Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp 8
Thời gian: 150 phút(Không tính
thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a, A = 3x
2
- 8x + 4
b, B = 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
Câu 2. (4,0 điểm).
Tính giá trị của biểu thức:
2x 1

2
2x + 3x + 3
P = có giá trị là một số nguyên
Câu 3. (4,0 điểm).
Cho a > b > 0. So sánh 2 số x, y với:
x =
2
1 a
1 a a
+

c, Chứng minh P là trực tâm SQR.

d, Chứng minh MN là trung trực của AC.
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Đề chính thức

Hết

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
Giải
a, A = 3x
2
- 8x + 4 = 3x
2
- 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x -
2)
b, B = 3x
3
- 7x

P Z khi
5
2x 1



Z

2x - 1

Ư(5) = {

1;

5} x = {- 2; 0; 1; 3}
Câu 3. Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với:

x
=
2
1 a
1 a a
+
+ +
; y =
2
1 b
1 b b
+
+ +

1 + b + b
2
+ a + ab + ab
2
< 1 + a + a
2
+ b + ab + a
2
b


a
2
- b
2
+ a
2
b - ab
2
> 0


(a - b)(a + b) + ab(a - b) > 0


(a - b)(a + b + ab) > 0 (đúng) (vì a > b > 0 a - b > 0 và a + b + ab > 0)
Vậy x < y
Câu 4. a, Giải phơng trình sau:
2 2
x 4x 1 x 5x 1

2
+ 2x + x
2
- 4x + 1 + 4x
2
+ 6x + 2 + x
3
- 5x
2
+ x + x
2
- 5x + 1 = 0


3x
3
- 7x
2
+ 4 = 0

3x
2
(x - 1) - 4(x
2
- 1) = 0


(x - 1)(3x
2
- 4x - 4) = 0

2
+ 1

xy + x + y

x
2
- xy + y
2
- x - y + 1

0
x
2
- xy +
2
y
4
- (x -
y
2
) +
1
4
+
2
3y
4
-
3y

+ (đúng với mọi x, y) . Dấu "=" xấy ra khi x = y = 1
Câu 5. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại P và
R, cắt CD tại Q và S.
a, Chứng minh rằng: AQR và APS là các tam giác cân.
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình
chữ nhật.
c, Chứng minh P là trực tâm SQR.

d, Chứng minh MN là trung trực của AC.
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Giải
HS tự ghi GT/KL
a, Chứng minh rằng



AQS và



APS là các tam giác cân.
+) Xét DAQ và BAR có:



0
D B 90 (gt)

AQS = ARP (g.c.g) AS = AP APS cân tại A
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. C/m tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
+) Vì SA QP và PC QS
R là trực tâm của PQS QH PS

MHN
= 90
0
(1)
+) Vì AQS vuông cân tại A mà M là trung điểm của QR
AM cũng là đờng cao trong AQR AM QR


0
AMH 90
= (2)
+) Vì AN là đờng trung tuyến trong APS vuông cân tại A
AN PS

0
ANH 90
= (3)
Từ (1), (2) và (3) AMHN là hình chữ nhật
c, Chứng minh P là trực tâm



SQR.

Xét SQR có:

+) AM = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân AQR)
+) MC = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông CQR)
MA = MC M thuộc trung trực của AC
Tơng tự:
+) NA = NP = NS (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân APS)
+) NC = NP = NS (T/c đờng trung tuyến của CPS)
NA = NC N thuộc trung trực của AC
Vậy MN là đờng trung trực của AC
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
+) Vì ABCD là hình vuông nên BD là trng trực của AC
+) MN cũng là trung trực của AC (c/m trên)
Đờng thẳng MN trung với đờng thẳng BD M, B, N, D thẳng hàng.