Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
MỤC LỤC
Mục
1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.Cơ sở lí luận.
2.2.Thực trạng của vấn đề.
2.3.Giải quyết vấn đề.
2.3.1.Các giải pháp thực hiện.
2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện.
2.4. Nội dung thực hiện.
2.4.1.Bài toán 1:Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Biết mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d không đi qua A
sao cho MA ⊥ d.
2.4.2. Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
2.4.3.Bài toán 3:Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Biết mặt phẳng (P) ⊥ d nào đó.
2.4.4. Bài toán 4: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) ⊥ (Q) chứa M.
3. Kết luận.
3.1. Kết quả thực nghiệm.
3.2.Bài học kinh nghiệm.
3.3. Đề xuất.

Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
1. MỞ ĐẦU.
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong quá trình giải các bài toán hình không gian ta gặp rất nhiều bài toán
mà khi giải các bài toán đó ta cần tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.
Chẳng hạn, khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính góc tạo
bởi một đường thẳng với mặt phẳng, xác định số đo góc phẳng của nhị diện,…
Việc xác định được chân đường vuông góc của điểm trên mắt phẳng có vai trò
quan trọng trong việc tìm ra lời giải của các bài toán đó. Trong thực tế của việc
dạy học tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh còn lúng túng, bối rối trước vấn đề
này. Chính vì vậy, tôi chọn viết đề tài : “Rèn luyện kỹ năng xác định hình

chiếu của điểm trên mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số
bài toán ”.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục đích của việc nghiên cứu và viết đề tài này nhằm giúp học sinh nắm
vững phương pháp và dễ dàng hơn trong việc tìm được hình chiếu của điểm trên
mặt phẳng.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Đề tài này nghiêm cứu, tổng kết về hình chiếu của một điểm trên một mặt
phẳng chủ yếu ở một số loại hình chóp trong hình học không gian lớp 11.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Để thực hiện đề tài này phương pháp chủ yếu của tác giả là : Nghiên cứu
xây dựng cơ sở lý thuyết, xây dựng thuật toán, học hỏi, tìm tòi, đúc rút kinh
nghiệm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN.

những tri thức toán học đã được trang bị vào giải quyết những vấn đề trong toán
học cũng như trong thực tiễn.
Trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh có thể mắc một số sai lầm và lúng
túng không biết sai từ đâu, sai ở đâu khi chưa được giáo viên nhấn mạnh đến
những sai lầm, chưa rèn luyện kỹ năng giải cho học sinh. Vì vậy, đối với mỗi
dạng toán, mỗi loại bài toán người giáo viên phải biết tạo điều kiện cho học sinh
có cơ hội rèn luyện các kỹ năng giải.
Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, các bài toán thuộc bộ môn hình học
không gian thông thường học sinh luôn cảm thấy khó khăn và không có hứng
thú học tập vì có tư tưởng đã ăn sâu là “sợ hình”. Đồng thời, phần hình học
không gian ở lớp 11 thì hình chiếu vuông góc chỉ được nêu một khái niệm chung
về phép chiếu vuông góc ( Định nghĩa 2 trang 100 sách giáo khoa hình học nâng
cao 11; trang 102 sách giáo khoa hình học 11) còn các cách xác định hình chiếu
của điểm, của một hình trên mặt phẳng không được đề cập tới. Vì vậy, hầu hết
giáo viên chỉ nhắc qua cho học sinh cách xác định khi gặp những bài toán cụ thể
có liên quan mà không xây dựng cở sở lý thuyết hay thuật toán cụ thể. Tuy
nhiên, nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh , đặc biệt là đối tượng học
sinh thuộc ban cơ bản sẽ mơ hồ, lúng túng không thể tự giải quyết được các loại
bài tập có liên quan đến việc xác định chân đường vuông góc. Là một giáo viên
dạy toán tôi luôn trăn trở tìm cách khắc phục thực trạng trên bằng cách tìm tòi
các phương pháp tiếp cận mới,cách cụ thể hóa phương pháp giải, cách phân nhỏ
bài toán lớn thành các bài toán nhỏ…để rèn luyện cho học sinh dần thoải mái
hơn, hứng thú hơn đối với việc học hình.
Trong bài viết này tôi xin phân nhỏ bài toán xác định hình chiếu của một
điểm trên một mặt phẳng thành 4 bài toán sau để rèn luyện cho học sinh lớp 11
đặc biệt là đối tượng thuộc ban cơ bản dễ dàng tiếp thu và áp dụng :
Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao cho MA ⊥ d.
Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.

* Bước 1: Trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc với d.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và đường thẳng d’, kẻ MH ⊥ d’.
* Bước 3: Kết luận, H chính là hình chiếu của M trên (P).
M

A
P

H

d
d
’

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Xác định hình chiếu vuông góc
của A trên mặt phẳng (SBC).

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
4


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
S

H
A


Giải: Theo giả thuyết, ta có: 

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
5


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Từ đó suy ra BD ⊥ SC .Gọi O là giao của AC và BD. Khi đó, ta có BD ⊥ SO
.Trong tam giác SOC kẻ đường cao CH xuống cạnh SO. H chính là hình chiếu
của C trên mặt phẳng (SBD)
CH ⊥ SO
⇒ CH ⊥ ( SBD)
CH ⊥ BD

vì 

2.4.2.BÀI TOÁN 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
Cách xác định:
* Bước 1:Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d của AB.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và d dựng MH ⊥ d.
* Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm.
M

H


I
C

ớng dẫn giải:
Tìm trên mặt phẳng (ABC) hai điểm mà cách đều S. (sử dụng giả thuyết cho AB
= AC, ∠SAB = ∠SAC ).
Giải :
Theo giả thuyết, ta có ∆SAB = ∆SAC (c.g.c). Suy ra, SB = SC.
Trên mặt phẳng (ABC) kẻ đường trung trực của BC chính là đường cao AI ( I là
trung điểm của BC vì ∆ ABC cân tại A).
Trong ∆ SAI kẻ đường cao SH xuống cạnh AI ( H thuộc AI) .
 SH ⊥ AI
⇒ SH ⊥ ( ABC ) .
 SH ⊥ BC
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng ( α ) đi qua AB

Khi đó, H chính là hình chiếu của S trên (ABC) vì 

và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Xác định hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng ( α ).
Hướng dẫn giải:
Trên mặt phẳng ( α ) tìm hai điểm cách đều S. Nên chọn các điểm đã cho
trong đề ví dụ như A, M, M chẳng hạn.

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
7



cao SH xuống cạnh EF.
Khi đó H chính là hình chiếu vuông góc của S trên ( α ). Vì
 AB ⊥ SE
⇒ AB ⊥ SH ⇒ SH ⊥ (α ) .

 AB ⊥ EF

2.4.3. BÀI TOÁN 3: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt
phẳng (P). Biết tồn tại một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Cách xác định:
• Bước 1: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng d. Xác định giao
tuyến a của (P) và (Q).
• Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng // d và cắt giao tuyến a tại
H.
Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
8


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Q

M
d
H


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Trong mặt phẳng (SNO), từ M kẻ MH //SO. Khi đó, MH ⊥ (ABCD) nên H là
hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C và cạnh SA
vuông góc với đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh AB
xuống mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải: - Hãy tìm một đường thẳng a vuông góc với mp(SBC), chú ý
tới các yếu tố vuông góc mà giả thuyết đã cho đó là SA ⊥ (ABC); BC ⊥ AC.
- Trong mp chứa a và M , kẻ qua M đường thẳng // a.
S

K
A

H
B

M

C
Giải:
Trong tam giác SAC, hạ đường cao AK
 BC ⊥ AC
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK .
 BC ⊥ SA


P

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm
M thuộc cạnh SA trên mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn: Dựa vào đề đã cho, hãy tìm mặt phẳng vuông góc với (SBC).
S
H
M

A

D

B

C

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
11


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
 BC ⊥ SA

O
D

C

Giải:
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
 BC ⊥ SA

Ta có 

Mà (P) //BC ⇒ ( P ) ⊥ ( SAB ) ; S ∈ ( SAB ) do đó hình chiếu vuông góc của S trên (P)
nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (P) và (SAB). Gọi MN là giao tuyến của (P)
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
12


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
và (SAB). Trong mặt phẳng (SAB) từ S hạ SH ⊥ MN . H chính là hình chiếu của
S trên (P).
3. KẾT LUẬN
3.1.Kết quả thực nghiệm.
Liên tục trong các năm học từ 2011-2012 đến 2015- 2016, tôi đã tiến hành
thực nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hay các tiết dạy tự
chọn, cụ thể:

70-77%
92-95%

Tỉ lệ học sinh không
làm được bài
3-5%

3.2. Bài học kinh nghiệm
Do kiến thức về phần hình chiếu vuông góc này chỉ được lồng ghép trong
bài “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” mà thời lượng của bài này trong
phân phối chương trình của cả hai ban nâng cao và cơ bản đều hạn hẹp( 2 tiết),
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
13


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu là bố trí
vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố trí dạy
vào các buổi ôn tập.
3.3.Đề xuất.
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm
mới đạt được độ hoàn chỉnh cao. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của
các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Xác nhận của đơn vị

=

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Dịu.
Chức vụ và đơn vị công tác:Tổ phó tổ chuyên môn- Trường THPT Lê Hoàn.

TT

1.

2.

Tên đề tài SKKN

Một số ứng dụng của tích vô
hướng
Rèn luyện kỹ năng xác định
góc giữa hai mặt phẳng thông
qua hoạt động giải một số bài

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,