
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

4


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt M , N không thuộc mp (P) :
M

M

N

H

K

2.3. Giải pháp
Trong bài viết này tôi đã cụ thể hóa bài toán tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng thành 2 bài toán nhỏ trong hình chóp với 4 dạng thường gặp
sau, giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng.
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp.
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
đến mặt đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
Cụ thể:
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
ĐI QUA ĐỈNH CỦA HÌNH CHÓP
(Trong bài này tôi chỉ xét mặt phẳng đi qua đỉnh và có giao tuyến với mặt đáy)
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

5


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao là SH . Xác định khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng đi qua đỉnh (SBC ) .
b/ Phân tích:
Xét thấy (SBC ) và mặt đáy ( ABCD) có giao


Thường là dựa vào tam giác vuông SHI :

khoảng cách từ điểm A đến (SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy (SBC ) là mặt đi qua đỉnh , ( SBC ) ∩( ABC ) = BC . Khi dựng
AI ⊥ BC , lưu ý cho học sinh xác định điểm I trong bài toán tổng quát là điểm C
của bài tập (thường học sinh nhầm là I khác C ).

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

6


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Giải:

* Đã có ( SBC ) ∩( ABC ) = BC . Trong mp (SAC ) , dựng AK ⊥ SC tại K , Ta được:
d ( A; ( SBC )) = AK .
Thật vậy: Vì SA ⊥ BC , AC ⊥ BC ⇒ ( SAC ) ⊥ (SBC ) , mà AK ⊂ ( SAC ), AK ⊥ SC và
( SBC ) ∩ ( SAC ) = SC nên AK ⊥ ( SBC ) suy ra d ( A; ( SBC )) = AK
*Tính AK : Theo giả thiết ta có: ∆ABC vuông tại C , cạnh AB = 2a và góc
∧
ABC = 60 0 nên suy ra: AC = a 3 . Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường cao
nên

1
1
1

Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD) bằng 450.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD) .
Giải:
S

K
A
B

D
M

I

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

C
7


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

* Đã có ( SBC ) ∩ ( ABCD) = BC , trong ( ABCD ) dựng AI ⊥ BD tại I ( I là trung
điểm của BD ), nối SI .Trong (SAI ) dựng AK ⊥ SI tại K ta được d ( A; ( SBD)) = AK
* Tính AK :
- Xác định góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD) :
∧
∧
∧

a
3a
3a
a 3
Vậy : d ( A; ( SBD)) =
.
4

Ví dụ 3: (Trích Đề thi TNTHPT năm 2015)
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD ), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 0 .
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .
Giải:
S

H
A
M

d

B

D
C

∧

Ta có SCA = ( SC , ( ABCD)) = 45 0 suy ra SA = AC = a 2 .
* Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC . Vì AC // mp ( SB, d ) nên

a 10
Vậy d ( AC ; SB ) =
.
5

Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I , F lần lượt là
trung điểm của AB và AD . Tính theo a
a/ khoảng cách từ I đến mp (SFC ) .
b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD .
3a 2
.
8
a 15
b/ d ( SA; BD) =
.
5

Đáp số: a/ d ( I ; ( SFC )) =

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = a , AA ' = 2a , A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là
giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (IBC ) .
Đáp số: d ( A; ( IBC )) =

2a 5
.
5


(Hình b)
b/ Phân tích: Nối MH , xảy ra 2 trường hợp: nếu MH ∩ ( SBC ) = H thì
( SBC ) ⊃ SH (hình a); nếu MH //( SBC ) hoặc MH ∩ ( SBC ) = I ; I ≠ H thì SH ⊄ (SBC )
(hình b).
9
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

- Nếu (SBC ) chứa đường cao SH thì qua M có sẵn mp ( ABCD) ⊥ ( SBC ) dẫn
đến việc xác định d ( M ; ( SBC )) gặp thuận lợi.
- Nếu (SBC ) không chứa SH thì việc tìm hình chiếu của M trên (SBC ) khó
khăn. Trong trường hợp này để tìm d ( M ; ( SBC )) ta quy về tìm khoảng cách từ
chân đường cao H đến mặt bên ( SBC ).
c/ Phương pháp: Xác định đường cao SH , Nối MH để biết (SBC ) chứa
hay không chứa SH và vận dụng phương pháp phù hợp:
* Trường hợp 1: Nếu (SBC ) chứa SH ( MH ∩ ( SBC ) = H ).
- Bước 1: Xác định ( ABCD) ∩ ( SBC ) = BC
- Bước 2: Dựng MK ⊥ BC tại K được d ( M ; ( SBC )) = MK
Thật vậy: vì ( ABCD) ⊥ ( SBC ) , ( ABCD) ∩ ( SBC ) = BC và MK ⊥ BC nên MK ⊥ (SBC )
suy ra d ( M ; ( SBC )) = MK .
* Trường hợp 2: Nếu (SBC ) không chứa SH ( MH //( SBC ) ) hoặc (
MH ∩ ( SBC ) = I ≠ H ).
- Bước 1: Quy việc tính d ( M ; ( SBC )) về tính d ( H ; ( SBC )) .
+ Nếu MN //(SBC ) thì : d ( M ; ( SBC )) = d ( H ; ( SBC ))
d ( M ; ( SBC ))

MI

10


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
1
1
1
1
1
4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇔ BM =
.
2
2
2
BM
BA
BC
a
3a
3a
2
a 3
Vậy d ( B; ( SAC )) =
.
2

2
HK
HI
HS
6a
11
2a 66
Vậy: d (C; ( SAB)) = 2 HK =
.
11
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a , AD = CD = a , góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và ( ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SCD ) .

ta có:

Gợi ý:
* Từ giả thiết chứng minh được AC ⊥ CB ,
SC ⊥ CB suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC )
∧
và ( ABCD) bằng SCA = 45 0 , tính được SA .
* Vì AB //(SCD) nên d ( B; ( SCD)) = d ( A; ( SCD )) .
* Gọi H là hình chiếu của A trên SD ,
chứng minh được AH là khoảng cách từ A
đến (SCD ) .
* Trong tam giác vuông ∆SAD tính được AH .
a 6
Đáp số: d ( B; ( SCD )) =
.

6a 7
.
7

Bài 2. (Trích đề ĐH khối B-2014) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm cạnh AB , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt đáy bằng 60 0 .Tính theo a
khoảng cách từ điểm B đến mp( ACC ' A ' ).
3a 13
.
13
Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B , BC = 2 AB = 2 AD = 2a . Gọi E là điểm đối xứng với A qua D , M là trung
điểm của BC . Biết rằng cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa
hai mặt phẳng ( SCE ) và ( ABCD ) bằng 45 0 .Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM , SD .

Đáp số: d ( B; ( ACC ' A ' )) =

Đáp số: d ( AM ; SD) =

a 3
.
3

Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng
đi qua đỉnh của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD , M là điểm thuộc mp (SAD) và M khác
S , M ∉ ( ABCD ) . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC ) .
b/ Phân tích: Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC ) ta quy về

cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ∆ABC , H là hình chiếu
vuông góc của G trên SA . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy SH ∩ ( ABC ) = A , để tính khoảng cách từ H đến mp (SBC ) ta
dựa vào khoảng cách của điểm A đến (SBC ) ?.
Giải:
S

H
P
A

C
G

M

B
Vì S. ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao của hình chóp.
SH SG 2
=
.
SA SA2
2 a 3 3 2
Mà SG 2 = SA2 − AG 2 = 4a 2 − ( .
) = 3a 2 .
3
2
2
3

13
3 a 39
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ GP = a
=
.
2
2
2
13
13
GP
SG
GM
3a
a
3a
3a 39
Vậy d ( H ; ( SBC )) =
.
26

Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a .
Cạnh bên SA = a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB , G là trọng tâm tam giác ∆SAB . Tính theo a
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

13

* Bước 2:
-Trong (SBC ) có chứa M , nối SM cắt mp ( ABCD) tại
I (tùy vào hình mà có thể chính xác hóa vị trí I ).
- Nối HI .
A
d ( M ;( ABCD)) MI
=
-Tìm liên hệ :
.

M
B

SH

SI
* Bước 3: Tính SH suy ra d ( M ; ( ABCD)) .

D

H

N

I

C

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên
bằng a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , tính khoảng cách từ G đến mp

giải một số bài toán trong hình chóp

BD a 2. 2
=
= a , SO = SB 2 − OB 2 = a 2
2
2
a 2
Vậy d (G; ( ABCD)) =
.
3
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa đường
thẳng A ' C và mp ( ABC ) bằng 45 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A ' BC . Tính
khoảng cách từ G đến mp ( ABC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy ( ABC ) là mặt đáy của hình chóp A ' . ABC với đường cao

+ Ta có: SB = a 3 , OB =

A ' A . Áp dụng phương pháp trên ta có lời giải sau:

Giải:

B’

A
’

C’
G


15


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm
tam giác SCD . Tính theo a khoảng cách từ G đến mp ( ABCD) .
Đáp số: d (G; ( ABCD )) =

a 3
.
6

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết diện tích đáy
bằng 2a 2 , AD = a , ∆SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( ABCD) .
Đáp số: d ( M ;( ABCD )) =

a 3
.
6

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả
thu được như sau:

Sĩ số

11A8
12A7

44
44

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
39
88.63
40
90.0

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.37
4
10.0

16


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động


Trần Thị Vân

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

17


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách hình học nâng cao lớp 11
2/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
3/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
4/ Đề đại học khối D-2011
5/ Đề đại học khối B-2014

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Vân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Lê Hoàn

TT

Tên đề tài SKKN

Kết quả