Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1)
b) x 1 + x
n + 3
x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) = ax
2
a
2
x + a x = ax(x a) (x a) = (x
a)(ax 1).
b). x 1 + x
n
(x
3
1) = (x 1)[1 + x
n
(x
2

y xy x xy x y xy x y + +
= + = =
ữ
ữ

+ Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y

).
+ Xét 4 trờng hợp:
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B
x y x y


Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
HD:
a). P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6 = 2x

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+
=
+
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120 cm.
Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

+ + + +
ữ

2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta
kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4 Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9

+ 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AD.
Cho
AB DC
MN
2
+
=
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca

Câu 1: Cho a b = 7.
Tính giá trị của biểu thức: a
2
(a + 1) b
2
(b 1) + ab 3ab(a b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3


ữ

x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2
2a a


+ +
ữ
+ +


nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF và
EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:
1)Chứng minh rằng phơng trình x
4
x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8
Câu 1: Cho phân thức:

Bài tập t ơng tự :
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại
H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x
2
9x + 6.
1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.
9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS

x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c


+ + = + +
ữ

(Trong đó x là
ẩn)
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +
=
+
10 Câu 3:
Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:
2

2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào biến
x
11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
11
Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =
+

11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C

= 3abc.
12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)
3
+ (5 7x)
3
+ (3x 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác
đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE.
12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J.
Chứng minh rằng:

+ +
13 Câu 4:
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc +
ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
góc FAE = 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông
ABCD.
13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + =
.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
( )
1 1 1
a b c 1
a b c

+
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

=
.
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia
Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD =
90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.
16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:

KN DN
=
.
3) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
16
Câu 5:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên
đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại P
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
7x 6
17 Câu 2: (6đ)
Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây
và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số

1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác
MNPQ.
18 Câu 1: (4đ)
Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1
=
+ +x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dơng n để: n

5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+
z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng thẳng
d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh
nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m


= + + + +
ữ ữ

?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đờng
thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC, BD
chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3
.
21
Câu 3: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
21 Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
+ 8x

4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
+ +
1) Rút gọn A.
2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
+ +
=
+
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.
23
Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:

Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với:
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= +
24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
3
+ +
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và
OBC đồng dạng.
2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao
cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của
tổng các chữ số của nó.
25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
tam giác để biểu thức sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ + +

26
Câu 2: a) Giải phơng trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4 + =
.
b) Giải phơng trình: x
4
+ 7x
2
12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao cho
BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân giác của
góc DIB.
26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lợt là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD.
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
27 Câu 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b

28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b
= = =
+ + +
28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).
28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh
và Q là trung điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a
2
b
2
= c
2

d
2
.

b). Rút gọn biểu thức B.
30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với mọi
n là số nguyên.
30 Câu 3:
1). Giải phơng trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

+ =

2). Giải bất phơng trình:
x 1 4 x
2
2 2
+

30 Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau

x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)