Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán ở trờng Tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến
thức toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các năng
lực toán học. Trong đó, hoạt động giải toán đợc xem là hình
thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toán
học cho học sinh vì thông qua hoạt động giải toán, học sinh
nắm vững tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và phát triển t
duy sáng tạo. Bản thân dạy học giải toán mang trong mình các
chức năng: chức năng giáo dỡng, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển và kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện
để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học toán và tổ chức có hiệu
quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lợng
dạy học toán.
Kết quả khảo sát trong nhiều năm qua cho thấy, chất lợng
dạy học toán ở trờng tiểu học cha đạt kết quả nh mong muốn,
biểu hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế do
học sinh còn mắc nhiều sai lầm về kiến thức và kĩ năng trong
khi nhiều giáo viên còn thiếu hụt kinh nghiệm trong việc phát
hiện các sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và đa ra các biện
pháp để sửa chữa các sai lầm.
Xung quanh vấn đề sai lầm trong giải toán, trên thế giới đã
có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến vấn đề này.
I.A.Komensky đã khẳng định: "Bất kỳ một sai lầm nào cũng có
thể làm cho học sinh học kém đi nếu nh giáo viên không chú ý
ngay tới sai lầm đó bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và
sửa chữa, khắc phục sai lầm". A.A. Stoliar còn nhấn mạnh:
"Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm
1



Tìm hiểu từ giáo viên: Tìm hiểu mức độ sai lầm, nguyên
nhân sai lầm của HS lớp 4,5 khi giải toán có lời văn biểu hiện qua
năng lực giải toán có lời văn mà giáo viên quan sát đợc trong quá
trình dạy học toán. Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy: HS còn
phạm nhiều sai lầm khi giải toán và mọi đối tợng HS đều
có thể mắc sai lầm khi giải toán. Cụ thể nh sau:
3


- 100% ý kiến đồng ý với nhận định cho rằng HS còn mắc
các sai lầm khi giải toán.
- 91% ý kiến cho rằng sai lầm của HS xuất hiện khá phổ
biến; 8% cho rằng sai lầm ít phổ biến; 1% cho rằng hiếm khi
xuất hiện sai lầm.
Về nguyên nhân của các sai lầm, các giáo viên đợc hỏi đã cho
biết:
Nguyên nhân sai lầm của HS
1. Không hiểu khái niệm, kí hiệu
2. Không nắm vững quy tắc, công thức, tính

% ý kiến
đồng ý
38,0
67,0

chất toán học

3. Không lôgíc trong suy luận
4. Không nắm vững PP giải các bài toán điển


giải toán có lời văn.
Trong sáng kiến này, chúng tôi không đặt nhiệm vụ thống kê
mọi sai lầm của HS tiểu học khi giải toán có lời văn, mà chỉ nêu
4


lên những sai lầm phổ biến của HS, kể cả HS khá giỏi. Đó là các
sai lầm chủ yếu có nguyên nhân từ kiến thức của HS. Đây là
những sai lầm mà qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có tần số
cao trong các lời giải toán của HS. Những sai lầm này có khi khá
tinh vi, mà nhiều khi khó phát hiện kịp thời. Việc hệ thống các
sai lầm của HS khi giải toán cũng là một công việc không dễ
dàng. Để thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi xin trình bày 28
thí dụ phân theo 5 dạng toán có lời văn thờng gặp ở chơng
trình toán lớp 4,5. Trong mỗi dạng toán, chúng tôi có đa ra các
nhận định khái quát về các sai lầm phổ biến mà HS thờng mắc
phải đối với dạng toán đó kèm theo các thí dụ minh hoạ. Các thí
dụ (hay các tình huống sai lầm) trong mỗi dạng toán đợc sắp
xếp theo mức độ sai lầm từ dễ phát hiện tới khó phát hiện. ở mỗi
thí dụ đều có phần trình bày lời giải sai của HS và phần phân
tích sai lầm. Ngoài ra, ở một số thí dụ cần nhấn mạnh, chúng tôi
còn dẫn ra lời giải đúng cho các thí dụ.
1. Sai lầm khi giải toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu
của hai số đó
Sai lầm thờng gặp của HS khi giải dạng toán này là:
* Tính sai tổng
* Tính sai hiệu
* áp dụng sai công thức tìm số thứ hai sau khi đã tìm đợc số
thứ nhất.
Sau đây là một vài thí dụ:

? Sau 4 năm, anh hơn em là:
6 + 4 = 10 (tuổi)
Tuổi em sau này là:
(26 10) : 2 = 8 (tuổi)
Tuổi anh sau này là:
26 8 = 18 (tuổi)
Tuổi em hiện nay này là:
8 4 = 4 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
6


18 4 = 14 (tuổi).
! Học sinh đã mắc sai lầm ngay từ phép tính đầu tiên (tìm
hiệu).
Lời giải đúng nh sau:
Sau 4 năm thì anh vẫn hơn em 6 tuổi.
Tuổi em sau này là:
(26 6) : 2 = 10 (tuổi)
Tuổi anh sau này là:
10 + 6 = 16 (tuổi)
Tuổi em hiện nay là:
10 4 = 6 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
16 4 = 12 (tuổi)
Đáp số: Anh 12 tuổi, em 6 tuổi.
Thí dụ 4. Hai xe ô tô chở 212 bao xi măng. Nếu chuyển 6
bao ở xe thứ nhất sang xe thứ hai thì số bao ở hai xe bằng nhau.
Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu tấn biết mỗi bao xi năng nặng 50kg ?
? Khi chuyển 6 bao ở xe thứ nhất sang xe thứ hai thì số bao ở

Số gạo và ngô ô tô đó chở là:
55 ì 70 = 3 850 (kg).
! Trong lời giải trên, số bao gạo khác số bao ngô do vậy không
thể cộng khối lợng gạo và ngô để tính khối lợng trung bình cho
mỗi bao.
Thí dụ 2. Một đội sản xuất có 25 ngời. Tháng Giêng đội
làm đợc 855 sản phẩm, tháng Hai đội làm đợc 945 sản phẩm,
tháng Ba đội làm đợc 1350 sản phẩm. Hỏi trong cả ba tháng đó
trung bình mỗi ngời làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
? Số sản phẩm trung bình mỗi ngời làm đợc là:
(855 + 945 + 1350) : 3 = 1 050 (sản phẩm).
! Trong trờng hợp này học sinh bị nhầm lẫn số sản phẩm
trung bình mỗi ngời làm đợc trong ba tháng với số sản phẩm
trung bình trong ba tháng của cả đội sản xuất.

8


Thí dụ 3. Có hai cửa hàng, mỗi cửa hàng đều nhận về
7128m vải. Trung bình mỗi ngày cửa hàng thứ nhất bán đợc 264m
vải, cửa hàng thứ hai bán đợc 297m vải. Hỏi cửa hàng nào bán hết
số vải đó sớm hơn và sớm hơn mấy ngày ? (Toán 4, tr. 86).
? Số vải hai cửa hàng nhận về nh nhau mà cửa hàng thứ hai
mỗi ngày bán nhiều hơn cửa hàng thứ nhất nên cửa hàng thứ hai
sẽ bán hết sớm hơn. Số ngày cửa hàng thứ hai bán hết sớm hơn
cửa hàng thứ nhất là:
7128 : (297 264) = 216 (ngày).
! ở đây, học sinh đã có sự nhầm lẫn với dạng toán tìm 2 số
khi biết 2 hiệu. 7128m vải bị hiểu lầm thành số vải mà cửa hàng
thứ hai bán đợc nhiều hơn cửa hàng thứ nhất.

Toán về đại lợng tỉ lệ nghịch.
Các sai lầm phổ biến của HS khi giải các dạng toán trên là:
* Tính sai tổng (hoặc hiệu, tỉ)
* Lầm lẫn giữa đại lợng tỉ lệ thuận với đại lợng tỉ lệ nghịch
* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo.
Sau đây là một số thí dụ tiêu biểu:
Thí dụ 1. Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng
bằng

3
chiều dài. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật
4

đó (Toán 4, tr. 148).
? Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần)
Chiều dài hình chữa nhật là:
350 : 7 ì 4 = 200 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
350 200 = 150 (m)
Đáp số:

Chiều dài: 200m
Chiều rộng: 150m.

10


! ở trờng hợp này học sinh đã tính nhầm tổng do không
phân tích kỹ đề bài và do biểu tợng chu vi, nửa chu vi còn


Thí dụ 3. Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau 3 năm nữa số tuổi mẹ
sẽ gấp 4 lần số tuổi con. Tính tuổi của mỗi ngời hiện nay (Toán
4, tr. 176).
? Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bốn phần bằng
nhau nh thế.
11


Hiệu số phần bằng nhau là:
4 1 = 3 (phần).
Tuổi con là:
27 : 3 = 9 (tuổi).
Tuổi mẹ là:
9 ì 4 = 36 (tuổi).
! Học sinh vận dụng một cách máy móc công thức giải bài
toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó mà không
phân tích kỹ đề bài do vậy đã nhầm lẫn tuổi mẹ và con 3 năm
sau với tuổi mẹ và con hiện nay.
(Sai lầm cho rằng tỉ số tuổi mẹ và con không đổi theo
thời gian).
? Sau 3 năm nữa mẹ hơn con số tuổi là:
27 + 3 = 30 (tuổi)
Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bốn phần bằng
nhau nh thế.
Hiệu số phần bằng nhau là:
4 1 = 3 (phần).
Tuổi con sau này là:
30 : 3 = 10 (tuổi).
Tuổi mẹ sau này là:

8cm. Tính diện tích sân trờng trên thực tế.
? Diện tích sân trờng trên bản vẽ là: 12 ì 8 = 96 (cm2)
Diện tích sân trờng trên thực tế là: 96 ì 100 = 9 600 (cm2).
! Lời giải trên đã hiểu sai về tỉ lệ xích nên tính diện tích
thực tế là 96 ì 100 = 9600 (cm2). Nếu hiểu đúng về tỉ lệ xích
thì kích thớc thực tế của sân trờng phải có chiều dài gấp 100
lần và chiều rộng cũng gấp 100 lần, do đó diện tích phải gấp
lên là : 100 ì 100 = 10 000 (lần). Vậy diện tích sân trờng thực
tế là: 96 ì 10 000 = 960 000 (cm2).
Thí dụ 5. Một đội công nhân trồng rừng, bình quân trong
3 ngày trồng đợc 1000 cây. Hỏi với mức trồng nh vậy, trong 12
ngày đội công nhân đó trồng đợc bao nhiêu cây thông? (Toán 5
- tài liệu thử nghiệm, tập 1, tr. 20).
? Trung bình một ngày đội công nhân trồng đợc là:
1000 : 3 = 333 (d 1) cây.
Trong 12 ngày, đội công nhân trồng đợc:
13


333 ì 12 + 1 = 3 997 (cây).
! ở thí dụ trên, học sinh đã phạm phải sai lầm sau:
- áp dụng máy móc phơng pháp rút về đơn vị.
- Sử dụng thơng gần đúng để tính toán trong các phép
tính tiếp theo dẫn tới mất chính xác.
4. Sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm
Khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm, HS thờng bộc lộ các hạn
chế sau:
* Lúng túng khi chọn đại lợng làm đơn vị quy ớc (100%)
* Biểu thị sai các đại lợng còn lại sau khi đã chọn đại lợng làm
đơn vị quy ớc.

xe máy. Tính ra nhà máy đã đạt 120% kế hoạch. Hỏi theo kế
hoạch nhà máy dự tính sản xuất bao nhiêu xe máy ?
? Số xe máy nhà máy dự định sản xuất là:
1590 ì 120 :100 = 1 908 (xe máy).
! Học sinh đã nhầm lẫn với dạng bài tìm tỉ số phần trăm của
một số cho trớc. Mặt khác do không nắm vững các khái niệm kế
hoạch, dự định và yếu về trực giác toán học nên đã không
phát hiện ra mâu thuẫn giữa kết quả và đầu bài. Theo đầu bài,
nhà máy đã vợt kế hoạch (đạt 120% kế hoạch), nhng kết quả lại là
không đạt kế hoạch (1590 < 1908).
Thí dụ 3. Năm 2000 số dân của một phờng là 15 625 ngời.
Năm 2001 số dân của phờng đó là 15 875 ngời.
a) Hỏi từ năm 2000 đến năm 2001, số dân của phờng đó
tăng thêm bao nhiêu phần trăm ?
b) Nếu từ năm 2001 đến năm 2002 số dân của phờng đó
cũng tăng thêm bấy nhiêu phần trăm thì số dân phờng đó năm
2002 là bao nhiêu ngời ? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 2, tr.
84).
? a) Tỉ số phần trăm của dân số năm 2001 so với năm 2000
của phờng đó là:
15 875 : 15 625 = 1,016 = 101,6%
Số phần trăm dân số tăng lên sau một năm là:
15


101,6% 100% = 1,6%
b) Sau 2 năm, số phần trăm dân số tăng lên là:
1,6% ì 2 = 3,2%
Dân số của phờng năm 2002 là:
15 625 + 15 625 ì 3,2% = 16 125 (ngời )

90
= 120% (so với vốn)
100

Số phần trăm lãi ngày thờng là:
120% 100% = 20%
Đáp số: 20%.
Thí dụ 5. Lợng nớc trong hạt tơi là 15%, trong hạt khô là 5%. Hỏi
200kg hạt tơi sau khi phơi cho bao nhiêu ki - lô - gam hạt khô ? (Tạp
chí Toán tuổi thơ, số 27).
? Sau khi phơi hạt tơi, tỉ số phần trăm nớc giảm đi là:
15% 5% = 10%
Sau khi phơi 200kg hạt tơi thì lợng nớc giảm đi là:
200 ì 10% = 20 (kg)
Khối lợng hạt khô thu đợc là:
200 20 = 180 (kg)
Đáp số: 180kg hạt khô.
! Do đồng nhất khối lợng hạt tơi với hạt khô nên học sinh đã sai
lầm ngay từ phép tính đầu tiên. ở bài toán này khối lợng hạt tơi
khác khối lợng hạt khô, do vậy không thể lấy 15% của hạt tơi trừ đi
5% của hạt khô.
Lời giải đúng nh sau:
Khi phơi chỉ có lợng nớc bị giảm còn lợng hạt không bị giảm.
Lợng hạt có trong 200kg hạt tơi là:
200 ì (100 15)% = 170 (kg)
Số phần trăm chỉ 170 kg trong hạt khô là:
100% 5% = 95%
Khối lợng hạt khô thu đợc sau khi phơi là:
170 : 95 ì 100 = 178


Số tiền công ngời thứ nhất là:
360 000 + 72 000 = 432 000 (đồng)
Số tiền công ngời thứ ba kém ngời thứ nhất là:
432 000 ì

1
= 108 000 (đồng)
4

Số tiền công ngời thứ ba là:
432 000 108 000 = 324 000 (đồng)
Đáp số:

Ngời thứ nhất: 432 000 đồng
Ngời thứ ba: 324 000 đồng.

! Học sinh đã sai ở phép toán thứ hai khi cho rằng 72 000
đồng
(360 000 ì

1
) là số tiền công ngời thứ nhất hơn ngời thứ
5

hai. Theo cách trình bày trên học sinh đã cho rằng ngời thứ nhất
hơn ngời thứ hai 20% tiền công của ngời thứ hai trong khi đề bài
phải hiểu là 20% của ngời thứ nhất. Do sai lầm từ phép toán thứ
hai nên các phép toán sau dù đúng về ý nghĩa nhng lại sai về kết
quả.
Lời giải đúng nh sau:

Phân số chỉ số tiền của ngời thứ ba so với ngời thứ nhất là:
1

1 3
=
4 4

Số tiền công của ngời thứ ba là:
450 000 ì

3
= 337 500 (đồng)
4

Đáp số:

Ngời thứ nhất: 450 000 đồng
Ngời thứ ba: 337 500 đồng.

Thí dụ 7. 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20%.
Hỏi số bạn nữ chiếm bao nhiêu phần trăm tổng số cả nam và
nữ ? (Đề thi OLYMPIC toán tiểu học Singapore năm 2001).
? Do 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20% nên 100%
số bạn nữ sẽ nhiều hơn số bạn nam là 25% (cùng tăng thêm

1
)
4

Nếu ta coi số bạn nam là 100 phần thì số bạn nữ sẽ là 125

2

biến đổi công thức thì dễ mắc sai lầm nh đã trình bày.
Thí dụ 2. Một ngời thợ gò một cái thùng tôn đựng nớc không
có nắp có dạng hình hộp chữ nhật dài 6dm, rộng 4dm và cao
9dm. Tính diện tích tôn dùng để làm thùng (không tính mép
hàn). (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 2, tr. 16).
? Chu vi mặt đáy của thùng là:
(6 + 4) ì 2 = 20 (dm)
Diện tích tôn dùng để làm thùng là:
20 ì 9 =180 (dm2).
! Về lý thuyết, học sinh đợc học công thức tính diện tích
xung quanh và công thức tính diện tích toàn phần. Khai giải bài
tập trong tình huống cụ thể, học sinh thờng sàng lọc để lựa
chọn một trong hai công thức. Đề bài nói thùng không có nắp, do
vậy, học sinh đã lựa chọn công thức tính diện tích xung quanh
và dẫn tới sai lầm là tính diện tích của thùng không có nắp,
không có đáy.

20


Thí dụ 3. Một cái bể không nắp dạng hình hộp chữ nhật
có chiều dài 1,5m, chiều rộng 0,6m và chiều cao 8dm. Ngời ta
sơn mặt ngoài của bể. Hỏi diện tích quét sơn là bao nhiêu mét
vuông? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 2, tr. 16).
? Diện tích quét sơn chính là diện tích xung quanh của bể
và bằng:
(1,5 + 0,6) ì 2 ì 8 = 33,6 (m2).
? Đổi 8dm = 0,8m

nhật chia cho thể tích hình lập phơng để tính số hình lập phơng xếp trong hình hộp chữ nhật.
Lời giải đúng nh sau:
Đổi 1m = 10dm
0,8m = 8dm
0,5m = 5dm
Hình lập phơng có thể tích 8dm3 thì có cạnh là 2dm
Chiều dài hình hộp chữ nhật có thể xếp:
10 : 2 = 5 (hình)
Chiều rộng hình hộp chữa nhật có thể xếp:
8 : 2 = 4 (hình)
Với chiều cao 5dm thì chỉ có thể xếp đợc 2 hình lập phơng
có cạnh 2dm.
Số hình lập phơng có thể xếp đợc là:
5 ì 4 ì 2 = 40 (hình)
Đáp số: 40 hình lập phơng.
Thí dụ 5. Có hai hình hộp chữ nhật. Hình hộp A có chiều
dài, chiều rộng, chiều cao đều gấp đôi chiều dài, chiều rộng,
chiều cao của hình hộp B. Biết thể tích của hình B bằng 6dm3,
hỏi thể tích của hình A là bao nhiêu ?
? Vì các cạnh của hình hộp A gấp đôi các cạnh của hình
hộp B nên thể tích hình hộp A cũng gấp đôi thể tích hình hộp
B.
Thể tích hình A là:
6 ì 2 = 12 (dm3).
! Lời giải mắc ở sai lầm khi cho sự thay đổi thể tích của
hình cũng giống nh sự thay đổi độ dài của vật.

22



23


Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép đợc là
9cm.
Thí dụ 7. Ngời ta lát gạch một lối đi rộng 2m xung quanh
sân trờng hình chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 35m. Hỏi
phải chuẩn bị bao nhiêu viên gạch, biết mỗi mét vuông cần 16
viên ?
? Diện tích lối đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình
chữ nhật có chiều dài bằng chu vi sân trờng và chiều rộng bằng
chiều rộng lối đi.
Chu vi sân trờng là: (50 + 35) ì 2 = 170 (m)
Diện tích phần lát gạch là: 170 ì 2 = 340 (m2)
Số gạch lát lối đi là: 16 ì 340 = 5 440 (viên).
! Lời giải sai lầm ngay từ lập luận đầu tiên khi cho rằng diện
tích lối đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình chữ nhật
có chiều dài bằng chu vi sân trờng và chiều rộng bằng chiều
rộng lối đi. Từ đó dẫn tới tính toán sai và đáp số sai.
Dới đây là một cách giải đúng:
50m
2m

35 m
35m

Từ hình vẽ, ta nhận thấy diện tích phần lát gạch là tổng
diện tích của 4 hình chữ nhật viền quanh sân trờng. 2 hình
chữ nhật lớn có chiều dài 50m, chiều rộng 2m và 2 hình chữ
nhật nhỏ có chiều rộng 2m, chiều dài bằng: