WWW.TOANTRUNGHOC.COM

BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNGIV

BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Trần Sĩ Tùng


+ Với a, b

0, ta có:
ab
ab
2


. Dấu "=" xảy ra  a = b.
+ Với a, b, c

0, ta có:
a b c
abc
3
3


. Dấu "=" xảy ra  a = b = c.
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất

x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất

x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.


ac < bc
(2a)
c < 0
a < b

ac > bc
(2b)

a < b và c < d

a + c < b + d
(3)
a > 0, c > 0
a < b và c < d

ac < bd
(4)
n nguyên dương
a < b

a
2n+1
< b
2n+1

(5a)
0 < a < b

a

xa
xa





a b a b a b    Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 31 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
 Một số BĐT thường dùng:
+
A
2
0
+
AB
22
0

d)
a b c ab bc ca
2 2 2
2( )    

e)
a b c a ab a c
4 4 2 2
1 2 ( 1)      
f)
a
b c ab ac bc
2
22
2
4
    

g)
a b b c c a abc
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6     
h)
a b c d e a b c d e
2 2 2 2 2
()       

i)
a b c
ab bc ca

abc
2
( ) 0  

e)


a b a c a
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( 1) 0     
f)


a
bc
2
( ) 0
2

  



g)


a bc b ca c ab
222
( ) ( ) ( ) 0     


222
0     

Bài 2. Cho a, b, c

R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b a b
3
33
22





; với a, b

0 b)
a b a b ab
4 4 3 3
  

c)
aa
4
34
d)
a b c abc
3 3 3

3
2
2



h)
a b a b a b a b
5 5 4 4 2 2
( )( ) ( )( )    
; với ab > 0.
HD: a)


a b a b
2
3
( )( ) 0
8
  
b)


a b a b
33
( )( ) 0  

Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 32



b a ab
ab a b
2
22
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )




g)


a
22
( 1) 0
h)


ab a b a b
33
( )( ) 0  
.
Bài 3. Cho a, b, c, d

R. Chứng minh rằng
a b ab
22


c)
a a b b c c d d
2 2 2 2
4 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4       

Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
b
1
thì
a a c
b b c



(1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a)
a b c
a b b c c a
2  
  
b)
a b c d
a b c b c d c d a d a b
12    
       

c)

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a a a
a b c d a b c a c

     

Tương tự,
b b b
a b c d b c d b d

     c c c
a b c d c d a a c

     d d d
a b c d d a b d b

     

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
   


d)
a b c abc a b c
4 4 4
()    

Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 33

e)
a b c ab bc ca
33
   

với a,b,c>0. f)
a b c ab c
4 4 4
  
nếu
a b c 1

HD:


a b b c c a
222
( ) ( ) ( ) 0     
.
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)

  
     
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
d)
a b b c c a a b c
3 3 3 3 3 3
3 3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2( )       
; với a, b, c

0 .
e*)
A B C
A B C
33
3
3 3 3
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
    
; với ABC là một tam giác.
HD: (1)


a b a b
22
( )( ) 0  
.
a) Từ (1)


(2).
Từ đó: VT


a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )       
.
e) Ta có:
C A B C
ABsin sin 2cos .cos 2cos
2 2 2

  
.
Sử dụng (2) ta được:
a b a b
33
3
4( )  
.



CC
A B A B
33
3
33
sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos
22
    

a) Cho a, b

0 thoả
ab1
. Chứng minh:
ab
22
1 1 5   
.
b) Tìm GTNN của biểu thức P =
ab
ba
22
22
11
  
.
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn
x y z 1  
. Chứng minh:

x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82     
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 34

( ) 0
(đúng).
a) Sử dụng (1). Ta có:
a b a b
2 2 2 2
1 1 (1 1) ( ) 5       
.
b) Sử dụng (1). P


a b a b
a b a b
22
22
1 1 4
( ) ( ) 17
   
      
   

   

Chú ý:
a b a b
1 1 4


(với a, b > 0).
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:


1 1 1 9
  

(với x, y, z > 0).
d) Tương tự câu c). Ta có: P


 
x y z
2
2
3 223 ( ) 2010   
.
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a)
ab bc ca a b c ab bc ca
2 2 2
+ <2( )     

b)
abc a b c b c a a c b( )( )( )      

c)
a b b c c a a b c
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 0     

d)
a b c b c a c a b a b c
2 2 2 3 3 3

Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 35

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b

0, ta có:
ab
ab
2


. Dấu "=" xảy ra

a = b.
+ Với a, b, c

0, ta có:
a b c
abc
3
3



x = y.

Bài 1. Cho a, b, c

0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b b c c a abc( )( )( ) 8   
b)
a b c a b c abc
2 2 2
( )( ) 9    

c)
 
a b c abc
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1    
d)
bc ca ab
a b c
a b c
    
; với a, b, c > 0.
e)
a b b c c a abc
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6     




a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1          

a b c abc
3
3  



ab bc ca a b c
3
2 2 2
3  

 
a b c abc a b c abc abc
3
3
2 2 2
33
(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1        

d)

66
.
f) Vì
a b ab2
nên
ab ab ab
ab
ab
2
2


. Tương tự:
bc bc ca ca
b c c a
;
22


.



ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 22
   
   
  

(vì

.


Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 36

Khi đó, VT =
x y z x z y
y x x z y z
1
3
2

     
     


   

   




13
(2 2 2 3)
22
   
.

     
.
Chú ý:
ab
a b ab
ba
33
22
22  
. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b)


     
a b c a b b a b c bc c a ca
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2( )       
.
Chú ý:
a b ab a b
33
()  
. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có:
a b c a b c a b c
3 3 3 2 2 2
9( ) 3( )( )      
.
Dễ chứng minh được:
a b c a b c


; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
1 1 1
4
. Chứng minh:
a b c a b c a b c
111
1
222
  
     

d)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2

  
  
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả
x y z2 4 12  
. Chứng minh:
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4
6
2 2 4 4
  

.
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) và b) ta được:
a b c a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
4
222

    

     

.
d) Theo (1):
a b a b
1 1 1 1
4






ab
ab
ab
1
()
4

a b b c c a
2 2 2
1 1 1 3
( ) ( )
2

      

  

.
b) Cho x, y, z > 0 thoả
x y z 1  
. Tìm GTLN của biểu thức: P =
x y z
x y z1 1 1

  
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
a b c 1  
. Tìm GTNN của biểu thức:
P =
a bc b ac c ab
2 2 2
1 1 1
2 2 2

  
.

a b b c c a a b c
1 1 1 9
2( )
  
    
.


VT


a b c a b c
a b c
a b c a b c
2 2 2 2 2 2
9( ) 3 3( ) 3
. ( )
2( ) 2 2
   
   
   

Chú ý:
a b c a b c
2 2 2 2
( ) 3( )    
.
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P =
x y z

.
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả
x y z 1  
và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
x y z
kx ky kz1 1 1

  
.
c) Ta có: P


a bc b ca c ab a b c
2 2 2 2
99
9
2 2 2 ( )

      
.
d) VT


ab bc ca
a b c
2 2 2
19



Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 38

Chú ý:
ab bc ca a b c
2
11
()
33
     
.

e) Áp dụng (1):
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
  
     

96
3
5
6
2



x
31
;1
21
   

. d)
x
yx
x
51
;
3 2 1 2
  


e)
x
yx
xx
5
; 0 1
1
   

f)
x
yx
x
3

2

khi x =
6
1
3

d) Miny =
30 1
3

khi x =
30 1
2


e) Miny =
2 5 5
khi
x
55
4


f) Miny =
3
3
4
khi x =
3

y x x x
15
(6 3)(5 2 );
22
     
f)
x
yx
x
2
;0
2



g)
 
x
y
x
2
3
2
2



HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy =
121

xx
2 3 2
( 2) 27



x
x
2
23
1
27
( 2)



Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 39 
Maxy =
1
27
khi x =

1.
Bài 7.
a)
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki

2 2 2 2
( ) 3( )    
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
ab
22
3 4 7
, với
ab3 4 7
b)
ab
22
735
35
47

, với
ab2 3 7

c)
ab
22
2464
7 11
137

, với

, , 3 , 5
35

.
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
35
, , 7 , 11
7 11

.
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab1,2, ,
.
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab2, 3, 2 , 3
.
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT


ab
22
9
5

.
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
ab

HD: a)
a b a b
2 2 2 2 2
1 (1 1 ) (1 1 )( )    


đpcm.
b)
a b b a b a a a a
3 3 2 3
1 1 (1 ) 1 3 3           

b a a
2
33
1 1 1
3
2 4 4

    


.
c)
a b a b
2 2 4 4 2 2 2
1

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 40 P x y z1 1 1     
.
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P


x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )      



6

Dấu "=" xảy ra


x y z1 1 1    



x y z
1
3
  
.
Vậy Max P =
6







xx
x
x
2
2
1 1 9
82

  


(1)
Tương tự ta có:
yy
y
y
2
2
1 1 9
82

  



x y z
x y z x y z
1 1 1 1 1 80 1 1 1
()
99
82

   
       

   
   


x y z
x y z x y z
1 2 1 1 1 80 9
( ) .
39
82



    




a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1  


(2).
Chú ý:
x y z x y z    
. Dấu "=" xảy ra

x = y = z = 0. Từ đó

(1)
Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a)
A
xy
41
4

, với x + y = 1 b)
B x y
, với
xy
23
6

HD: a) Chú ý: A =
xy
22
21
2

Dấu "=" xảy ra


xy
41
;
55

. Vậy minA =
25
4
khi
xy
41
;
55

.
b) Chú ý:
x y x y
22
2 3 2 3
   
  
   



.
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình

23
6


.
Dấu "=" xảy ra


xy
2 3 3 2 2 3 3 2
;
6 3 6 2


. Vậy minB =
 
2
23
6

.
Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a)
A x y y x11   
, với mọi x, y thoả
xy
22
1
.
HD: a) Chú ý:

, với
xy
22
36 16 9
d)
D x y22  
, với
xy
22
1
49

.
HD: a)

A


xx
22
(1 1 )(7 2) 3 2    
. Dấu "=" xảy ra


x
5
2

.


25
.


B


x x x6 ( 1) (3 ) 2 3    



62
. Dấu "=" xảy ra

x = 3.


maxB =
10 2
khi x =
43
25
; minB =
62
khi x = 3.
c) Chú ý:
x y x y
2 2 2 2
36 16 (6 ) (4 )  
. Từ đó:


C y x
15 25
25
44
    
.


minC =
15
4
khi
xy
29
,
5 20
  
; maxC =
25
4
khi
xy
29
,
5 20
  
.
d) Chú ý:
 



xy5 2 5   



D x y7 2 2 3     
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 42 
minD = –7 khi
xy
89
,
55
  
; maxD = 3 khi
xy
89
,
55
  
.
Bài 9.
a)

c)
xx5( 1) 2( 1)
1
63


d)
xx3( 1) 1
23
84

  

Bài 11. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
m x m x( ) 1  
b)
mx x m6 2 3  

c)
m x m m( 1) 3 4   
d)
mx m x
2
1  

e)
m x x m x( 2) 1
6 3 2

0)
x


b
a
;

 



a.f(x) < 0
x


b
a
;

 



a.f(x) > 0

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện
Kết quả tập nghiệm
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x
x
xx
15 8
85
2
3
2(2 3) 5
4






  

b)
x
x
x
x
45
3

d)
x
x
xx
4
23
2 9 19
32








e)
 
x
x
x
x
11
25
2
8
2 3 1
2



x
2 3 3 1
45
5
38
23






  

h)
x x x
x x x
3 1 3( 2) 5 3
1
4 8 2
4 1 1 4 5
3
18 12 9

  
  



  





b)
xx
x
x
1
15 2 2
3
3 14
2( 4)
2

  







Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)






2 3 2 0

   

  

e)
mx
m x m
10
(3 2) 0



  
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích


Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)


Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu


Dạng:





  


Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 44 
Dạng 2:
gx
f x coù nghóa
f x g x
gx
f x g x
f x g x
( ) 0
()
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )







.
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
x x x( 1)( 1)(3 6) 0   
b)
xx(2 7)(4 5 ) 0  
c)
x x x
2
20 2( 11)   

d)
x x x3 (2 7)(9 3 ) 0  
e)
x x x
32
8 17 10 0   
f)
x x x
32
6 11 6 0   

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
x
(2 5)( 2)
0
43

x
x
25
1
2



f)
xx
25
1 2 1



g)
xx
43
3 1 2



h)
xx
x
x
2
2
1
12

f)
x
x 2
2


g)
xx2 5 1  
h)
xx21
i)
xx21  

Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
xm
x
21
0
1



b)
mx m
x
1
0
1


12
;   
. Tính
xx
12

.
– Lập bảng xét dấu chung
a a x x
1 2 1 2
., 
.
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta
xét dấu của
a x b a x b
1 1 2 2
( )( )
(hoặc
a x b x
a x b x
11
22


) nhờ qui tắc đan dấu.
a)
m
mS
m
mS

m
mS
m
mS
1
0 : ( ;1) ;
1
0 : ;1
0 : ( ;1)



    












  


c)
mS

0
0,
0



     




a
ax bx c x R
2
0
0,
0



     




2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
ax bx c

f)
xx
2
2 7 5

g)
x x x
2
(3 10 3)(4 5)  
h)
x x x x
22
(3 4 )(2 1)  
i)
x x x
xx
22
2
(3 )(3 )
43



Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
2
2 5 2 0  
b)
xx


h)
xx
xx
2
2
4 3 1
0
57



i)
xx
xx
2
2
5 3 8
0
76




Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
x mx m
2
30   
b)

a.f(x) > 0,

x


b
R
a
\
2






> 0
a.f(x) > 0,

x

(–∞; x
1
)

(x
2
; +∞)
a.f(x) < 0,


2
2 6 0
3 10 3 0




  


c)
xx
xx
2
2
2 5 4 0
3 10 0


   

   



d)
xx
xx
xx
2

2
2
50
6 1 0


  

  



g)
xx
x
2
2
27
41
1

  

h)
xx
xx
2
2
1 2 2
1

c)
m x m x m
2
(3 ) 2( 3) 2 0     
d)
m x mx m
2
(1 ) 2 2 0   

e)
m x mx m
2
( 2) 4 2 6 0    
f)
m m x m x
22
( 2 3) 2(2 3 ) 3 0      

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
x m x m
2
3 2( 1) 4 0    
b)
x m x m
2
( 1) 2 7 0    

c)
x m x m

d)
mx m x
2
2( 1) 4 0   

e)
m x m x m
2
(3 ) 2(2 5) 2 5 0     
f)
mx m x m
2
4( 1) 5 0    

Bài 4.
a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.


Dạng 1:
CC
fx
gx














Dạng 2:
f x g x
f x g x
f x g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )








( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
























Chú ý:


luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.


Dạng 1:
 
gx
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )








Dạng 2:
f x hoaëc g x
f x g x
f x g x
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )

. Đặt
u f x
uv
v g x
()
; , 0
()








đưa về hệ u, v.


Dạng 5:
 
fx
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )













Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x
22
5 4 6 5    
b)
x x x
22
1 2 8   
c)
xx
22
2 3 6 0   

d)
xx2 3 3  
e)
xx

4 3 4 5    
e)
xx3 1 2   
f)
x x x x
22
3 2 2   

g)
xx
xx
2
2
4
1
2



h)
x
x
25
10
3



i)
x

Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 48

g)
xx3 7 1 2   
h)
xx
22
9 7 2   
i)
xx
x
xx
21 21 21
21 21
  

  

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a)
x x x
3 3 3
5 6 2 11    
b)
x x x
3 3 3
1 3 1 1    
c)
xx

22
( 3) 3 22 3 7     
d)
x x x x
2
( 1)( 2) 3 4    

Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a)
x x x x
22
3 5 8 3 5 1 1     
b)
xx
33
5 7 5 13 1   

c)
xx
33
9 1 7 1 4     
d)
xx
33
24 5 1   

e)
xx
44
47 2 35 2 4   

x x x
2
3 13 4 2   
f)
x x x
2
2 6 1 1   

g)
x x x3 7 2 8    
h)
x x x2 7 3 2     
i)
xx2 3 2 1   

Bài 9. Giải các bất phương trình sau:
a)
x x x x
2
( 3)(8 ) 26 11     
b)
x x x x( 5)( 2) 3 ( 3) 0    

c)
x x x x
2
( 1)( 4) 5 5 28    
d)
x x x x
22

xx
22
66
2 5 4
     



Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
3
2
28  
b)
xx
33
22
2 1 3 1  
c)
xx
3
13  

Bài 12. Giải các phương trình sau:
a)


  
, với a, b, c > 0.
c)
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2

    



, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.
d)
a b b a ab11   
, với a

1, b

1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si:
a b c a b c
3
3 3 3 3 3 3
33   



a b c
3 3 3
2( ) 6  



, ta được:
p a p b p a p b c
1 1 4 4
  
    
.
Tương tự:
p b p c a p c p a b
1 1 4 1 1 4
;   
   
. Cộng các BĐT

đpcm.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
a ab a ab
a b a ab a1.
22

    
.
Tương tự:
ab
ba1
2

. Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra


d)
D a b c
3 3 3
  
, với a, b, c > 0 và
ab bc ca 3  
.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A =
x
x
1
( 1) 1 2 1 3
1
     

.
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 50

Dấu "=" xảy ra

x = 2. Vậy minA = 3.
b) B =
xy
xy
41
4 4 5
4
   




ab
3
25

.
Dấu "=" xảy ra

a = b =
1
2
. Vậy minC = 5.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
a b ab
33
13  
,
b c bc
33
13  
,
c a ca
33
13  
.



a b c ab bc ca

, với
x
1
1
2
  
.
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab1,1, 1, 1
ta được:

A a b a b1. 1 1. 1 (1 1)( 1 1) 6         
. Dấu "=" xảy ra

a = b =
1
2
.


maxA =
6
.
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
x x x
x x x
3
1 2 1
. (1 2 )
3 27

4

. Vậy maxC =
9
8
.
Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
x m mx
xx
2
4 2 1
3 2 2 1

  

  

b)
xx
mx
2
3 4 0
( 1) 2 0

  

  




   

b)
xx
mx m
2
10 16 0
31

  




Bài 6. Giải các bất phương trình sau:
a)
x
x
xx
2
2 5 1
3
67




b)
x x x

  


Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
m x m x m
2
( 1) 2( 3) 2 0     
b)
m x m x m
2
( 1) 2( 3) 3 0     

Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a)
m x m x m
2
(3 1) (3 1) 4    
b)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 3 3    

Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a)
m x m x m
2
( 4) ( 1) 2 1    
b)
m m x m x

2
2
1
1
2 2 3



d)
x mx
xx
2
2
24
46
1

  
  

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt
a)
m x m x m
42
( 2) 2( 1) 2 1 0     
b)
m x m x
42
( 3) (2 1) 3 0    

1
1






Bài 13. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x
22
8 12 8 12    
b)
x x x x3 4 1 8 6 1 1       

c)
x2 2 1 1 3  
d)
x x x x14 49 14 49 14     

e)
x x x
22
1 2(2 1)    

Bài 14. Giải các bất phương trình sau:
a)
x x x
2

6 5 9   

g)
x x x
2
2 3 2 2 1    
h)
x x x2 1 2 3 1    

Bài 15. Giải các phương trình sau:
a)
xx2 3 0  
b)
x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16       

c)
x x x4 1 1 2    
d)
x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5      

e)
xx
2
4 1 4 1 1   
f)
x x x x x
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2       

g)

2
  


Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 52

d)
x
x
x
2
2
3(4 9)
23
33



e)
x x x
22
( 3) 4 9   
f)
x
x
x
2
2
94