TR ƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THẬN  Đại Số 10
PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT
y ax b
= +
I. Kiến thức cơ bản:
1. Hàm số
( )
0y ax b a= + ≠
:
- Tập xác định
D R=
.
- Hàm số
y ax b= +
đồng biến trên
0R a
⇔ >
- Hàm số
y ax b= +
nghịch biến trên
0R a
⇔ <
- Đồ thị là đường thẳng qua
( )
0; , ;0
b
A b B
a
 
−
 ÷

( )
;0−∞
.
4. Định lý:
( )
:d y ax b= +
và
( )
' : ' 'd y a x b= +
-
( )
d
song song
( )
'd ⇔
'a a=
và
'b b
≠
.
-
( )
d
trùng
( )
'd ⇔
'a a
=
và
'b b

0;0O
cho
0 2x y= ⇒ = −
,
( )
0; 2B −
cho
0 3x y= ⇒ =
,
( )
0;3D
Cho
1 2x y= ⇒ =
,
( )
1;2A
cho
1 0x y= ⇒ =
,
( )
1;0C
cho
1 2x y= ⇒ =
,
( )
1;2A
Hàm số
2y =
là đường thẳng song song với trục hoành
Ox


Giải hệ ta được
1a
= −
và
3b
=
. Vậy hàm số cần tìm là
3y x= − +
.
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai
hàm số bậc nhất sau đây
2 1y x= −
và
3 2y x= −
.
Giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ
2 1 2 1 3 2 1
3 2 3 2 1
y x x x x
y x y x y
= − − = − =
  
⇔ ⇔
  
= − = − =
  
.
Vậy giao điểm cần tìm là điểm
( )

GIÁO VIÊN: NGUYỄN QUANG TÁNH 1
TR ƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THẬN  Đại Số 10
Vậy đường thẳng cần tìm là
3 4y x= +
.
5) Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức:
Vẽ đồ thị hàm số
( )
1, khi 1
2 , khi 1
x x
y f x
x x
+ ≥

= =

− <

Với
1x ≥
ta có
1y x= +
Với
1x
<
ta có
2y x= −
Cho
1 2x y= ⇒ =


=

− <

b)
3 1, khi 1
1, khi 1
x x
y
x x
+ ≥ −

=

− + < −

c)
2 4, khi 2
4 2 , khi 2
x x
y
x x
− ≥

=

− <

d)

2 3 6y m x= + −
nghịch biến trên
R
.
c)
( )
1 3 2y m x x m= − + −
tăng trên
R
. d)
( )
2 3 2y m x x m= − + −
giảm trên
R
.
4. Tìm a,b để đồ thị hàm số
y ax b= +
:
a) Đi qua hai điểm
( )
1; 3A −
và
( )
2;3B
. c) Đi qua điểm
( )
2; 1M −
và song song với
3y x= +


3 1y x= +
và
1y x= −
b)
3 1y x= −
và
1y x= +
c)
5 6y x= −
và
6y x= −
7. Tìm
m
để đồ thị của ba hàm số sau đồng quy (cùng đi qua một điểm):
a)
2y x=
và
3y x= − −
và
1y mx= +
GIÁO VIÊN: NGUYỄN QUANG TÁNH 2
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
b)
1y x= +
v
3y x=
v
2
3 2y m x m=
c)

a)y= x
2
- 6x+ 3 b)y= x
2
- 4x+ 3 c)y= -x
2
+ 5x- 4
d) y= 3x
2
+ 7x+ 2 e) y= -x
2
- 2x+ 4
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2
y x 4x 3= +
b)
2
y x 4 x 3= +
c)
2
y x 4 x 3= +

d)
2
y x 4 x 3= +
e)
2
y x 4x 3= +
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Dạng 2. Lập phơng trình của parabol khi biết các yếu tố của nó
Bài 5. Xác định phơng trình các parabol:
a) y= x
2
+ ax+ b đi qua S(0; 1)
b) y= ax
2
+ x+ b đi qua S(1; -1)
c) y= ax
2
+ bx- 2 đi qua S(1; 2)
d) y= ax
2
+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
e) y= ax
2
+ bx+ c cắt trục hoành tại x
1
= 2và x
2
= 3, cắt trục tung tại: y= 6
f) y= ax
2
+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2
g) y= ax
2
+ bx+ c đạt cực tiểu bằng 6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
h) y= ax
2
+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)

Bài 9. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= x- 1 và y = x
2
- 2x- 1; b) y = -x+ 3 và y = -x
2
- 4x +1; c) y = 2x- 5 và y=x
2
- 4x+ 4
d) y = 2x+ 1 và y = x
2
- x- 2; e) y= 3x- 2 và y= -x
2
- 3x+ 1; f) y= -
4
1
x+ 3 và y=
2
1
x
2
+ 4x+ 3
Bài 10. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= 2x
2
+3x+ 2 và y= -x
2
+ x- 1 b) y= 4x
2
- 8x+ 4 và y= -2x
2

Bài 12. Cho họ (P
m
) y = mx
2
+ 2(m-1)x + 3(m-1) với m0. Hãy viết phơng trình của parabol thuộc
họ (P
m
) tiếp xúc với Ox.
Bài 13Cho họ (P
m
) y = x
2
+ (2m+1)x + m
2
1. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (P
m
) luôn cắt đ-
ờng thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.
Dạng 4. Phơng trình tiếp tuyến của Parabol
Bài 14. Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = x
2
- 2x +4 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d
1
) y = -2x + 1
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d
2
) y = 3x + 2
Bài 15. Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) y = -2x
2

) y = x
2
- mx + m
Bài 20. Tìm quĩ tích đỉnh của (P
m
) y = x
2
- (2m+1)x + m-1
Bài 21. Cho (P) y = x
2
a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến tới (P).
b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
Dạng 7. Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol
Bài 22. Cho (P)
2
x
y
4
=
và điểm M(0;-2). Gọi (d) là đờng thẳng qua M có hệ số góc k
a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Tìm k để AB ngắn nhất.
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH 4
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
Bài 23. Cho (P) y = x
2
, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung AB.
Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất.
Bài 24. Cho hàm số y = x
2

2x x 4m 3 0+ + =
Bài 28. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
( ) ( )
2
2 2
x 2x 4 x 2x 5 m+ + + =
Bài 29. Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 4m 3 =
Bài 30. Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2
x x 2 5 2m + + =
Bài 31. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
( )
4 3 2
y f x x 4x x 10x 3= = +
trên đoạn [-1;4]
Bài 32. Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x + y
+ z + xy

+ yz + zx
Bài 33. Tìm m để bất đẳng thức
2 2
x 2x 1 m 0 +

.
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình

2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) CMR : M =
( ) ( )
2 1 1 2
1 1x x x x +
không phụ thuộc m.
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH 5
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
Bài tập 6 : Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0x m x m + =
(1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =
2 2
1 2
x x+
(

1 2
x x+
.
Bài tập 9: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 5 0x a x a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1x x< <
.
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 6.
Bài tập 10: Cho phơng trình

2
2 (2 1) 1 0x m x m+ + =
(1)
a) m = ? thì (1) có hai nghiệm

2 2
( 1) 0( 0)kb k ac k + =
Bài tập 13: Cho phơng trình

2
2( 4) 7 0mx m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
2 0x x =
.
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 14: Cho phơng trình

2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m + + + + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa

2
4 0x mx =
(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2
2( ) 7x x
A
x x
+ +
=
+
.
c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình
2
7 0x kx+ + =
có hai nghiệm hơn kém nhau
một đơn vị.
Bài tập 18: Cho phơng trình

2
( 2) 1 0x m x m + + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19: Cho phơng trình

2
12 0x x m + =
(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
toả mãn
2
2 1
x x=
.
Bài tập 22: Cho phơng trình

2
( 2) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1x x+ + =
.
Bài tập 23: Cho phơng trình

2

3 3 +
; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2, 1x x= =
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH 7
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
thì phơng trình
2
1 0qx px+ + =
có hai nghiệm dơng
3 4
,x x
d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
1 2
3 3x va x
;
2
1
1
x
và
2
2
1

(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
Bài tập 28: Cho phơng trình

2
( 1) (2 3) 2 0m x m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phơng trình

2 2
2( 2) ( 2 3) 0x m x m m + + =
(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn
1 2
1 2

;
c)
3 3
1 2
x x
+
d)
1 2
x x
Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a)
3
và 2
3
; b) 2 -
3
và 2 +
3
.
Bài tập 33 : CMR tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :
a)
3 5
3 5

+
; b)
2 3
2 3
+


x x x x+
( Với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình

2
(2 1) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH 8
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
1x x =
Bài tập 38 : Cho phng trỡnh x
2
- (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k l tham s).
Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim.
Bài tập 39:
Tìm các giá rị của a để ptrình :

( )
032)3(
222

2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bài tập 43:
Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2
m + 1 = 0 vi m l tham s v x l n s.
a) Gii phng trỡnh vi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x
1
,x
2
.
c) Vi iu kin ca cõu b hóy tỡm m biu thc A = x
1
x
2
- x
1
- x
2
t giỏ tr nh nht.
Bài tập 44:
Cho phơng trình ( ẩn x) : x
4
- 2mx
2
+ m
2


44
53
4
53
4









+








+
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :
012
2
=+ mxxx
có đúng hai nghiệm phân biệt.
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH 9

( x là ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba
lần nghiệm kia.
Bài tập 52: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu .
b) Gọi
1
x
là nghiệm âm của phơng trình . Hãy tính giá trị biểu thức :
8
1 1 1
10 13P x x x= + + +

Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:
x
2
- 2(m 2 ) x + m - 2 =0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài tập 54:
Cho phơng trình : x
2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

thoả mãn :
1 2
3x x+ =
.
3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số
y=
2 2
2( 1) 1x m x m m+ + + + +
chứa đoạn
[ ]
2;3
.
Bài tập 57:Cho phơng trình :
x
2
- 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài tập 58: Cho phơng trình :
2 2
6 6 0.x x a a+ + =
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH
10
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
2) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình này. Hãy tìm giá trị của a sao cho
3


2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức
2 2 2
a b ab c+ =
. CMR phơng trình
2
2 ( )( ) 0x x a c b c + =
có hai nghiệm phân biệt.
Cho phơng trình
2
0x x p + =
có hai nghiệm dơng
1 2

2
2 2 2
0a x b x c+ + =

Có nghiệm chung. CMR
:
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
.a c a c a b a b b c b c =
Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m + + =

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng minh :
1 2 1 2
9
8
x x x x+ +
Bài tập 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2 2 2 0x mx m+ + =


2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =
vô nghiệm .
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a
+ + =
+ + =

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR :
2 2 2 2
4m n p q+ + +
.
Bài tập 70: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
0x bx c+ + =
có các nghiệm
1 2
,x x
; phơng trình
2 2
0x b x bc + =
có các nghiệm

e) 3x
2
+ 3x =
xx +
2
+1
f) (x +
x
1
) - 4 (
)
1
x
x +
+6 =0
g)
121
2
= xx
h)
20204 = xx
i)
(10
48
3
2
2
=+
x
x

+2x +1) +35 = 0 f) (x
2
-4x +3)(x
2
-12x +35)=-16 g) 2x
2
+ 2x =
xx +
2

+1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x
2
-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là

x
1
, x
2
.
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau:
2
2
2
1
11
xx
A +=
;
=B

-3
b) u =
1x
1
1

, v =
1x
1
2

.
Bài tập 74 . Cho hai phơng trình : x
2
- mx +3 = 0 và x
2
- x +m+2= 0 .
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x
2
- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm a sao cho
1
x

Cho phơng trình:
mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1
; x
2
của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH
12
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
Bài tập 78: Cho phơng trình mx
2
2( m -2) x + (m 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x
1
;x
2
của PT thoả mãn

Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có các nghiệm x
1
; x
2
. Lập hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với m
.
Bài tập 82Cho PT x
2
2(a 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a
b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x

2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
+ 3x
2
= 5
4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= m
2
2m + 3 .
Bài tập 85: Cho PT : x
2
(a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x
2

Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2
mx m 1 = 0 (*)
a) C/mr PT (*) có nghiệm x
1
; x
2
với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m tơng ớng .
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
6x
1
.x
2

1) Chứng minh A = m
2

-8m + 8
2) Tìm m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng .
Bài tập 89: Cho phơng trình x
2
2(a- 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x

Chứn minh rằng : M = (1 x
1
) x
2
+ (1 x
2
)x
1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x
2
(1- 2n) x + n 5 = 0
a) Giải PT khi m = 0
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm cảu PT đã cho
Chứng minh rằng biểu thức : x
1
(1 + x
2
) + x
2
(1 +x
1
)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình
x

ớng C/m x
1
2
+ x
2
2
+ y
1
2
+ y
2
2


4
Bài tập 95: Cho các phơng trình x
2
+ bx +c =0 (1) và x
2
+cx +b = 0 (2)
Trong đó
2
111
=+
cb
Bài tập 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình

1
x
2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ;
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Có các hệ số thoả mãn
( )
1 2 1 2
2a a b b +
.Cmr ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :
( )
2 2 2 2 2 2
0a x b a c x b+ + + =
Vô nghiệm
Nếu a + b > c và
a b c >

+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x
1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+
bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh x
1
, x
3
là nghiệm của phơng trình x
2

+ cx + ab = 0 .
Bài tập 106: Cho phơng trình x
2
+ px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết rằng khi thêm 1 vào
các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phơng trình : x
2
p
2
x + pq = 0

Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2x x+ +
Bài tập 110 Cho phơng trình
2
2
1
0x ax
a
+ =
.Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm GTNN của E =
4 4
1 2
x x+
Bài tập 111: Cho pt x
2
+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0
a) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm kép
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm lớn hơn 1
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH
14
TR NG THPT NGUYN HU THN i S 10
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng

5
3
1
7
3
1
3
2
5
3
yx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=+
55
55
myx
ymx
2)



=++
=
mmyxm

xmyx =++=++
1
)1(,046
5. Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt nhau trên Oy

mymxmmyx 3)32(,2 =+++=

Hệ gồm một phơng trình bậc nhất vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
Dạng



=++++
=+
)2(
)1(
22
khygxeydxycx
cbyax
PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).
1. Giải hệ phơng trình
1)



=
=
423
532
22

22
12
22
yx
ymx
2)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
3. Tìm m để đờng thẳng
0)1(88 =++ mymx

cắt parabol
02
2
=++ xyx
tại hai điểm phân biệt.
Hệ phơng trình đối xứng loại I
Dạng



=

1)



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
2)



=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
3)





=++
=+








++
=








++
49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx

1
2)



=++
=+++
mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)
22
3. Cho hệ phơng trình



=++
=+
3
2
22
xyyx
myx

Giả sử
( )
yx;
là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu thức F=
xyyx +
22

0),(),(
xyfyxf
xyfyxf
1. Giải hệ phơng trình
1)





=
=
yxx
xyy
43
43
2
2
2)





=
=
yxyx
xxyy
3
3


2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
1)





=+
=+
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
2)





+=
+=
myyyx
mxxxy
232
232
4
4

222
22
22
yxyx
yxyx
2)





=+
=+
42
1332
22
22
yxyx
yxyx
GIO VIấN: NGUYN QUANG TNH
16
TR ƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THẬN  Đại Số 10
3)





−=−
=+−

yxyx
1732
1123
22
22
2)





=+−
=+−
myxyx
yxyx
22
22
54
132
Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh kh¸c
1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)



=+−
=−
7
1
22

0)(9)(8
012
33
yxyx
xy
5)





=−−
=+
21
1
22
yx
yx
6)





=+
=−
yxyx
xyxy
10)(
3)(2

zyx
2)





=−
+=+−+
523
5
3
2
323
22
yx
x
xyy

3. T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung
a)
mx 31
=−
vµ
124
22
=− mx
b)
01)2()1(
2







+−=−++
=++
myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1PHẦN 5
BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1.Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì < b) nếu a > b thì >
c) 1 < < 2
d) 2 < < 3
2.Cho < và b,d > 0, Chứng minh rằng < <
3.Chứng minh rằng ∀ a , b ,c
a) a
2
– ab + b
2

i) 4ab(a – b)
2
≤ (a
2
– b
2
)
2
j) a
2
+ 2b
2
+ 2ab + b + 1 > 0
k) ≥ l) 2 + a
2
(1 + b
2
) ≥ 2a(1 + b)
m) ≤ n) ( )
2
≤ o) ≥ ( )
2
p) + b
2
+ c
2
≥ ab – ac + 2bc q) a
4
+ b
4

≥ 2ab + 2b + 2a
v) (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
4.Cho a ,b ∈ [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| ≤ |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ +
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x
4
– + x – + 1 > 0
6.Cho ba số a ,b ,c ∈ [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca ≤ 1
4.Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) ≤ ()(a + c)
5.Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥
5.Cho a + b + c ≠ 0. Chứng minh rằng : ≥ 0
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
+ + ≤
4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a
2
– b
2
+ c
2

+ b(c – a)
2
+ c(a – b)
2
> a
3
+ b
3
+ c
3

d) a
3
(b
2
– c
2
) + b
3
(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0

2
ca + c
2
ab
c) a
3
(b
2
– c
2
) + b
3
(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0
10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a ≤ b ≤ c
Chứng minh rằng : (a + b + c)
2
≤ 9bc
*.Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥
*.Cho a ,b ,c ∈ [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ 4
. Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 ∀ n ∈ N

2
b + ≥ 2a b > 0 c) ≥ 1
d) a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) e) a
4
+ a
3
b + ab + b
2
≥ 4a
2
b
f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )
2

h) ≤ i) ≥ j) + ≥ + +
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )
2
h) ≥ 2 k) ≥ 3a
2
b
3
– 16
l) ≥ 4 m) ≥
2.Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)
2
≥ 16

2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b i) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +
3
abc
)
3

7. Chứng minh rằng ∀x ∈(0; π/2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6
8.Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ c
4
≥ abc
9.Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c

2
(bd + 4)
2
e) ≥ 6
4
abcd
f) + + ≥ g) + + + ≥
h) ≥ 3a
2
b
3
– 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6
11.Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )
n
+ (1 + )
n
≥ 2
n+1
n ∈ N
12.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
a) ab ≤ b)a
2
+ b
2
≥ c)a
4
+ b
4
≥ d)a
3

2
+ y
2
+ z
2
= 1. Chứng minh rằng
– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 +
20 .Cho n số dương a
1
,a
2
,….,a
n
. Chứng minh rằng
a) ≥ n b) (a
1
+ a
2
+ … + a
n
)() ≥ n
2

c) (1 + a
1
)(1 + a
2
)…(1 + a
n
) ≥ 2

n
2
)
22.Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
23. Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 + 3≥ 5 b)
17
12
5
ab17b12a5
≥+

c) ≥ 3a
2
b
3
– 16
24. Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < n
n

25.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
a + b + c ≥
knm
nmk
knm
mkn
knm
knm
cbacbacba
++++++



+
b) 1.2
2
.3
3
.4
4
…n
n
<
2
)1n(n
3
1n2
+






+
29*.Cho m,n ∈ N ;m > n . Chứng minh rằng :
( 1 + )
m
> ( 1 + )
n
30*.Cho x

,

z
2
thoả mãn x
1
.x
2
> 0 ; x
1
.z
1
≥ y
1
2
; x
2
.z
2
≥ y
2
2Chứng minh rằng : (x
1
+ x
2
)(z
1

a) ≥ b) ≥
c) ≥ 6 d) ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c
g) ≥ ≥
37.Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :
a
2
(1 + b
2
) + b
2
(1 + c
2
) + c
2
(1 +ab
2
) ≥ 6abc
38*Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 4
39*Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9
40*Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c ≤ k. Chứng minh rằng :
) ≥
3

+ 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x
2
y
4
+ 2(x
2
+ 2)y
2
+ 4xy + x
2
≥ 4xy
3

e) (x + y)
2
– xy + 1 ≥ (x + y)
f) 3 + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)
2
≥ 3xyz(x + y + z)
2.Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
(a + b + c + d)
2
> 8(ac + bd)

– 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x
2
+
b) y = x + 2 + với x > – 2
c) y = x + với x > 1
d) y = với x > – 2
e) y = với x > 0
f) y = + với x ∈ (0;1)
.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0≤ x ≤ 2
y = (2x – 3)(5 – 2x) ≤ x ≤
y = (3x – 2)(1 – x) ≤ x ≤ 1
y = (2x – 1)(4 – 3x) ≤ x ≤
y = 4x
3
– x
4
với x ∈ [0;4]
.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường
thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB
có độ dài nhỏ nhất
*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +
PHẦN 5
§1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
2



+ > +

b.
5
6 4 7
7
8 3
2 5
2
x x
x
x

+ < +



+

< +


§2. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
. ( ) (2 1)( 3)
4 3
. ( )
3 1 2

+ −

2
2
1 2 3
.
3 2
3 3
. 1
4
c
x x x
x x
d
x
+ <
+ +
− +
<
−

2
3
. 1
2
2
. 1
1 2
e
x

c f x x x d f x x x
e f x x x f f x x x
= − + − = − +
= − + = − + −
= + + = − + −
Bài 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:
2
2 2
2 2
2 2
2
. ( ) (3 10 3)(4 5)
. ( ) (3 4 )(2 1)
. ( ) (4 1)( 8 3)(2 9)
(3 )(3 )
. ( )
4 3
a f x x x x
b f x x x x x
c f x x x x x
x x x
d f x
x x
= − + −
= − − −
= − − + − +
− −
=
+ −
§7.BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2)
2
3 1
2
x x
x
x
+ −
> −
−
3)
3 47 4 47
3 1 2 1
x x
x x
− −
>
− −
4)
9
4
2
x
x
+ ≥
+
5)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 4

−
10)
1
2x +
+
2
2
3 2 1
4 3 3
x x x
x x x
− + +
>
− + −
11)
2
2
2 3 4 15
1 1 1
x x x x
x x x
− − + +
+ ≥
− + −
12)
2
2 1 4
2 2 2x x x
−
+ ≤

>
−
16)
4 2
2
4 3
0
8 15
x x
x x
− +
≥
− +
17)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 4 5
2
1 2 3 6
0
7
x x x x
x x
− + − +
≤
−
18)
( )
2
42

x
+

≥

−


+ −

≤

−

3)
2
12 0
2 1 0
x x
x

− − <

− >

4)
2
2
3 10 3 0
6 16 0


+ + <


− + >


7)
2
2
3 8 3 0
17 7 6 0
x x
x x

+ − ≤


− − ≥


8)
2
2
2
4 3 0
2 10 0
2 5 3 0
x x
x x

− +
11)
2
2
10 3 2
1 1
3 2
x x
x x
− −
− < <
− + −
12)
2
2
2
3 4
0
3
2 0
x x
x
x x

− +
>

−



 − − <

Phương trình và bất phương trình có chứa trị tuyệt đối:
1)
2
5 4 4x x x− + = +
2)
2 2
2 8 1x x x− + = −
3)
2
5 1 1 0x x− − − =
4)
3
1 1x x x− = + +
5)
2
1 2 0x x− − <
6)
1 4 2 1x x− ≥ +
7)
2 2
3 2 2x x x x− + + >
8)
2 5 7 4x x+ > −
9)
2
2
4
1

5 6
x
x x
−
≥
− +
13)
2
2
x x
x
+ −
≥
14)
2
2
2
1x
x
≤ −
15)
2
2
4 3
1
5
x x
x x
− +
≥

≥
+ −
21)
1 3x x x x− − > +
22)
2
6
2
2
x x
x
x
− −
≥
−
23)
2 1 5x x+ + − =
24)
1 2x x x+ ≤ − +
Phương trình và bất phương trình có chứa căn :
1)
2
2 4 2x x x+ + = −
2)
2
3 9 1 2x x x− + = −
3)
2
12 7x x x− − < −
4)

9)
2 4 3
2
x x
x
− + −
≥
10)
2 2
2 2 4 3x x x x+ = − − +
11)
( ) ( )
2
1 2 3 4x x x x+ + = + −
12)
2 2
3 12 3x x x x+ + = +
13)
( ) ( )
2
6 2 32 34 48x x x x− − ≤ − +
14)
( )
2
3 6 3x x x x+ ≤ − −
15)
( ) ( )
2
4 1 3 5 2 6x x x x+ + − + + <
16)

22)
2
2
9 4
3 2
5 1
x
x
x
−
≤ +
−
23)
6 3
3
4 4 2x x x− + > −
24)
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
25)
( )
2
6 9 6 9 1x x x x+ + − − + >
26)
1 2 3x x x− − − > −
27)
4 1 3
1 4 2
x x
x x
−

= −
− + + +
4)
2
5 14 3y x x x= − − − +
5)
2
3 3
1
2 15
x
y
x x
−
= −
− − +
Các dạng toán có chứa tham số:
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a)
2
4 5x x m− + −
b)
( )
2
2 8 1x m x m− + + +
c)
( )
2
2
4 2x x m+ + −

2
2 2 3 1m x m x m− − − + −
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
a)
( ) ( )
2
1 2 1 3 3 0m x m x m+ − − + − ≥
b)
( )
( )
2 2
4 5 2 1 2 0m m x m x+ − − − + ≤
GIÁO VIÊN: NGUYỄN QUANG TÁNH
24
TR ƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THẬN  Đại Số 10
c)
( )
2
2
8 20
0
2 1 9 4
x x
mx m x m
− +
<
+ + + +
d)
( ) ( )
2

Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:
( )
4 2 2
1 1 0m x mx m− − + − =
có ba nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phương trình:
( ) ( )
4 2
2 2 1 2 1 0m x m x m− − + + − =
. Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:
a) Một nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
2
2
1
1
2 2 3
x mx
x x
+ −
<
− +
b)
2
2
2 4
4 6
1
x mx

2
2 15 0
1 3
x x
m x

+ − <


+ ≥


b)
( )
2
3 4 0
1 2 0
x x
m x

− − ≤


− − ≥


PHƯƠNG TRÌNH, BPT VÔ TỶ
Bài 1. Giải các pt sau:
1) x 1 8 3x 1+ = − +
2

<
2
x 16 5
13) x-3
3 x-3x
−
+ >
−
14) 1-4x 2x 1≥ +
2
1 3 1 1
16) -
x 4 x 2
− <
2
1 1 4 3
17) -
x 2 x 4
> −
18)
3
3 3
x 5 x 6 2x 11+ + + = +
19)
3 3
3
x 1 3x 1 2x 1+ + + = −
20)
3 3
3