SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
A - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong đề thi Đại học các khối A, A1, B và D những năm gần đây, câu 5
trong đề thi là câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất
là học sinh học ở các trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng
dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì
phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu 5. Một phần kiến thức rất
quan trọng trong phần này là: Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu 5 trong các kỳ thi
ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ
TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP”. Nội dung sáng kiến
kinh nghiệm gồm 3 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải
quyết vấn đề.
Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi
có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của
quí thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
1
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình
học phẳng không tốt.
2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng phân
tích đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.

…
3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì?
H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?
H? Giả thiết bài toán cho gì?
H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này
theo cách nào?
Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu?
H? Có phần giả thiết nào chưa xử dụng không?

4/ Trang bị cho học sinh cách đọc đề bài, phân tích đề bài tốt.
Ví dụ:
 Trong mặt phẳng, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu mút của đoạn
thẳng
AB
thì ta phải thấy điểm đó nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn
thẳng
AB
. Còn trong không gian, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu
mút của đoạn thẳng
AB
thì ta phải thấy điểm đó nằm trên mặt phẳng trung
trực của đoạn thẳng
AB
.
 Trong không gian, khi thấy một điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác
ABC
thì
ta phải thấy điểm đó nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

B
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.S ABC
trong các
trường hợp sau:
a/
3SA a=
và
AB a=
b/
3SA a=
, góc giữa
SC
với mặt đáy bằng 60
0
c/
3SA a=
, góc giữa
( )
SBC
với mặt đáy bằng 60
0
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện.
+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
4
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

SB
và mặt đáy bằng
0
45
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối
chóp
.S ABCD
.
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
5
B
S
A C
I
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện.
+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)
2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh
3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)
Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.
 Yêu cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt về các mặt của hình chóp.
Câu trả lời mong muốn: Các tam giác
, ,SAC SBC SDC
là các tam giác vuông có
chung cạnh huyền là
SC
.

. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
6
B
S
A
D
I
C
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
Bài 2: Cho hình chóp
.S ABCD
, biết
( )
, , 2aSA ABCD AB a BC⊥ = =
, góc giữa đường
thắng
SB
và mặt đáy bằng
0
45
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
.S ABCD
.
5.2/ Hướng 2: Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và một mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên.
A/ Mở đầu: Hầu hết các khối đa diện, việc chỉ ra một điểm nằm trên một cạnh nào
đó và chứng minh điểm đó cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp thì sẽ gặp nhiều
khó khăn. Khi gặp bài toán này, ta ghi nhớ kết quả: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp

cũng
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
ABC
)
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
7
B
S
A
G
I
C
B
S
A
G
I
C
M
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta
sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
hay dựng đường thẳng trung trực của một
cạnh bên nào đó
 Câu trả lời mong muốn: Do
SG
cắt các cạnh bên của hình chóp, nên trong
mặt phẳng

ABC
 Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng
∆
qua
G
và vuông góc với ,
với
G
là trọng tâm tam giác
ABC
(
G
cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
ABC
)
 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta
sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
hay dựng đường thẳng trung trực của một
cạnh bên nào đó
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
8
B
A
G
I
C
B
S

A
và
D
,
( )
, 2 , ,AB AD a CD a SD a SD ABCD= = = = ⊥
.Gọi
E
là trung điểm
CD
và
I
là trung
điểm của
BC
.
a/ Tính độ dài đoạn
DI
.
b/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
( )
S
ngoại tiếp hình chóp
.S BCE
.
Bài 2: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và

ABCD
có các tam giác
ABC
và
BCD
là các tam giác đều
cạnh
a
, góc giữa đường thẳng
AD
và
( )
mp ABC
bằng
0
45
. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Giáo viên yêu cầu học sinh:
*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình
*/ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện theo hướng 1và
hướng 2(học sinh gặp khó khăn)
*/ Hãy nhận xét xem các mặt của tứ diện
này có gì đặc biệt?
(kết quả mong muốn: tam giác
ABC
và

*/ Yêu cầu học sinh chỉ ra tâm
I
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và bán kính của
mặt cầu đó?
Kết quả mong muốn:
1 2
I = ∆ ∩ ∆
, bán kính
R IA=
.
*/ Yêu cầu học sinh tính
R
Kết quả mong muốn:
2 2
15
6
a
R IA IG AG= = + =
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
10
B
C
D
A
M
G
G'
I
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

là hình vuông và tam giác
SAB
là
tam giác đều)
*/ Yêu cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD

Kết quả mong muốn: Là đường thẳng
1
∆
qua
O
, song song với
SM
(với
O
là
tâm của hình vuông
DABC
và
M
là trung điểm của
AB
)
*/ Yêu cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB

Kết quả mong muốn: Là đường thẳng
2
∆

M
G
O
I
S
1
∆
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
*/ Yêu cầu học sinh tính
R
Kết quả mong muốn:
2 2
21
6
a
R IB BO MG= = + =
6/ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
( )
, 2 ; ,AB a AD a SA ABCD SA b= = ⊥ =
. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
.S ABCD
.
ĐS: Tâm
O

a
R
a x
=
−
Bài 3: Cho tứ diện
OABC
có các cạnh
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau
và
,OA OB a OCB
α
= = ∠ =
. Tính thể tích tứ diện
OABC
. Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
ĐS:
( )
3
sin 2 2
;
12 2
a a
V dvtt R
α
= =

ĐS:
4sin . os
2
a
R
c
α
α
=
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có đáy bằng
a
, cạnh bên hợp với mặt
đáy một góc
0
60
. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
. Tính diện tích mặt cầu. Tính thể tích khối cầu tương ứng.
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
12
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
ĐS:
( ) ( )
2
3
6 8 8 6
; dt ;

Lần kiểm tra 2 8 20 18 4 0
12A2
Lần kiểm tra 1
50
5 14 23 8 0
Lần kiểm tra 2 7 16 22 5 0
12CB8
Lần kiểm tra 1
50
2 13 25 10 0
Lần kiểm tra 2 3 16 26 5 0
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
14
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
C. KẾT LUẬN
Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho học
sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên chỉ làm
cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện. Khi làm tốt được điều này, Tôi
thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là trong tư duy
hình học.
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà
trường giao cho giảng dạy 4 lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 và 12CB8. Tôi đã áp
dụng tổ chức cho học sinh trong hai lớp 12A1 và 12CA3 học tập theo cách
trên. Sau quá trình giảng dạy trong năm học 2012 – 2013, tôi thấy khả năng
tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh ở hai lớp 12A1 và 12CA3 được
phát triển lên một bước. Cụ thể, sau hai bài kiểm tra cho 4 lớp với chất
lượng đề như nhau tôi thấy hai lớp 12A1 và 12CA3 có kết quả cao hơn hẳn
so với hai lớp 12A2 và 12CB8, đặc biệt là khả năng giải quyết những vấn đề
khó trong hình học.

là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó 3
3. Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi .3
4. Trang bị cho học sinh cách đọc đề bài, phân tích đề bài tốt 3
5. Các hướng suy nghĩ nên có khi gặp bài toán xác định tâm và tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 4
5.1/ Hướng 1: Có thể chỉ ra một điểm và chứng minh điểm đó cách đều
tất cả các đỉnh của khối chóp được không 4
5.2/ Hướng 2: Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và một mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên 7
5.3/ Hướng 3: Dựng hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp hai mặt nào đó
của hình chóp 10
6 / Một số bài tập tự luyện 12 ………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
17
SKKN: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
………………………………………………………………………………………….
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1
18
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Trịnh Ngọc Bình