Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 8 và 9
BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
ĐẾ 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN HỌC 8
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
2
– 49 – 12xy + 9y
2
b) x
2
+ 7x + 10
Bài 2 (4đ) Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3 (4đ). Giải phương trình
) 2 1 3 2a x x+ = −
b) x
2

=(4x
2
-12xy+9y
2
)-49
=(2x-3y)
2
-7
2
=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)
x
2
+7x+10 =x
2
+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x
2
-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là
x ≠5và x ≠2
2 2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4

− − +
= = − +
− −
, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1:
1
2 1 0 2 1 3 2
2
2 1 3 2 3
x x x x
x x x
≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = −
⇔ + = − ⇔ =
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.
TH2:
1
2 1 0 2 1 3 2
2
2 1 3 2 5 1 0,2
x x x x
x x x x
< − ⇔ + < ⇒ + = −
⇔ − − = − ⇔ = ⇔ =
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của
phương trình.

AC AF AE AC
= ⇒ =
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra
∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra
∆BDF~∆DEC⇒
·
·
BDF CDE=
.
(1,5đ)
4d) Ta có
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0 0
90 90BDF CDE BDF CDE
AHB BDF AHC CDE ADF ADE
= ⇒ − = −
⇒ − = − ⇒ =
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia
phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

=
( )
2 2 2 2 2 2
1
2 ( 2 ) ( 2 )
2
x xy y y yz z x xz z
 
− + + − + + − +
 
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
x y y z x x
 
− + − + −
 
dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện
0x
≠
, bất phương trình
2008
2007
<
−
x

E
M
G
H
D
C
B
A
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 8 và 9
Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic
thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.
ĐỀ 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: a) Giải phương trình:
4 3 2
11 10 0x x x x- + - + =
.
b) Tìm x, y thoả mãn:
2 1 4 4x x y y- - =- + -
.
Bài 2. Rút gọn
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A
- +
= +
- + + -
.

2
x
x
é
=
ê
Û
ê
=
ë
b)
2 1 4 4x x y y- - =- + -
2 2
( 1 1) ( 4 2) 0x yÛ - - + - - =
1 1
4 2
x
y
ì
ï
- =
ï
ï
Û
í
ï
- =
ï
ï
î

D
H
C
G
E
F
I
J
B
O
A
M
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 8 và 9

2( 3 3) 2( 3 3)
3 1 4 3 1 4
- +
= +
- + + -

2 2
2( 3 3) 2( 3 3)
3 9
- + +
=
-

24 2
4 2
6

1 0 1
x y x
y y
ì ì
+ - = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =-
ï ï
î î
Bài 4.
a) Ta có:
OI OJ=

DF DKÞ =

//DH GKÞ
·
·
HDE GMEÞ =
mà
·
·
GME GFE=
·
·
HDE GFEÞ =

=++++
yyxx
. Tính giá trị biểu thức A = x + y
(1,0 điểm)
2. Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(1,0 điểm)
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang 5
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 8 và 9
3
3
3
6
6
6
11
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
B
++




a. Tìm điểm cố định A của (d
1
), B của (d
2
). Viết phương trình đường thẳng AB
(1,0 điểm)
b. Tìm quỹ tích giao điểm M của (d
1
) và (d
2
)
c. Xác định m để điểm M trùng điểm A
5. Cho đường thẳng (d), trên đường thẳng vuông góc với (d) tại H(H nằm trên (d)),
lấy điểm A, trên (d) lấy điểm T( T khác H)
(2,0 điểm)
a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T
b. Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH
=h, HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x
c. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại A cắt (d) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x
để T là trung điểm ED
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH
GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 9
B. Phần Tự luận(7,0 điểm)
1. Cho
(
)
(
)
333

+−
yy
ta có
(
)
333
2
=++−
xx
(
)
3
2
+−
yy
(3)
Cộng (2) và (3) ta có:
(
)
3333
22
=+++++−
xxyy
(
)
33
22
+−++−
yyxx
<=> 6(x + y) = 0 <=> x + y = 0