PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2 điểm):
Cho biểu thức
 (x − 1) 2
1 − 2x 2 + 4x
1  x2 + x
A=
−
+
:
2
x3 −1
x − 1 x 3 + x
 3x + (x − 1)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > -1
Câu 2 (5 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)

x − 2012 x − 2011 x − 2010
x −1
x

x+7
Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm.
Câu 5 (7 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho
CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N.
a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2
·
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng: MKN
= 900
Cho phương trình

c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Câu 6 (1,5 điểm):
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

2

 1  1
A =  1 + ÷ + 1 + ÷
 x  y

-------------------------- Hết -------------------------Họ và tên thí sinh:............................................ Số báo danh: ...........................................
Giám thị số 1....................................................Giám thị số 2:............................................

Trang 1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN

1
0.25

x2 +1
x2 + x + 2
> −1 ⇔
>0
x +1
x +1
Do đó x 2 + x + 2 và x + 1 phải cùng dấu
b) Để A > −1 thì

2

1 7

mà x + x + 2 =  x + ÷ + > 0
2 4

nên x + 1 > 0 ⇔ x > −1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x > −1, x ≠ 0, x ≠ 1 thì A > -1
2

Câu 2
(5 điểm)

a)

0.25


 

 2012   2013 

x − 2013 x − 2013 x − 2013
x − 2013 x − 2013
+
+
+ ×××+
+
=0
1
2
3
2012
2013
1
1 
 1 1
⇔ (x − 2013) 1 + + + ×××+
+
÷= 0
2012 2013 
 2 3
⇔

1 1
1
1
+ + ×××+


1
1
1
1
1
+
+
+
=
(x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 8

0.25
(2)

0.5

⇔

1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+

⇔ x 2 + 6x − 27 = 0
⇔ (x − 3)(x + 9) = 0
⇔ x = 3 (thỏa mãn) hoặc x = −9 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của pt là S = { − 9, 3}

Câu 3
(2 điểm)

Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x 2 − x − 2 là P(x).
Để đa thức f(x) chia hết cho P(x) thì ta phải có:
x 4 − 9x 3 + 21x 2 + ax + b = (x 2 − x − 2).P(x) đúng ∀x
hay x 4 − 9x 3 + 21x 2 + ax + b = (x − 2)(x + 1).P(x) đúng ∀x
Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên
Với x = 2, ta có:
24 − 9.23 + 21.2 2 + 2a + b = 0
⇔ 2a + b = −28
(2)

0.25

(1)

0.5
0.25

0.25

Với x = -1, ta có:
(−1) 4 − 9.(−1)3 + 21.(−1) 2 − a + b = 0
⇔ b = a − 31


⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt đã cho VN

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

1
thì pt (2) là pt bậc nhất một ẩn
3
6
⇒ pt (2) có nghiệm duy nhất x =
3a − 1

- Nếu a ≠

Để x là nghiệm của phương trình đã cho thì
Để pt có nghiệm âm thì x < 0 ⇒
mà 6 > 0 ⇒ 3a − 1 < 0 ⇔ a

AB / /CD ⇒ AB / /CN, AB / /ND

⇒
EC AF
AD = BC mà AF = EC ⇒ FD = BE ⇒ BE = FD (1)
CM CE
=
(2)
Vì AB//CM ⇒
AB BE
AB AF
=
(3)
Vì AB//DN ⇒
DN FD
CM AB
=
⇒ CM.DN = AB2 = a 2
Từ (1)(2)(3) ⇒
AB DN
CM AB
CM AD
=
⇒
=
( vì AD = BC = AB)
b) Theo câu a, ta có: ⇒
AB DN
BC DN
·

= 900

c) Áp dụng BĐT côsi ta có
DN + CM ≥ 2 DN.CM = 2 a 2 = 2a (Vì a > 0)
DN + CM + CD ≥ 3a (Vì CD = a )
hay MN ≥ 3a

Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đó
CE = BE
hay 
 AF = FD

Câu 6
(1,5
điểm):

CE AF CM a
=
=
= =1
BE FD AB a

0.5
0.5

0.5

Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ dài nhỏ nhất 0.5
là 3a
Ta có

y 
x

= 2 + ÷ + 2 + ÷
x 
y

 x y   x 2 y2 
= 8 + 4  + ÷+  2 + 2 ÷
x 
y x y
y
x
Vì x, y > 0 ⇒ > 0, > 0 nên áp dụng BĐT cô si ta có:
x
y
x y
xy
+ ≥2
=2
y x
yx
x 2 y2
x 2 y2
+
≥
2
=2
y2 x 2
y2 x 2