Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 11
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG II
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
CHƯƠNG III
TẬP 1
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
Nội dung gồm 3 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I

Trang 44

ĐÁP ÁN

Trang 59

CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

Trang 60

§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

Trang 66

§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN

Trang 77

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Trang 83

§5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Trang 86

ÔN TẬP CHƯƠNG II

Trang 150

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III

Trang 155

ĐÁP ÁN

Trang 160


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
---0O0---

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin α
π
;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
cos α
2
kπ
tan α .cot α = 1;α ≠
,k ∈ℤ
2

cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
2 tan α
π
tan 2α =
; α ,2α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
2
2
1 − tan α
2.3. Công thức nhân ba
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
2.4. Công thức hạ bậc
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos2 α =
sin 2 α =
2
2
1 − cos 2α
tan 2 α =
, với α làm cho biểu thức có nghĩa.
1 + cos 2α
2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích
α +β
α −β
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
.cos
cos α − cos β = −2sin


Đại số và giải tích 11

1

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

2.8. Công thức rút gọn


π
π
sin α + cos α = 2 sin  α +  = 2 cos  α − 
4
4




π
π
sin α − cos α = 2 sin  α −  = − 2 cos  α + 
4
4



π

tan  − α  = cot α
cot  − α  = tan α
2

2

3.4. Hai góc hơn kém π (cung hơn kém π ),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
3.5. Hai góc hơn kém

π
2

(cung hơn kém

π
2

),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)

π

π


450

600

900

π

π

π

π

6

4

3

2

0

1
2

2
2


3

1

1
0

3

||

3
3

0

1200
2π
3

1350
3π
4

1500
5π
6

3
2

3
2

-1

−

3
3

0

− 3

-1

1800

||

|| : Không xác định

Đại số và giải tích 11

2

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + k 2π ; + k 2π  và nghịch biến trên
2
 2


•

•

π

Có tập xác định là D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ
2
 2

Có đồ thị là một đường hình sin
Hàm số y = cot x

•

Có tập xác định là D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

•
•
•
•

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Nghịch biến trên mỗi khoảng
( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ

•

Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng
x = kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

+ kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Tập xác định của hàm số
- Hàm số xác định với một điều kiện
- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện
- Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định là ℝ

cot u = 0 ⇔ u = + kπ
4
4
2
1
- Hàm số y =
xác định khi và chỉ khi A ≠ 0
A
- Hàm số y = A xác định khi và chỉ khi A ≥ 0

Đại số và giải tích 11

3

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

1
xác định khi và chỉ khi A > 0
A
Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:

- Hàm số y =

a) y =


1 − cos x
1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

d) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên 3 − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy D = ℝ
Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:



π
π
π
a) y = tan  x − 
b) y = cot  x + 
c) y = tan  2 x + 
3
6
3




d) y = tan x + cot x

HD Giải

π
π π
5π

,k ∈ℤ .
+
3
3 2
12 2

 π kπ

Vậ y D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
12 2


cos x ≠ 0
kπ
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi 
,k ∈ℤ .
⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
sin x ≠ 0
 kπ

Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau:
2x
x
a) y = cos
b) y = tan

2

Đại số và giải tích 11

h) y =

4

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

2x
là D = ℝ \ {1}
x −1
x
x π
3π
x
b) Hàm số y = tan xác định khi và chỉ khi cos ≠ 0 ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ k 3π , k ∈ ℤ .
3
3
3 2
2
 3π



3sin x − 7
> 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
2 cos x − 5

Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = cos x
d) y =

cot x
cos x − 1

1+ x
1− x

b) y = sin
e) y =

1 − cos 2 x
1 + cos2 2 x
tan x + cot x
f) y =
1 − sin 2 x

c) y =

2 − cos x

π
1 + tan  x − 

⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ .
cos x − 1
cos x ≠ 1  x ≠ k 2π
Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

 
π

5π
cos  x −  ≠ 0
x≠
+ kπ

3
2 − cos x
 


6
e) Hàm số y =
xác định ⇔ 
;k ∈ℤ .
⇔

π
π


π
tan x −



Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp


kπ
cos x ≠ 0
x≠

tan x + cot x


2
xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ 
f) Hàm số y =
;k ∈ℤ.
1 − sin 2 x
π
sin 2 x ≠ 1  x ≠ + kπ


4
  kπ   π


Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 

 2   4

h) y =

c) y = 1 − cos x
f) y = sinx – cosx

tan x + cot x
sin x
HD Giải

cos x
có tập xác định D = ℝ \ {0} . Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
x
cos(− x )
cos x
cos x
=−
= − f ( x ) . Vậy hàm số y = f ( x ) =
là hàm số lẻ.
f (− x ) =
(− x )
x
x
b) Hàm số lẻ
c) Là hàm số chẵn
d) Là hàm số chẵn
e) Là hàm số lẻ
f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ .

a) Hàm số y = f ( x ) =


Đại số và giải tích 11

6

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

hiệu Min y = m
D

Chú ý:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
a) y = 2 cos x + 1



Max y = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −
ℝ

Min y = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =
ℝ

π
2

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

+ k 2π , k ∈ ℤ

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ

Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 4

⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 (1 + cos x ) + 1 ≤ 3
Vậy:

Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Min y = 1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ


Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos  + x  ≤ 2 ⇔ −1 + 3 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 2 + 3
3

3

3

π

⇔ 1 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5
3


π

π
Vậy: Max y = 5 khi cos  + x  = 1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3

π

2π
Min y = −1 khi cos  + x  = −1 ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3






π
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: − 3 ≤ 3 cos  x −  ≤ 3 hay − 3 ≤ y ≤ 3
6


π
π
Vậy: GTLN của y là 3 , đạt đựơc khi cos  x −  = 1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ
6
6


π
7π
GTNN của y là − 3 , đạt được khi cos  x −  = −1 ⇔ x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ
6
6

c) Hàm số y = 3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 1, đạt được khi sin x = ±1 ⇔ x = ±

π



Vì 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên −
Vậy: GTLN của y là

1
1
9
1
3 2
≤ − sin 2 2 x ≤ 0 ⇔ ≤ 5 − sin2 2 x ≤ 5 hay
≤y≤ 5.
2
2
2
2
2

5 , đạt được khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

π kπ
3 2
, đạt được khi sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = ±1 ⇔ x = ± +
,k ∈ℤ
2
4 2
f) Hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x = 1 − 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có −1 ≤ 1 − 2 cos 2 x ≤ 3
GTNN của y là

π


8

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp

π
7
, đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
2
4
π
5
GTNN của y là , đạt được khi x = − + kπ , k ∈ ℤ
2
4

a) GTLN của y là

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là 2, đạt được khi x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
2
c) Hàm số y =


( )

Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −1 ≤ 1 − sin x 2 − 1 ≤ 2 − 1 . Vậy
GTLN của y là

2 − 1 , đạt được khi x 2 = −

π

GTNN của y là −1 , đạt được khi x 2 =

2

π
2

+ k 2π , k ≥ 1

+ k 2π , k > 0

f) Hàm số y = 4sin x có tập xác định là D =  0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4sin x ≤ 4 .

x=

Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi

π
2


)

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là −1 , đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTLN của y là 1, đạt được khi x =

(

b) y = sin 4 x + cos4 x = sin 2 x + cos2 x
Mặt khác

)

2

1
− 2 sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x .
2

1
1
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1
2
2

GTLN của y là 1, đạt được khi x =



GTNN của y là 5, đạt được khi x = −

(

2

+ k 2π , k ∈ ℤ

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

)

(

2

)

2

d) Ta có y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 = cos2 x + 2 + 1 . Mặt khác: 5 ≤ cos2 x + 2 + 1 ≤ 10
GTLN của y là 10, đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 5, đạt được khi x =

π
2

6

tan 2 x − 1
1 + sin x + 1

Bài 1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhật của các hàm số sau

π
a) y = 1 + cos 2 x − 5
c) y = 2 − 4 + 2 sin 5 x
b) y = 4 + 5cos  3x + 
3


π

e) y = 1 − 3sin  2 x − 
3


Đại số và giải tích 11

f) y = 1 − 8sin 2 2 x

g) y = 9 − 9 sin 9 x

10

d) y =


Nếu m > 1 : phương trình (1) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin α = m

 x = α + k 2π
sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
 x = π − α + k 2π
 x = α + k 360 0
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = 180 − α + k 360
Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai
đơn vị độ và radian.
Chú ý:
 π
π
− ≤ α ≤
i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2
2 thì ta viết α = arcsin m .
sin α = m

 x = arcsin m + k 2π
Khi đó: sin x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
x
=
−
arcsin

u = v + k 2π
iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔ 
,k ∈ℤ
u = π − v + k 2π
2. Phương trình cos x = m (2)
Nếu m > 1 : phương trình (2) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos α = m

 x = α + k 2π
cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = −α + k 2π
 x = α + k 360 0
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
0
 x = −α + k 360
Chú ý:
i) Nếu α thoả điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = m thì ta viết α = arccosm.
Khi đó pt (2) có nghiệm là : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ
ii) Các trường hợp đặc biệt khi m ∈ {0; ±1}

•
•
•

cos x = 0 ⇔ x =

π



•

+ kπ , k ∈ ℤ
2
Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan α = m thì tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ

•

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tan x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ

•

Nếu α thảo mãn điều kiện −

•

Các trường hợp đặc biệt biệt khi m ∈ {0; ±1}

3. Phương trình tan x = m (3)

Điều kiện: x ≠

π

π

và tan α = m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm
2
2

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Với u = u( x ), v = v( x ) và u, v làm cho biểu thức có nghĩa, k ∈ ℤ
•
•

u = v + k 2π
1/ sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π
3 / tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

u = v + k 2π
2 / cos u = cos v ⇔ 
u = − v + k 2π
4 / cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản
- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản
- Cung đối và cung bù
Bài 2.1. Giải các phương trình sau:
a) sin x =

1
2

b) sin x = −

3
2


d) sin  2 x −  = sin  + x 
5

5

π 1

h) sin  9 x −  =
3 2


1
π
= sin . Phương trình đã cho tương đương với:
2
6
π
π


π
x
=
+
k
2
x
=
+ k 2π



GV. Lư Sĩ Pháp

+ k 2π ; x =

5π
+ k 2π , k ∈ ℤ
6

 π
3
π
= − sin = sin  −  (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α )
2
3
 3


π
 x = − 3 + k 2π
 π
Phương trình đã cho tương đương: ⇔ sin x = sin  −  ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = 4π + k 2π
 3

3
2
2
2


5
5
π
5
d) sin  2 x −  = sin  + x  ⇔ 
,k ∈ℤ
⇔
π

π
5

π k 2π


5

2 x − 5 = π −  5 + x  + k 2π
 x = 3 + 3



e) x = −800 + k 7200 và x = 400 0 + k 720 0 ; k ∈ ℤ
f) x = −

π
6

+ kπ và x =


+

c) cos x =

4
5


π

π
d) cos  3 x −  = cos  + x 
6

3


 3x π 
3
1
f) cos  −  = −
2
2
 2 4

 3x π 
π 3

g) cos  −  = −1 h) cos  2 x −  =


π

4

+ k 2π , k ∈ ℤ

1
π
π
2π

(Áp dụng cung bù_ cos(π − α ) = − cos α )
= − cos = cos  π −  = cos
2
3
3
3


2π
2π
⇔x=±
+ k 2π , k ∈ ℤ
3
3
4
4
4
c) Vì < 1 nên có số α để cos α = ⇒ α = arccos . Do đó:

5

π π

π
3x − = + x + k 2π
x = + kπ


π


6
3
π
12
d) cos  3 x −  = cos  + x  ⇔ 
,k ∈ ℤ
⇔


π
π
6
3

π




1
2π
f) cos  −  = − ⇔ cos  −  = cos
,k ∈ℤ
⇔
⇔
2
3
 3 x − π = − 2π + k 2π
 x = − 5π + k 4π
 2 4
 2 4
 2 4

3
18
3
 3x π 
3x π
7π
g) cos  −  = −1 ⇔
− = π + k 2π ⇔ x =
+ k 4π , k ∈ ℤ
2 6
9
 2 6
3
h) Vì > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
2
Bài 2.3. Giải các phương trình sau:


⇔x=

)

π

3

+ kπ , k ∈ ℤ

3
π
 π
⇔ tan x = tan  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
3
6
 6
π
π kπ
π

c) tan  − x  = tan 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

3
d) tan ( x − 150 ) =

⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ
3
3
3
π
 π
b) cot x = − 3 ⇔ cot x = cot  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
6
 6
π
π kπ
π

c) cot  − x  = cot 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

b) tan x = −

d) cot ( x − 150 ) = 3 ⇔ cot ( x − 150 ) = cot 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
e) cot 3 x =

3
3
1
3 kπ
,k ∈ℤ
⇔ 3 x = arc cot + kπ ⇔ x = arc cot +

 = cos3x
3 
 12



(

)

c) ( sin x + 1) 2 cos 2 x − 2 = 0

x
f) tan 2 x + 450 tan  1800 −  = 1
2


(

)

HD Giải
a) Điều kiện : cos3 x ≠ 1 . Ta có sin 3 x = 0 ⇔ 3 x = kπ .

π

Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ ℤ bị loại, nên 3 x = (2m + 1)π ⇔ x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3

π

π
e) sin  x +
 = cos3 x ⇔ cos3 x − cos  x +  = 0 . Vậy nghiệm của phương trình:
3 
6



c) Nghiệm của phương trình là: x = −

x=−

π
24

+

+ k 2π và x = ±

kπ
π
;x =
+ kπ , k ∈ ℤ
2
12


 x
x
f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có tan 2 x + 450 = cot 450 − x và tan  180 0 −  = tan  −  nên


(

)

Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.
- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.
Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin 2 x = −

1
với 0 < x < π
2

c) tan ( 2 x − 150 ) = 1 với −1800 < x < 900

3
với −π < x < π
2

b) cos( x − 5) =
d) cot 3 x = −

1
3

với −

π
2

< k < + 1 ⇒ k = 1 ( Do k ∈ ℤ ). Vì vậy : x =
• 0 < − + kπ < π ⇔
12
12
12
12
7π
7π
+ kπ < π ⇒ k = 0 . Vì vậy: x =
• 0

6
6
11π
13π
và x = 5 −
Vậy: x = 5 −
6
6
0
c) tan 2 x − 15 = 1 ⇔ 2 x = 150 + 450 + k180 0 ⇔ x = 30 0 + k 90 0 , k ∈ ℤ

Vậy: x =

(

)

Xét điều kiện −1800 < x < 900 , ta có
1
−180 0 < 30 0 + k 90 0 < 900 ⇔ −2 < + k < 1 ⇔ k ∈ {−2, −1, 0}
3
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −150 0 , x = −60 0 và x = 300
1
π kπ
π
d) cot 3 x = −
, k ∈ ℤ . Xét điều kiện − < x < 0 , ta có:
⇔x=− +
9 3
2

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.7. Giải các phương trình sau:
π

2
2. sin  3 x +  = −1
1. sin ( 2 x − 300 ) = −
6

2
2
π

 2π

4. sin 3 x =
5. sin  2 x −  = sin 
− 3x 
3
4

 3

1
1
x

7. cos ( 600 − 3 x ) = −
8. cos  + 100  = −
2

 = −2
3


π
3
14. cot  5x −  = −
9
3

o
17. sin(9 − 9 x) = 0

Bài 2.8. Giải các phương trình sau:
3
3
1. sin x =
với 0 ≤ x ≤ 2π 2. cos x =
với 0 ≤ x ≤ 2π
2
2

Đại số và giải tích 11

16

 2x π  1
3. sin  −  =
 3 4 2




π
3
π
π

3. cos  x +  =
v ới − ≤ x ≤
3 2
2
2


Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

π

4. −2 cos  x +  + 3 = 0
3

vớ i −

π
2

≤x≤


2 sin  3 x +  + 1 = 0 trên đoạn
6

[ −2π ; π ]

3 sin 5x + 3 = 0 với

9.

x ∈ ( −90°;180°]

Bài 2.9. Giải các phương trình sau:
1. sin 3 x − cos 5 x = 0
2. tan 3 x.tan x = 1
4. sin 3x + sin 5 x = 0

5. cot 2 x.cot 3 x = 1

π

7. cot 9 x = − tan  + 9 x 
9


8. cos(50° + 4 x ) + sin 3 x = 0

Đại số và giải tích 11

cos3 x

1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác, trong đó f ( x ) là một biểu
thức lượng giác nào đó.

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có
dạng: a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0) ( 2 )

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác
định của tanx và cotx.
Thực hiện các bước sau:
B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình (2) vô
nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2
B2. Chia hai vế phương trình (2) cho a2 + b2 .
Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình
(2) về phương trình lượng giác cơ bản dạng:
sin u = sin v hay cos u = cos v .

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at + b = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
Bài 3.1. Giải các phương trình sau:

π
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0
b) 2 sin  2 x −  + 3 = 0
6


(

x

3 tan  + 20 0  + 1 = 0
4


)

(

d)

)

(

)




 π
3
π
π
π
b) 2sin  2 x −  + 3 = 0 ⇔ sin  2 x −  = −

4
x

x

x

1
⇔ tan  + 20 0  = tan −30 0
c) 3 tan  + 20 0  + 1 = 0 ⇔ tan  + 20 0  = −
3
4

4

4


(

Đại số và giải tích 11

18

)

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

=−

3
Bài 3.2. Giải các phương trình sau:

a)

π
6

+ kπ ⇔ x =

π
6

(

3 tan 2 x + 3 = 0

+ kπ , k ∈ ℤ

)

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1

c) 2 cos x − 3 = 0

a)

d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2


 x = 120 0 + k 360 0
;k ∈ℤ
⇔ cos x + 30 0 = cos1500 ⇔ 
0
0
 x = −180 + k 360
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 1200 + k 3600 và x = −1800 + k 3600 , k ∈ ℤ

(

)

3
π
⇔ x = ± + k 2π
2
6

π kπ
x=
+

2
32
4 ,k ∈ℤ
d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2 ⇔ sin 8 x =
⇔
2
 x = 3π + kπ

6

2

7π
x =
+ k 2π
6

π
7π
Vậy, phương trình có các nghiệm là x = kπ , x = − + k 2π và x =
+ k 2π với k ∈ ℤ
6
6
b) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x ⇔ cos x cos 2 x − sin x sin 2 x = 1
k 2π
k 2π
, k ∈ ℤ . Vậy, phương trình có nghiệm là x =
,k ∈ℤ
⇔ cos3 x = 1 ⇔ x =
3
3
π kπ
,k ∈ℤ
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 ⇔ sin 4 x = −1 ⇔ x = − +
8 2
c) 2 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x =

Đại số và giải tích 11

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)
Bài 3.4. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2 x + 5sin x − 3 = 0
b) cot 2 3 x − cot 3 x − 2 = 0

(

)

c) 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0

d) 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0
HD Giải

1
a) Đặt sinx = t ( với t ≤ 1 (*)), ta được phương trình 2t 2 + 5t − 3 = 0 ⇔ t1 = , t2 = −3 (không thỏa (*))
2

π
x = + k 2π

1
1
6
Với: t = ⇒ sin x = ⇔ 
,k ∈ℤ .
2
2

+

(

1
kπ
kπ
và x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ
3
3
3

)

1
2
c) Đặt t = cosx, ( với t ≤ 1 ), ta được phương trình 4t 2 − 2 1 + 2 t + 2 = 0 ⇔ t1 = , t2 =
2
2

1

π
x = ± + k 2π
 cos x = 2

3
Do đó: 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0 ⇔ 
,k ∈ℤ

− 3 = 0 ⇔ 5 tan 2 x − 3 tan x − 2 = 0
tan x

Đại số và giải tích 11

20

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11 - http://www.toanmath.com/

GV. Lư Sĩ Pháp


π
 tan x = 1
 x = 4 + kπ
,k ∈ℤ
⇔
⇔
 tan x = − 2
 2


5
 x = arctan  − 5  + kπ




HD Giải

a) Phương trình đã cho có các nghiệm là x = k 2π và x = ±
b) Phương trình đã cho có nghiệm là x = −

π
2

π

+ k 2π , k ∈ ℤ

3

+ k 2π , k ∈ ℤ

π

(

)

(

)

(
(

+ kπ và x =

 cos 2 x + 30 =

2

Dạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
- Phương trình có dạng a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0)
- B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2
- B2. Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 . Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương
trình lượng giác cơ bản dạng: sin u = sin v hay cos u = cos v .
Bài 3.6. Giải các phương trình sau:

3 sin x − cos x = 1

b) 2sin 3 x + 5 cos3 x = −3

d) 5sin 2 x − 6 cos2 x = 13

e) 2 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2

a)

c) 3 cos x + 4 sin x = −5
1
f) sin 2 x + sin 2 x =
2

HD Giải


. Dó đó: cos ( 3 x − α ) = −1 ⇔ x =
+
, k ∈ℤ
đó sin α = ; cos α =
3
3
3
3
3
4
c) x = π + α + k 2π , k ∈ ℤ trong đó α là số thoả mãn cos α = và sin α =
5
5
2
d) 5sin 2 x − 6 cos x = 13 ⇔ 5sin 2 x − 3cos 2 x = 16 , phương trình vô nghiệm.
Đại số và giải tích 11

21

Chương I. HSLG & PTLG