ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI, 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học:
TS. DƯ ĐỨC THẮNG

HÀ NỘI, 2017



1.2

Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson . . . . . . . . . . .

7

2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp
lặp Richardson

12

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Phương pháp Richardson tiền điều kiện . . . . . . . . . . . 19


toán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhà
toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng
nhiều trong thực tế.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiết
cho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnh
của phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân. Chúng tôi nhắc lại
vắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm. Các khái niệm
về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại. Một số
phương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra.
Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trình
elliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu. Chúng tôi
đưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm và
hậu nghiệm.
Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới Thầy hướng dẫn TS. Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể
cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,
phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này.


2

Chương 1
Cơ sở toán học
1.1

s∈[a,b]


3

1.1.1

Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 )

Nội dung của phần này được tham khảo từ [7, trang 12].
Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞]. Cho Ω là một miền bị chặn (giới nội) trong Rn .
Chúng ta gọi C k (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω đến cấp
¯ là compact, cho nên với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , ta có C k (Ω) ⊆ Lp (Ω).
k . Vì Ω
Do đó, ta có thể xác định được
1/p
p
Lp (Ω)

α

x(s) =

D x
|α|≤k

,

với mỗi x(s) ∈ C k (Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev Wpk (Ω) là không gian C k (Ω) được làm đầy đủ bằng


f dµ

< ∞.

Ω

Cùng với tích vô hướng trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2

f, g =

f (x)g(x)dµ(x)
Ω

, f, g ∈ L2 (Ω).


4

Ta định nghĩa chuẩn trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2
2

f =

f dµ

, f ∈ L2 (Ω).


metric khác.
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic.


5

Ví dụ 1.2.1. Ví dụ này được đưa ra bởi J. Hadamard và nằm trong bài
toán hoàn thiện dữ liệu dọc theo phần không thể truy nhập được của biên
từ các điều kiện biên đặc biệt trên phần truy nhập được. Chúng ta có

−∆u = 0 trong R × R+ ;
u(x, 0) = g(x) và ∂y u(x, 0) = ϕ(x).
Giả sử cho trước các dữ liệu Neumann và Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) =

sin(ax), ta tìm được nghiệm của bài toán có dạng
u(x, y) =

1
sin(ax) sinh(ay).
a

Nhận thấy rằng dữ liệu Cauchy (g, ϕ) là bị chặn đều theo tham số a trong
khi nghiệm u tăng trưởng mũ theo a khi a → ∞. Do đó, nghiệm không phụ
thuộc liên tục theo dữ liệu Cauchy trong L∞ . Thực ra chúng ta không thể
có tính bị chặn theo bất kì chuẩn khả dĩ nào chẳng hạn các chuẩn Sobolev
hoặc H¨older.
Ví dụ 1.2.2. Một ví dụ khác đến từ bài toán truyền nhiệt. Chúng ta xét
bài toán truyền nhiệt trong Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) với τ > 0,


Dễ dàng kiểm tra ngay rằng u ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)). Bây giờ, cho trước
một quan sát cuối cùng uτ ∈ L2 (Ω). Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức
là nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0 nào đó, biết rằng u(x, τ ) = uτ (x)
trong Ω là đặt không chỉnh. Quả vậy, bài toán trên dẫn tới biểu diễn
∞

∞
−λn τ

ϕn e

un (x) =

n=0

uτ,n un (x).
n=0

khi đó ta viết bài toán ban đầu dưới dạng sau:

T ϕ = uτ ,

trong L2 (Ω).

Do đó, T là toán tử chéo với các giá trị riêng µn = e−λn τ . Kết quả là, bài
toán trên đặt không chỉnh (nghiêm ngặt) theo nghĩa của G. Wahba.
Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp các không gian Hilbert X và Y
là trùng nhau, và được kí hiệu chung là H . Khi đó có một tiêu chuẩn đặc
trưng cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được áp lên

thì nghiệm tương ứng x sẽ tiến ra vô cùng khi

→ 0. Điều này dẫn đến

trường hợp là nghiệm nhận được từ số liệu bị nhiễu và nghiệm tính toán
từ các dữ liệu chính xác là rất sai khác nhau, gây khó khăn cho việc tính
toán khoa học. Chính vì vậy người ta sử dụng các công cụ, mô hình toán
học thích hợp để hiệu chỉnh hoá bài toán, nhằm tìm ra một nghiệm xấp


7

xỉ tin cậy được cho bài toán đang xét. Từ thời Tikhonov (1952) tới nay,
các nhà toán học đã xây dựng rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh các bài
toán đặt không chỉnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng tôi
sẽ trình bày về một phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương
trình elliptic thông qua ví dụ về bài toán hoàn thiện dữ liệu.

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson

Để chuẩn bị cho các nghiên cứu về quá trình hiệu chỉnh bài toán bằng
phương pháp Richardson, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mang tính
chất kĩ thuật. Ta nhắc lại phương trình (1.1) trong không gian Hilbert H
như sau: tìm x ∈ H sao cho

T x = b,

b ∈ H.

lim ((I − T )n+1 − (I − T )n )x = 0,

n→∞

2. lim (I − T )n x = 0,

∀x ∈ H.

∀x ∈ H .

n→∞

Chứng minh. 1. Từ giả thiết

0 < (T x, x) < x 2 ,

∀x ∈ H\{0}.

(I − T )x < x ,

∀x ∈ H\{0}.

Ta có:

Xét xn = (I − T )n x và đặt yn = xn+1 − xn = −(I − T )n T x. Ta có

yn+1 = (I − T )yn .
Mà dãy ( yn )n là không tăng vì vậy hội tụ tới số thực ν . Từ T là compact
và dãy ((I − T )n x)n bị chặn bởi


hay

(I − T )n x ≤ 2 .
Ta có điều phải chứng minh.

+

(I−T )n y

(I − T )n y ≤ ,


9

Nếu gọi (µk , φk ) là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử T
thì do T compact ta có µk → ∞ khi k → ∞. Điểm x ∈ H sẽ được biểu
diễn qua hệ cơ sở {φk } như sau:
∞

∞

xk φk ,

(x, φk )φk =

x=

k=1

k=1


xn − x ≤ En−p ,
ở đây, hằng số E chỉ phụ thuộc vào (x, x0 ).
Tốc độ hội tụ của dãy (xn )n tới x có thể chậm tùy ý. Sự lựa chọn hợp
lí tham số p sẽ cho chúng ta bậc hội tụ tối ưu. Tiếp theo đây, chúng ta sẽ
xét sự phân kì của nghiệm x khi dữ kiện vế phải bị nhiễu. Từ đây ta đưa
ra một điều kiện về chỉ số của dãy xấp xỉ để có thể có được nghiệm chấp
nhận được của phương trình. Xét x ,n là dãy nghiệm tương ứng với dữ kiện

b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm chính xác x. Như ở trên, nhìn chung khoảng


10

cách từ x ,n tới x sẽ dần ra vô cùng khi n tăng vô hạn. Tuy nhiên, với một
cách chọn lựa n phù hợp, ta sẽ nhận được nghiệm xấp xỉ mong muốn.
Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp dữ kiện bị nhiễu). Ta có

x ,n − xn ≤ n ,

∀n ≥ 0.

Từ đây, nếu chọn n là một hàm phụ thuộc

lim n = ∞,
→0

sao cho

lim n = 0,


pE

,

thì ta có ước lượng

x ,n − x ≤ CE
với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p.

p
p+1

E

,


11

Chứng minh. Chứng minh dựa vào các đánh giá của các bổ đề ở trên. Ta
có

x ,n − x ≤ n + En−p .
Xét cực đại của hàm số

f (t) = t−1 + Etp ,
ta thấy

max f (t) = C(p)E

Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 với biên Γ = ΓC ∪ ΓI . Phần ΓC có
thể tiếp cận được và đo được các thông lượng và dữ liệu ( dữ liệu Cauchy),
còn ΓI là phần không thể tiếp cận được. (xem Hình 2.1).

Hình 2.1: Miền Ω, biên ΓC là tiếp cận được, và biên ΓI là không tiếp cận được. Khi đó
có sẵn dữ liệu Cauchy trên ΓC và không có thông tin gì trên ΓI .

Cho trước một thông lượng ϕ và một dữ liệu g. Bài toán Hoàn thiện
Dữ liệu được phát biểu như sau: tìm u ∈ H 1 (Ω) sao cho

−∆u = 0, trong Ω,

(2.1)


13

u = g, trên ΓC

(2.2)

∂n u = ϕ, trên ΓC

(2.3)

u =? trên ΓI

(2.4)

Phần ΓC là phần có thể truy nhập được của Γ và do đó có thể thu được

và uN = uN (λ, ϕ) là nghiệm của

−∆uN = 0, trong Ω,

(2.6)


14

∂n uN = ϕ, trên ΓC ,
uN = λ, trên ΓI .
Một ứng dụng của dạng mới của Định lý duy nhất nghiệm Holmgren
cho phép dữ liệu cần tìm λ ∈ H 1/2 (ΓI ) là dữ liệu mà thỏa mãn phương
trình thông lượng, được gọi là bài toán Steklov-Poincaré,

∂n uD (λ, g) = ∂n uN (λ, ϕ) trên ΓI .

(2.7)

Thật vậy, ta xét hiệu w = uD − uN . Nó là nghiệm của bài toán thuần nhất
sau

−∆w = 0, trong Ω,
w = 0 trên ΓI .
Khi đó ta có thể sử dụng Định lý duy nhất nghiệm Holmgren, để chứng
minh được

w = 0,
trên toàn Ω tức là uD = uN (= u).
Phương trình (2.7) có thể được đặt dưới dạng biến phân thích hợp.


(2.9)


15

và

uN (λ, ϕ) |ΓI = λ.
Bây giờ, các thành phần tổng thể cần thiết cho việc xây dựng công
thức biến phân của bài toán Steklov-Poincaré (2.7) đang có sẵn. Do đó,
bài toán có thể được phát biểu lại như sau: tìm λ ∈ H 1/2 (ΓI ) thỏa mãn

s(λ, µ) = (µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.10)

Dạng song tuyến tính s(·, ·) và dạng tuyến tính (·) được định nghĩa bởi:

s(λ, µ) = (sD − sN )(λ, µ)
∇uD (λ)∇uD (µ)dx −

=
Ω

(µ) = (

D


∀µ ∈ H 1/2 (ΓI )\{0}.

Khi đó dạng song tuyến tính s(·, ·) là đối xứng và xác định không âm.
Chứng minh. Tính đối xứng của s(·, ·) được suy ra từ tính đối xứng của

sD (·, ·) và sN (·, ·), điều này là hiển nhiên. Cho trước µ ∈ H 1/2 (ΓI ). Ta
thấy

uN ∈ Vµ = {v ∈ H 1 (Ω), v|ΓI = µ},
là nghiệm duy nhất của bài toán

−∆v = 0, trong Ω
∂n v = 0, trên ΓC
v = µ, trên ΓI .


16

Đây là bài toán giá trị biên và do đó là đặt chỉnh. Theo bổ đề của LaxMilgram, uN là nghiệm duy nhất của bài toán cực tiểu hóa

1
2

(∇uN )2 = min
v∈Vµ

Ω

1

sD (µ, µ) = sN (µ, µ). Do tính duy nhất của bài toán tối ưu (2.11), ta thu
được

uD (µ) = uN (µ) = u.
Do đó u là nghiệm của bài toán hoàn thiện dữ liệu thuần nhất với điều kiện
Cauchy bị triệt tiêu trên ΓC . Sử dụng định lý duy nhất nghiệm Holmgren
dẫn tới u = 0 trong Ω, và khi đó µ = 0 trên ΓI . Điều này nói rằng s(·, ·)
là xác định không âm. Điều phải chứng minh.
Bài toán đặt không chỉnh (2.1)-(2.4), được chỉ ra bởi J. Hadamard,
được biết đến rộng rãi. Có thể xem chứng minh của nó trong [5] trong
miền tổng quát hơn. Trong các công trình đó có đưa ra rằng tập các dữ
liệu Cauchy chính xác (g, ϕ) mà sự tồn tại của nghiệm u trong H 1 (Ω) là
trù mật trong H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ). Khi đó ta có các kết quả sau:
Bổ đề 2.2.2. Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) tương thích sẽ trù mật trong

H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).
Bổ đề 2.2.3. Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) không tương thích sẽ trù mật
trong H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).


17

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Xét không gian

H(∆, 0) = v ∈ H 1 (Ω),

−∆v = 0, trong Ω .

H 1 -chuẩn là chuẩn Hilbert trên H(∆, 0). Xét toán tử vết tuyến tính
T : v → (v, ∂n v)|ΓC .

µ

sD

=

sD (µ, µ) ≈ µ

H 1/2 (ΓI ) .

(2.12)

Do đó ta có thể sử dụng chuẩn đầu thay cho chuẩn sau trong phần phân
tích tiếp theo.
Vì s(·, ·) là đối xứng, ta có thể xét cực tiểu hóa phiếm hàm năng lượng

1
J(µ) = s(µ, µ) − (µ),
2

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.13)


18

Thật ra, ta có thể nói J(·) chính là dạng tách ra của phiếm hàm được
khảo sát bởi R. Kohn và M. Vogelius định nghĩa như sau
1


và do đó

γ :=

µ∈H 1/2 (ΓI )

Bổ đề được chứng minh.
Sự tương đương của Bổ đề 2.2.6 giúp ích cho việc xây dựng phương
pháp chính quy cho bài toán được xét trong luận văn. Với phương pháp
này, dạng tuyến tính (·) thỏa mãn tính ổn định đối với dạng song tuyến
tính s(·, ·). Đầu tiên, ta cố định số thực phụ thuộc (g, ϕ)
1/2
2

(∇˘
uD (g) − ∇˘
uN (ϕ)) dx

η=

=

2K(0).

(2.15)

Ω

Bổ đề sau đúng với mọi dữ liệu Cauchy (g, ϕ) ∈ H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).

2

∀t ∈ R, ∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

Bất đẳng thức đúng với mọi t ∈ R khi và chỉ khi điều sau đúng

( (µ))2 + 2γs(µ, µ) ≤ 0,
Kết quả trên đúng với n =

√

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

−2γ . Suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý 2.2.8. Từ (2.15) và hệ thức trong Bổ đề 2.2.6, ta suy ra

1
1
K(µ) = s(µ, µ) − (µ) + η 2 ,
2
2

2.3

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.17)

Phương pháp Richardson tiền điều kiện

2.2.5, điều này cho phép ta dùng chuẩn sD thay cho chuẩn thông thường.
Ta định nghĩa toán tử

T : H 1/2 (ΓI ) → H 1/2 (ΓI ),


20

như sau: với bất kỳ λ ∈ H 1/2 (ΓI ), T λ ∈ H 1/2 (ΓI ) là nghiệm (duy nhất)
của

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

sD (T λ, µ) = sN (λ, µ),

Nghiệm T λ của phương trình tồn tại và duy nhất do tính bức của sD (·, ·).
Ta kiểm tra trước đây T là đối xứng và co trên (H 1/2 (ΓI ), sD (·, ·)). Hệ quả
là (I − T ) tác động trên (H 1/2 (ΓI ), sD (·, ·)), thỏa mãn

sD ((I − T )λ, µ) = s(λ, µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.18)

Ngoài ra, (I − T ) cũng đối xứng, không âm và co. Tính compact của nó
được chứng minh trong [5, Định lý 3.1]. Bây giờ, dữ liệu f của hệ tiền điều
kiện được xây dựng (duy nhất) như sau: tìm f ∈ H 1/2 (ΓI ) sao cho

sD (f, µ) = (µ),


sD ),

ta có

(IT ), thừa kế những tính

chất từ (I − T ), ví dụ như tính đối xứng, không âm và co. Nhắc lại rằng η
được định nghĩa như trong (2.15), ở đây chúng tôi đưa ra hệ quả của Bổ
đề 2.2.7 chứng tỏ rằng f có tính ổn định như sau.
Bổ đề 2.3.2. Kết quả sau đúng

(f, µ)sD ≤ η

(I − T )µ

sD ,

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.21)


21

Chứng minh. Do Bổ đề 2.2.7, ta có với µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

(f, µ)sD ≤ (µ) ≤ η

s(µ, µ).


∂n uD (λn+1 , g) = ∂n uN (λn , ϕ) trên ΓI ,

(2.23)

Điều này tương đương với phương trình:

sD (λn+1 , µ) = sN (λn , µ) + (µ), ∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

(2.24)

Đây có thể coi như dạng quy nạp của phương trình thông lượng (2.7).
Ưu điểm chính của công thức biến phân của bài toán là ở mức độ rời rạc,
khi nó được xấp xỉ bằng một số phương pháp (ví dụ phương pháp phần tử
hữu hạn), ta thu được ma trận cương mà thừa kế tất cả các tính chất của

s(·, ·), đặc biệt là tính đối xứng và xác định không âm. Tất cả các công cụ
chính quy hóa và ma trận điều kiện yếu đều có thể áp dụng vào ma trận
này.


22

2.3.2

Liên hệ với phương pháp KMF

Bước đầu tiên trong phân tích của chúng tôi là mối liên hệ giữa thuật toán
Richardson điều kiện đầu và phương pháp KMF được đề xuất và nghiên
cứu từ năm 1991 bởi V.A. Kozlov, V.G. Maz’ya và A.V. Fomin. Thật ra,

pháp KMF. Khi đó ta có un = uD (λn , g) và vn = uN (λn , ϕ).
Chứng minh. Cho trước dữ liệu Cauchy (g, ϕ) ∈ H 1/2 (ΓC )×H −1/2 (ΓC ) và

λ0 ∈ H 1/2 (ΓI ) là dự đoạn ban đầu. Đặt vn = uN (λn , ϕ) và un = vD (λn , g).
Ta chứng minh rằng (un , vn ) là nghiệm của (2.25)-(2.27). Một mặt, hai
dòng đầu tiên của (2.25) được thỏa mãn và điều kiện trên ΓI được xác
định bởi

vn = un (= λn ), trên ΓI .
Mặt khác, hai phương trình đầu của (2.27) đúng. Ngoài ra, do (2.7) và
(2.23), ta được phép viết

∂n un+1 = ∂n vn ,

trên ΓI .