Gợi ý giải đề thi môn toán khối A - 2008
ĐỀ BÀI
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
( )
( )
2 2
mx 3m 2 x 2
y 1
x 3m
+ − −
=
+
, với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45
o
.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
1 1 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2
π
 
+ = −
 ÷

− −
= =
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.
Câu 4 (2 điểm)
1. Tính tích phân
4
6
0
tg x
I dx
cos2x
π
=
∫
2. Tim các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4
4
2x 2x 2 6 x 2 6 x m (m )+ + − + − = ∈ ¡
PHẦN RIÊNG thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
Câu V.a. Theo chương trình không phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng
5
3
và hình chữ
nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
2. Cho khai triển (1 + 2x)
n
= a
0

, . . . , a
n
.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải phương trình log
2x – 1
(2x
2
+ x – 1) + log
x+ 1
(2x – 1)
2
= 4.
2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC =
a 3
và hình chiếu
vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.
BÀI GIẢI
Câu I:
1) Khi m =1:
2
x x 2 4
y x 2
x 3 x 3
+ −
= = − +
+ +
 TXĐ:
=D R

x 3
lim y
→−
= ∞ ⇒
tiệm cận đứng : x = -3
o
x
4
lim 0
x 3
→∞
= ⇒
+
tiệm cận xiên : y = x – 2
o
x x
lim y , lim y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
,
x 3 x 3
lim y , lim y
− +
→− →−
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên Đồ thị:
Trang 1
2.
( )
2 2

2
m
cos45
m 1
⇔ =
+

2
m
2
2
m 1
⇔ =
+

2
m 1
⇔ =

m 1⇔ = ±
(nhận).
Câu II:
1)
1 1 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2
π

 
2 sin x 2sin x sin 2x 0
4 4
π π
   
⇔ + + + =
 ÷  ÷
   
( )
2 sin x 1 2 sin 2x 0
4
π
 
⇔ + + =
 ÷
 
sin x 0
4
1 2 sin 2x 0

π
 
+ =

 ÷
⇔
 


+ =

5
x y xy x y xy
4
(I)
5
x y xy
4
−

+ + + + =


⇔

−

+ + =


. Đặt :
2
u x y
v xy

= +


=



+ = + =
  
+ =
 


2 2
u 0 v u 1
5 5
u v u v
4 4
= = −
 
 
⇔ ∨
 −  −
+ = + =
 
 
1
u 0
u
2
5
3
v
v
4
2
−

=


 
⇒ ∨
  −
=
 
= − 


Câu III
1. Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
⇒H(1+2t;t;2+2t)
⇒
( )
AH 2t 1;t 5;2t 1= − − −
uuur
( )
d
a 2;1;2=
uur
d
AH a⊥
uuur uur
( ) ( )
2 2t 1 t 5 2 2t 1 0⇔ − + − + − =
t 1⇔ =
⇒H(3;1;4)
2. pttq của (d);

0
− +−
+
-9
-1
-∞
-∞
+∞ +∞
CĐ
CT
( )
mx 2n 2m y nz m 2n 0⇔ + − − − + =
( )
2 2
9 m n
d A,
5m 8mn 5n
−
⇒ α =
− +

( )
( )
2 2
2
2 2
81 m 2mn n
d A,
5m 8mn 5n
− +

2
2
2
m m
81 2 1
n n
d A,
m m
5 8 5
n n
 
 
− +
 
 ÷
 
 
 
⇒ α =
 
− +
 ÷
 
Đặt
2
2
t 2t 1
f (t)
5t 8t 5
− +

(1) và (2) suy ra
( )
max ,( )d A
α
=
3 2
, xảy ra khi:
t 1= −

⇔
m
1
n
= −
. Cho n = -1⇒ m =1
⇒ phương trình (α) cần tìm: x - 4y +z - 3= 0
Cách khác

Gọi
( )
0
α
là mp chứa (d), vuông góc AH.
( )
α
là mp chứa (d), K là hình chiếu vuông góc của A lên
( )
α
.
Ta có:

∫
=
6
4 2
2
0
tg x(1 tg x)
dx
1 tg x
π
+
−
∫
. Đặt t = tgx
( )
2
dt 1 tg x dx→ = +
3
3
4
2
0
t
I dt
1 t
=
−
∫
=
3

= − + + ÷= − −
 ÷
+
 
2)
4
4
2x 2x 2 6 x 2 6 x m (1)+ + − + − =
. ĐK:
0 x 6≤ ≤
Xem hàm số
[ ]
4
4
y 2x 2x 2 6 x 2 6 x , x 0;6= + + − + − ∈
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1
y , x 0;6
2x 6 x
2 2x 2 6 x
′
= + − − ∈
−
−
α
A
d

0
f’(t)

( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
2
2x 6 x
2x 6 x
 
 
 ÷
= − + −
 ÷
 ÷
−
 
 ÷
−
 

( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3
4
4
3 3
4

2. 2x . 6 x
 
− + − +
− +
 
= − − +
 
−
−
 
 
.
( )
( )
4
4
6 x 2x
6 x 2x 0
y 0 x 2
x 0;6
x 0;6

− =

− − =
 
′
= ⇔ ⇔ ⇔ =
 
∈

1(a b 0)
a b
+ = > >
5 c 5 a 5
e c
3 a 3 3
= ⇔ = ⇔ =
Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 20
a b 5⇔ + = b 5 a⇔ = −
(0 < a < 5)
2 2 2
a b c− =
( )
2
2
2
5a
a 5 a
9
⇔ − − =
2
a 18a 45 0⇔ − + =

a 15⇔ =
(loại) hay a = 3 (nhận)
Phương trình chính tắc elip là
2 2
x y
1
9 4

12
12
k k k
12
k 0
1 2x C 2 x
=
+ =
∑
Có
k k
k 12
a C .2=
Xét a
k
≤ a
k+1
(k = 0, . . . ,11)
⇔
k ≤
23
3

⇔
k ≤ 7
⇒

{
0 8
9 12

1
x
2
x 1

>



≠

. Pt
( ) ( ) ( )
2
2x 1 x 1
log 2x 1 x 1 log 2x 1 4
− +
⇒ − + + − =
( ) ( )
2x 1 x 1
1 log x 1 2log 2x 1 4
− +
⇔ + + + − =

( )
( )
2x 1
2x 1
2
log x 1 3 0


⇔ ⇔ =


+ =



=

Vậy pt có 2 nghiệm x = 2 hay
5
x
4
=
2) Gọi M là trung điểm BC
∆vuông AMA
’
:
' 2 '2 2
A M AA AM= −

' 2 2 2 2
A M 4a a 3a
= − =
⇒ A
’
M
a 3=
'

x
z
A
S
B
S
C
S
A’
S
B’
S
C’
S
M
S
x
y’
y
0 6
2
0
+ −
4 4
12(1 12)
+
4 4
2 6( 6 1)
+
3( 2 2)

= = =
r r
r r
r r
.
1
cos cos ,
4
.
a b
a b
a b
ϕ
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Th.s Phan Trường Linh, Tôn Thất Tứ, Th.s Trần Nhân.
Trung Tâm BDVH SÀI GÒN TRI THỨC
Trang 5