PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

(Đề gồm 1 trang)

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau:

1  x + x
 1
P = 1− x 
−
− 1÷
÷
x   2 x −1 ÷
 1− x


(

a.
b.
c.

)

Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………


Bài

Ý

a
1,0

1.
2.0

b
0.5

c.
0.5

2a.
1.0

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Nội dung cần đạt

Điểm
x
≥

(

=

)

(

)

2 x −1 x − x +1 x − x +1
.
=
x
2 x −1
x

x = 7−4 3 ⇔ x = 2− 3
7 − 4 3 − 2 + 3 +1 6 − 2 3
=
=3
2− 3
2− 3
x − x +1
1
1
P=
= x+
−1 ≥ 2 x.
−1 ⇔ P ≥ 1

2
cos x
sin x
2
2
2
2
2
= ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) = 1 + 1 = 2

Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x

2.
2.0

2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2( x 2 + 2 x + 1) = 3(7 − y 2 ) ⇔ 2( x + 1) 2 = 3(7 − y 2 )
⇔ 3(7 − y 2 )M2 ⇔ 7 − y 2 M2 ⇔ y là số nguyên lẻ

2b.
1.0

3.
2.0
3a.
1.0

Mà 2. ( x − 1) ≥ 0 ⇔ 7 − y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 = 1
HS tìm y rồi thay vào tìm x để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1);
(-4; 1); (-4; -1)
2

1.0

0.25

x 2 + y 2 − 2 x − 4 y ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 ≤ 5 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 ≤ 5

Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

0.5

0,25

( x − 1 + 2( y − 2)) 2 ≤ (12 + 2 2 ) ( ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 ) = 25

0,5

⇔ x − 1 + 2( y − 2) ≤ 25 = 5 ⇔ x + 2 y ≤ 10

0.25


E

B

A

F

N

a ( a − b)
Suy ra: DE = EA + AD =
+a
b
a4
Áp dụng định lý Py ta go vào ∆DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + 2
b
Từ (1),(2),(3) suy ra
a 2 ( a − b ) a 2 b 2 + a 4 a 3 ( a + b)
2SACEF =
+
=
b
b2
b2
a 3 ( a + b)
Do đó SACEF = 3SABCD <=>
= 3a2
2b 2
<=> a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b
Vậy điểm N trung điểm của AB
a4
a4
2
=
a
+
= 5a 2
Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a 2 + b 2
1 2

(2)

(3)
0,5

0,5

0,5x2

(1).

0.5
0.25
0,25
0,5