Ebooktoan.com
§1 MỆNH ĐỀ
1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3
d)
3
2
có phải là số nguyên không? e)
5
+4 là số vô tỉ.
1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai
a) P(x):”3x
2
+2x−1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x−1”.
1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề P⇒Q và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với:
a) P: “ Góc A bằng 90
0
” Q: “ BC
2
=AB
2
+AC
2
”
b) P: “
µ µ
A B=
” Q: “ Tam giác ABC cân”.
1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng
a) ∃ x ∈
¡

−
=
−
1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
a) P(m): “ m< −m” b) Q(m): “m<
1
m
” c) R(m): “ m=7m”.
1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) P: “ 15 không chia hết cho 3”
b) Q: “
7 3>
”
1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với:
a) P: “2<3” Q: “−4<−6”
b) P: “10=1” Q: “100=0”.
1.9. Cho số thực
x
. Xét mệnh đề P: “
x
là số hữu tỉ”, Q: “
x
2
là một số hữu tỉ”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên
c) Chỉ ra một giá trị
x
mà mệnh đề đảo sai.
1.10. Cho số thực

C A>
;
c) Nếu
µ
A
=90
0
thì ABC là tam giác vuông.
-1-
Ebooktoan.com
1.14. Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;
c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;
d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) ∀
x
∈
¡
: x
2
≤ 0 b) ∃
x
∈
¡
: x
2
≤0
c) ∀

x
∈
¡
:
x
2
+
x
+1>0 f) ∃
x
∈
¡
:
x
2
+
x
+1>0
1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) ∀
x
∈
¡
:
x
.1=
x

b) ∀
x

, n
2
+1 chia hết cho 4.
c)
∀
x
∈

¡
, (x-1)
2

≠
x-1.
1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a)
∃
x
∈

¡
, x > x
2
.
b)
∀
x
∈

¡

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.
d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu a=b thì a
2
=b
2
.
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng
60
0
”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau.
b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7.
c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.
d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.
c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc còn lại.
d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60
0
.
BÀI TẬP THÊM

h/ Pt x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a/ ∀x ∈ R , x
2
+ 1 > 0 b/ ∀x ∈ R , x
2
− 3x + 2 = 0
c/ ∃n ∈ N , n
2
+ 2 chia hết cho 4 d/ ∃n ∈ Q, 2n + 1 ≠ 0
e/ ∀a ∈ Q , a
2
> a f) ∀x ∈ R , x
2
+x chia hết cho 2.
4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:
a) A⇒ B =
B A⇒
b)
A B A BΛ = ∨
c)
A B A B∨ = ∧
d)
( ) ( ) ( )A B C A B A C∧ ∨ = ∧ ∨ ∧

B. SUY LUẬN TOÁN HỌC
5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"
a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.

1
thì x + 2y − 2xy − 1 = 0
-3-
Ebooktoan.com
d/ Nếu x ≠ −
2
1
và y ≠ −
2
1
thì x + y + 2xy ≠ −
2
1
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.
f) Nếu d
1
// d
2
và d
1
// d
3
thì d
2
// d
3
.
8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n
2

7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
=
+−
++++
d) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . . . . . . . . + n
2
=
6
)1n2)(1n(n ++
e) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . . . . + n
3
=

3
+2n chia hết cho 3
i) n
3
+11n chia hết cho 6
j) n
3
+5n chia hết cho 6
k) 3
2n
+ 63 hết 72
l) 3
2n + 1
+ 2
n + 2
chia hết cho 7
m) 6
2n
+ 3
n + 2
+ 3
n
chia hết cho 11
n) 3
2n
– 2
n
chia hết cho 7
o) 4
n

A C=
1.4. a) ∃ x ∈
¡
: x
2
=−1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng −1”→ sai
∀ x ∈
¡
: x
2
≠−1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác −1”
b) ∀ x ∈
¡
:x
2
+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x
2
+x+2≠0” → đúng
∃ x ∈
¡
:x
2
+x+2=0
1.5. a) Đúng.
P
: “
1
3 2
3 2
+ ≠

−
”
1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với:
a) Nếu 2<3 thì −4<−6 → Sai
b) Nếu 10=1 thì 100=0 → Đúng
-4-
Ebooktoan.com
1.9. a) Nếu
x
là số hữu tỉ thì
x
2
là một số hữu tỉ → Đúng
b) Nếu
x
2
là một số hữu tỉ thì
x
là số hữu tỉ
c) Khi
x
=
2
mệnh đề đảo sai.
1.10. b) mệnh đề đảo đúng
c)
x
=−1 thì P⇒Q sai.
1.11. a) P⇒Q đúng
b) Q⇒P đúng

1
x
d) ∀ n ∈
¥
: n>−n
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1→ sai
b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0→đúng
c) Với mọi số thực , sao cho
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
→ Sai
d) Có số thực, sao cho
2
1
1
1
x
x
x
−
= +

¡
:
x
.
x
≠1→ đúng
c) ∃ n ∈
¢
: n≥n
2
→ đúng
1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi”→ sai
b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều”→ sai
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a)
∃
x
∈

¤
, 4x
2
-1= 0→ sai; mđ phủ “ ∀
x
∈
¤
, 4x
2
-1≠0”
b)

+1 không chia hết cho 4”
c)
∀
x
∈

¡
, (x-1)
2

≠
x-1. → Sai khi
x
=0
mđ phủ định “∃
x
∈
¡
,(x-1)
2
=x-1”
1.19. a) đúng, ví dụ
x
=1/10
b) sai, vì khi
x
<3 ⇒ |
x
|<3 sai khi
x

Q
M
N
A
B
C
Ebooktoan.com
a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3.
d) Điều kiện cần để a=b là a
2
=b
2
.
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một
góc bằng 60
0
”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”
b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7.
c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”
d) Đúng.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau
b) Sai.
c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì
µ

∅
2. Cách xác định tập hợp: có 2cách
- Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu chấm phẩy
ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm
VD : A = {1; 3; 5; 7}
B = { 0 ; 1; 2; . . . . ;100 }
C={1;3;5; ;15;17}
- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch
đứng
VD : A = {x∈ N | x lẻ và x <9} ; B= {x ∈
¡
| 2x
2
-5x+3=0}
3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: A
⊂
B hoặc B
⊃
A.
Khi đó A
⊂
B
⇔∀
x( x
∈
A
⇒
x
∈
B)

∀
x (x
∈
A
⇔
x
∈
B)
Ví dụ : C={x
∈
R | 2x
2
-5x+2=0}, D={
2
1
,2 }
⇒
C=D
- Biểu đồ Ven
-6-
Ebooktoan.com
Ta có
¥
*
⊂

¥

⊂
¢

2
-5x = 0}
E = {x
∈
Z | |x| < 3 }
F = {x | x=3k với k
∈
Z và -4 < x < 12 }
G= {Các số chính phương không vượt quá 100}
H= {n ∈
¥
| n(n+1)≤ 20}.
I={
x
|
x
là ước nguyên dương của 12}
J={
x
|
x
là bội nguyên dương của 15}
K= {n ∈
¥
| n là ước chung của 6 và 14}
L= { n ∈
¥
| n là bội của 6 và 8}
2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng
A={2;3;5;7} B= {1;2}

∞
) D = { x
∈
R | 2x
2
-7x+3= 0} .
2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:
a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.
c) C= ∅ d) D= {∅}
2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho:
{1,2}
⊂
X
⊂
{1,2,3,4,5} .
2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất cả các tập
con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải khác.
2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:
R={3k-1| k ∈
¢
, -5≤ k ≤5}
S={x ∈
¢
| 3<|x|≤
19
2
}
T= {
x
∈

− 4x + 3 = 0}
l/ L = {x ∈ Q / 2x − 1 = 0 hay x
2
− 4 = 0}
2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}
-7-
Ebooktoan.com
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {
3
1
,
5
2
,
7
3
,
9
4
}
3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :
a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}
4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C ⊂ X ⊂ B
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ A
5. Cho A = {x / x là ước ngun dương của 12} ;

A ∩ A=A
A ∩ ∅ = ∅
A ∩ B=B ∩ A
A
∪
B =
{
x| x
∈
A hoặc x
∈
B
}
x
∈
A
∪
B 



∈
∈
Bx
Ax
Tính chất
A ∪ A=A
A ∪ ∅=A
A ∪ B= B ∪ A
A\ B =

}

Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}.
Tính A
∪
B, (A
∩
B)
∪
C, A
∪
C, (A
∪
B)
∪
C, A\ B, A\ C
BÀI TẬP §3
3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính
A ∩ B, B ∪ C, C\A, (A ∪ B)\ (B ∪ C)
3.2. Cho A = {x∈N | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định A ∪ B ; A∩B ; A\B ; B\ A
b) CMR : (A ∪ B)\ (A∩B) = (A\B)∪ (B\ A)
3.3. Cho R={3k-1| k ∈
¢
, -5≤ k ≤5}, S={x ∈
¢
| 3<|x|≤
19
2
},

Ebooktoan.com
a) Chứng minh rằng B ⊂ E
b) Tìm C
E
B ; C
E
(A∩B)
c) Chứng minh rằng : E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B)
E \ ( A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B)
-9-
Ebooktoan.com
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ
1. Các tập số đã học
¥
,
¥
*,
¢
,
¤
,
¡
2. Các tập con thường dùng của
¡
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Tập số thực (-∞;+∞)

Đoạn [a ; b]
{x∈R, a ≤ x ≤ b}
Khoảng (a ; b )

a) (−1;2] ∩ [1;3) = [1;2]
b) [−3;
1
2
) ∩ (−1;+ ∞) =[−1;
1
2
)
c) (−
1
2
;2) ∪ (1;4) =(−
1
2
;4)
d) (−
1
2
;2]\(1;4) =(−
1
2
;1]
BÀI TẬP §4-C1
4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.
A={
x
∈
¡
|
x

x
≤
5
2
}
F={
x
∈
¡
|
x
−1<0}
4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp
E=(1;+∞) F=(−∞;6]
G=(−2;3] H=[−
3
2
;1]
4.3. Xác định A
∩
B, A
∪
B, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số
a) A = {
x

∈
¡
|
x

3 }
c) A = [1;3] B = (2;+
∞
)
-10-
//////////// [
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
]/////////////////////
///////////////////[
0
Ebooktoan.com
d) A = (-1;5) B = [ 0;6)
4.4. Cho A={
x
∈
¡
|
x
−2≥0 }, B={
x
∈
¡
|
x
−5>0}.
Tính A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A.
4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số

1
3
) ∩ (
1
4
;+∞) b) (−
11
2
;7) ∪ (−2;
27
2
)
c) (0;12)\[5;+∞) d)
¡
\[−1;1)
BÀI TẬP THÊM
1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}
a/ Tìm A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C b/ Tìm A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C
c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B
d/ Tìm A ∩ (B ∪ C) và (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ?
2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}.
Tìm (A ∩ B) ∪ C và (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Nhận xét ?
3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b}
a/ CMR : A ∩ (B \ C} = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
b/ CMR : A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
4. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3] b/ A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞)
c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +∞)
e/ A = [0, 4] ; B = (−∞, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 )
5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A ∪ X = B

Trong thực tế, nhiều khi ta khơng biết
a
nên ta khơng tính được
∆
a
. Tuy nhiên ta có thể đánh giá
∆
a
khơng vượt q một số dương d nào đó.
Nếu
∆
a
≤ d thì a
−
d≤
a
≤ a+d, khi đó ta viết
a
=a ± d
d gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Ví dụ: Giả sử
a
=
2
và một giá trò gần đúng của nó là a = 1,41.Ta có :
(1,41)
2
= 1,9881 < 2
⇒
1,41 <

Nếu
|| a
d
càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính tốn càng cao.
* Sai số tuyệt đối khơng nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh qua sai số tương
đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn.
3. Quy tròn số gần đúng
* Ngun tắc quy tròn các số như sau:
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi 0.
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.
Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ số sau nó là 6)
Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1 chữ số sau nó là
4)
Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ số sau nó là 4).
Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy tròn
Ở vd1 ta có
∆
a
=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)
Ở vd2 ta có
∆
a
=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)
* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được u cầu quy tròn a mà khơng nói rõ quy tròn đến hàng
nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
d Hàng quy tròn
Hàng trăm Hàng nghìn

50050
2
100
=<<= d
nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn chắc
chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm
2

±
0,06 cm
2
. Tìm các chữ số chắc của S.
Ta có
5,0
2
1
06,005,0
2
1,0
=<=<= d
nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng
đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn.
5. Dạng chuẩn của số gần đúng
- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là
chữ chắc chắn.
- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10
k
trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp
nhất có chữ số chắc (k

BÀI TẬP §5
5.1. Cho
3
=1,7320508…Viết số gần đúng
3
theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước
lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp.
HD: Ta có 1,73<
3
<1,74⇒|
3
-1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong trương hợp (làm
tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001.
5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10000. Hãy
viết quy tròn của số trên.
Kq: 79720000
5.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5
Kq: 1373
5.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13
Kq: 347
5.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745
Kq : 1745,3
5.6. Cho giá trị gần đúng của π là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10
-10
. Hãy viết số quy tròn của a.
Kq : 3,141592654
5.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm
3
±0,05 cm
3

) là giá trị của hàm số tại x.
2. Cách cho hàm số
+ Hàm số cho bằng bảng.
+ Hàm số cho bằng biểu đồ.
+ Hàm số cho bằng công thức: y=f(
x
)
Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f(
x
)
là tập hợp tất cả các số thực
x
sao cho biểu thức f(
x
) có nghĩa”.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
a) y=f(
x
)=
3x −
b) y=
3
2x +
c) y=
1 1x x+ + −
Ví dụ 2: Cho
2
2 1 0
0
x khi x

K ; x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
f nghịch biến ( giảm) trên K
⇔∀
x
1
;x
2
∈
K ; x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) > f(x
2
)
Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)

* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y
Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= -
x
* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :
+ Lên trên q đơn vị được A
1
(x ; y+q)
+ Xuống dưới q đơn vị được A
1
(x ; y−q)
+ Sang trái p đơn vị được A
1
(x−p ; y)
+ Sang phải p đơn vị được A
1
(x+p ; y)
-15-
Ebooktoan.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. Tìm tập xác định của hàm số
*Phương pháp
+ Để tìm tập xác định
D
của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:

| v(x)
≠
0 }
c) Miền xác định hàm số y =
)(xu
là
D
= { x
∈

¡
| u(x)
0≥
}
d) Miền xác định hàm số y =
)(
)(
xv
xu
là
D
= { x
∈

¡
| u(x) > 0 }
e) Miền xác định hàm số y =
)()( xvxu +
là


D
của hàm số y = f(x).
+ Viết
D
về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ).
+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:
. Giả sử
∀
x
1
,x
2
∈
K, x
1
< x
2
. Tính f(x
2
) - f(x
1
)
. Lập tỉ số T =
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−

∈
D
thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Nếu có một x
0
∈

D
sao f(-x
0
)
≠
f(x
0
) & f(-x
0
)
≠
-f(x
0
) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ.
VÍ DỤ:
IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
-16-
Ebooktoan.com

x
+ +
g) y=
2
1x +
h)
2
1
4 5
y
x x
=
+ +
1.2. Cho hàm số y=
1-x neáu x 0
x neáu x > 0
≤



.
Tính các giá trị của hàm số đó tại
x
=−3;
x
=0;
x
=1
1.3. Cho hàm số y=
2

vôùi x
x
x

− +

+ ≥

Tính các giá trị g(−3); g(0); g(1); g(2); g(9)
1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
a) y=f(
x
)= −2x
2
−7 trên khoảng (−4;0) và trên khoảng (3;10)
b) y=f(
x
)=
7
x
x −
trên khoảng (−∞;7) và trên khoảng (7;+∞)
1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y=f(
x
)=
2 3x +
b) y=f(
x
)=

5
+7
x
−3 d) y=
2
7
2 5
x
x x
+
+ −
e) y=
4 1 2 1x x+ − − +
f) y=
2
9
8 20
x
x x
+
+ −
g) y=
2 1
(2 1)( 3)
x
x x
−
+ −
h) y=
1 3

++ xx

e) y =
23
12
3
+−
+
xx
x
f) y =
1
12
2
++
+
xx
x
-17-
{
( )
1
( )
( )
2 2
coù TXÑ: D
1
coù TXÑ: D
Khi ñoù D=D D
1 2

b) y = -2x
2
+4x+1 ; (-
∞
;1) , (1;+
∞
)
c) y =
1
4
+x
; (-1;+
∞
)
d) y =
x−2
3
; (2;+
∞
)
1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y= −4 b) y= 3x
2
−1
c) y= −
x
4
+3
x
−2 d) y=

<≤−−
=
1x neáu
1x1- neáu
1
)2(2
)(
2
x
x
xf
a) Tìm tập xác định của hàm số f.
b) Tính f(-1), f(0,5), f(
2
2
), f(1), f(2).
BÀI TẬP THÊM 1
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a)
12
53
+
+
=
x
x
y
D=
¡
\{−

−
=
x
x
y
D=[1;+∞)\{2}
e)
1)2(
2
2
++
−
=
xx
x
y
D=(−1;+∞) f)
9
13
2
−
+
=
x
x
y
D=
¡
\{−3;3}
g)

1
2
;3]
Bài tập 2 : Cho hàm số





≥−
<≤−−
=
1x neáu
1x1- neáu
1
)2(2
)(
2
x
x
xf
a) Tìm tập xác định của hàm số f. D=[−1;∞)
b) Tính f(-1), f(0,5), f(
2
2
), f(1), f(2).
-18-
Ebooktoan.com
Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),
điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x

−2)
x
−∞ 1 +∞
y=-2x
2
+4x+1
3
−∞ −∞
c) y=
3
2
−x
trên mỗi khoảng (-∞;3) và (3;+∞) T=
1 2
2
( 3)( 3)x x
−
− −
x
−∞ 1 +∞
y=
3
2
−x
0 +∞
−∞ 0
d) y=
2
1
−x

=> f(x
1
)=
2005
1
x
+1<
2005
2
x
+1=f(x
2
)⇒ đồng biến
Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên

(A)
x
−∞ −2 1 +∞
y=-2x
2
+4x+1
+∞ 3
−1 −∞
(B)
x
−∞ 1 +∞
y=
1
x
0 +∞

D=[−1;1] lẻ
Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):
a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị
c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.
Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh
tiến (d):
a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x−3= f(x)−3
b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x−3= 2(x−
3
2
)
Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y=
x
2
−
a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?
b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?
c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị
hàm số nào?
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính tọa độ các điểm có được khi
tịnh tiến các điểm đã cho:
a) Lên trên 5 đơn vị
b) Xuống dưới 3 đơn vị
c) Sang phải 1 đơn vị
d) Sang trái 4 đơn vị.
BÀI TẬP THÊM 2
1. Tìm tập xác định của hàm số
a) y = |x+2| - | 3x

++
−
xx
x
D=
¡

f) y=
xx 3
1
2
−
D=
¡
\{0;3}
g) y =
xx
x
+
+−
1
1
1
D=(−1;1]\{0}
h)
|4|
12
−
−
=

;6]
-20-
Ebooktoan.com
l) y =
)1|(|
12
−
+
xx
x
D=
¡
\{−1;0;1}
m) y =
xx
x
x
++
−
+
1
2
1
2
D=[−1;2)
n) y =
3)2(
33
1
2

6 ( )
2 4
x x x− + = − +
>0 ∀ x
p) y =
|2||2|
||
2
xxx
x
++−
D=
¡

vì không có giá trị nào của x để |x−2|+|x
2
+2x|=0. Thật vậy:
nếu x−2=0⇒ x=2 thì x
2
+2x≠ 0
q) y =
3
2
1
53
−
+
x
x
D=

−
−
−
−
xx
xx
x
x
D=
¡
\{−1;1}
2
2
2
2 1 , 0
2 | | 1
2 1 , 0
x x khi x
x x
x x khi x

− + ≥
− + ⇔


+ + <

v) y =
||1 x−
D=[−1;1]

T=
2 1
6
(2 3)(2 3)x x
−
− −

b) y = 3x
2
-4x+1 trên (-
2
;
3
∞
) T=3x
2
+ 3x
1
−4
c) y =
1
13
−
+−
x
x
trên (1;+
∞
) T=
2 1

x x
−
− −

b) y = f(x) =
x
a 1+
T=
1 2
( 1)a
x x
− +
5. Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau
a) y =
||
12
2
x
x −
D=
¡
\{0}; chẵn
b) y = x(|x|-2) D=
¡
; lẻ
c) y = x
2
-2|x| D=
¡
; chẵn

h) y =
|1||1|
|1||1|
−−+
−++
xx
xx
D=
¡
\{0}; lẻ
i) y =
x+1
D=[−1;+∞) ⇒ ∀ x ∈ D ⇒ −x∉ D
j) y =
1
||
3
−x
xx
D=
¡
\{1}⇒ ∀ x ∈ D ⇒ −x∉ D (khi x=−1)
k) Định m để hàm số y = f(x) = x
2
+ mx +m
2
,x
∈
R ,là hàm chẵn.
f(-x) = x

+−
+
e/ y =
6xx
2
2
−−
−
f/ y =
2x −
g/ y =
2x
x26
−
−
h/ y =
1x
1
−
+
2x
3
+
i/ y =
3x +
+
x4
1
−
j/ y =

q) y =
12
2
++ x)x(
r) y =
12
1
2
−−
−
|x|
x
-
3
5x3 −
s) y =
x
+
x1−
2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + ∞ )
a) y =
12 −−+− mxmx

b) y =
1
432
−+
−
++−
mx

−
(3, +∞)
e/ y =
1x
x3
−
(−∞, 1)
f/ y =
1x −
6. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số :
a/ y = 4x
3
+ 3x b/ y = x
4
− 3x
2
− 1
c/ y = −
3x
1
2
+
d/ y =
2
x31+
e/ y = |1 − x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| − |x − 2|
g/ y = |x + 1| − |x − 1| h/ y =
x1−
+
x1+





≥
≤≤−
−≤
1
110
1
2
2
x;x
x;
x;x
§2 HÀM SỐ y= ax + b
1. Hàm số bậc nhất
Hàm số dạng y = ax + b , a;b
∈
và a≠ 0. Hệ số góc là a
Tập xác định: D =
Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên
a < 0 hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên:
-23-
y
x
O
D
C








≤<−
≤≤+−
<≤+
5x4 neáu
4x2 neáu
x0 neáu
62
4
2
1
21
x
x
x

Đồ thị (hình)
Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4|
Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :
y=



<+−





−<+
−≥−−
=
2x neáu
2x neáu
42
42
x
x
y
trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.
Vẽ đồ thị hàm
( ) 2 4g x x= − +

Bảng biến thiên.
-24-
Ebooktoan.com
BÀI TẬP §2-C2
2.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y= −2
x
+1 b) y=
3
c) y= −
2
7

x
y
x
− ≥


=

+


e) g) y= |
x
|−2
2.3. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết:
a) Đi qua M(−1;3) và N(1;2);
b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x−2 ;
c) Đi qua A(
2
3
;−2) và B(0;1);
d) Đi qua C(−1;−2) và D(99;−2);
e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).
2.4. Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:a) b)
2.5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y= |2x−3| b) y= |
4

2
1