a
b

A
D
C
B
o
Ebooktoan.com
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là
AB
uuur
( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là
, , , , a b x y
r r r ur

(Chú ý:
AB BA≠
uuur uuur
)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu
0
r

uuur
• Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu
a
r
bằng
b
r
thì ta viết
a
r
=
b
r
.
AA BB=
uuur uuur
=
0
r
, |
0
r
|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác
0
r
;
b) Các vectơ cùng phương;

AB
uuur
↑↓
CD
uuur
-1-
A
B

A
D
C
B
o
E
F
D
B
A
C
K
I
N
M
D
A
C
B
Ebooktoan.com
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Nếu
AM
uuuur
cùng phương
a
r
thì đường thẳng AM// ∆
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì
AM
uuuur
cùng phương
a
r
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, cuøng höôùng
a b
a b
a b

=
⇒ =


r r
r r
r uur

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=
1
2
BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒
EF CD=
uuur uuur
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
,AM NC DK NI= =
uuuur uuur uuur uur
Giải
Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành
⇒
AM NC=
uuuur uuur
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD⇒
DK
uuur
=
KM
uuuur
. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra
NI
uur
=
KM

r
;
b)
AM
uuuur
cùng phương
a
r
và có độ dài bằng |
a
r
|.
Giải
Giả sử ∆ là giá của
a
r
. Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆
(nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆). Khi đó có hai điểm M
1
và M
2
thuộc d sao cho:
AM
1
=AM
2
=|
a
r
|

a
và
→
b
. Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ
→→→
cba ,,
cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng
PQ
uuur
,
QR
uuur
,
RP
uuur
.

c) Tìm các vectơ ngược hướng với
AB
uuur
;
d)Tìm các vectơ bằng với
MO
uuuur
, bằng với
OB
uuur
.
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác
0
r
và cùng phương
OA
uuur
;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O

cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
|;
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng;
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
. Chứng minh
0AQ =
uuur r
.
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.

D
A
B
C
Ebooktoan.com
*
FO
uuur
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB
⇒
'CC AB=
uuuur uuur

+ tương tự
Bài 8: a)
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b)
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Bài 9:
Chứng minh chiều
⇒
: * ABCD là hình bình hành


*
AB
và
DC
cùng hướng
⇒
AB // CD (1)
*
CDAB =

⇒
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10:
AB DC=
uuur uuur
⇒
AB=DC, AB//CD
⇒
ABCD là hình bình hành
⇒

AD BC=
uuur uuur
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
2
AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
⇒ đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

và
AC
uuur
cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| khi C nằm giữa A và B
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| thì theo a); nếu |
AB
uuur
|<
AC
uuur

0
r
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0
r
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
→
MQ
=
→
NP
1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác định các vectơ bằng
→
NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH
và
→
FG
bằng
→
AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

KL
=
→
BN
a/ CMR :
→
KP
=
→
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
→
AL
=
0
r
-6-

A
C
B
→
a

→
b

→
c

.
Khi đó
→
a
+
→
b
=
→
AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .
•
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB
uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur
•
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC

uuur
nghĩa là

AB
uuur
= -
BA
uuur
+ vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:
→
a
-
b
→
=
→
a
+(-
b
→
)
•

c
r
)
+
a
r
+
0
r
=
0
r
+
a
r
=
a
r
+
a
r
+(−
a
r
)=−
a
r
+
a
r

r
| ≥ |
a
r
| ⇒ |
a
r
+
b
r
|=|
b
r
|−|
a
r
|
+
a
r
=
b
r
⇔
a
r
+
c
r
=

a
r
+
a
r
−(
b
r
+
c
r
)=
a
r
−
b
r
−
c
r
;
a
r
−(
b
r
−
c
r
)=

nên ta có
NC MC+
uuur uuuur
=
NC AN+
uuur uuur
=
AN NC+
uuur uuur
=
AC
uuur
-7-
A
B C
D
Ebooktoan.com
+Vì
CD BA=
uuur uuur
nên ta có
AM CD+
uuuur uuur
=
AM BA+
uuuur uuur
=
BA AM+
uuur uuuur
=

0; 0; 0OA OD OB OE OC OF+ = + = + =
uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r
⇒
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ
;OA OB OC OE+ +
uuur uuur uuur uuur
đều cùng phương
OD
uuur
b) Chứng minh
AB
uuur
và
EC
uuur
cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD
⇒
d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có
OA OB OM+ =
uuur uuur uuuur
, trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự
OC OE ON+ =
uuur uuur uuur
, N

;MN MP
uuuur uuur
.
Giải
a)
AM AN−
uuuur uuur
=
NM
uuuur
MN NC−
uuuur uuur
=
MN MP−
uuuur uuur
=
PN
uuur
(Vì
NC MP=
uuur uuur
)
MN PN−
uuuur uuur
=
MN NP+
uuuur uuur
=
MP
uuur

uuur uuur uuur uuur uuur
| | 3BA BC CA AB AD CA a− = ⇒ + = =
uuur uuur uuur uuur uuur
3
| |
2
a
OB DC DO DC CO OB DC CO− = − = ⇒ − = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
| |; | |;| |OA CB AB DC CD DA− + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
-8-
B
A C
D
Ebooktoan.com
Giải
Ta có AC=BD=
2a
;
OA CB CO CB BO− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó
2
| |
2
a
OA CB BO− = =

Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB+ = + + + = + + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB− = − ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh:
AB BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
VT =
AB BE CF AE ED BF FE CD DF+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD ED DF FE+ + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD+ +
uuur uuur uuur
(vì
0ED DF FE+ + =
uuur uuur uuur r
)=VP⇒ đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng:
AC DE DC CE CB AB+ − − + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải

uuur uuuur uuur
⇒
MA NB PC+ +
uuur uuur uuur
=
0MA NM NP PC NA NC+ + + = + =
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r
⇒
VT=
OM ON OP+ +
uuuur uuur uuur
=VP⇒ đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AC
+
→
BD
=
→
AD
+
→
BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
-9-
Ebooktoan.com
CMR :
→

=
→
AD
+
→
BE
+
→
GC
+
→
HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD
+
→
OC
=
→

CMR :
→
OD
+
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
10. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC
CMR :
→
'AA
+
→
'BB
+
→
'CC

v
r
=
→→
+ACAB
. b/ Tính 
v
r
.
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng
nhau và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AB
−
→
CD
=
→
AC
+
→
DB
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :

=
→
CD
−
→
EA
−
→
FB
c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE
=
→
CF
−
→
DA
+
→
EB
16. Cho ∆ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/
→

MA
=
0
r
d/
→
MA
−
→
MB
−
→
MC
=
0
r
e/
→
MC
+
→
MA
−
→
MB
+
→
BC
=
0

BI

19. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
→→
−ACAB

BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
-10-
Ebooktoan.com
a)
v AB DC BD CA
→
= + + +
uuur uuur uuur uuur
b)
DABCCDABm +++=

c)
DBABCDBCn +++=
. d)
p AB BC CD DE= + + +
ur uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO
uuur
=
a
r
;

AB
uuur
-
AC
uuur
 theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) 
AO
uuur
-
AD
uuur
= 
MO
uuuur

b) 
AC
uuur
-
AD
uuur
= 
NB
uuur

Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB

uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur
+
GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
+
GF
uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+

uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur
+
OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB

a) Chứng minh rằng
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HD
uuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng
HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HH '
uuuur
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 
CA
uuur
+
CB
uuur
 = 
CA
uuur

r
cùng hướng
a
r
khi k>0
+
c
r
ngược hướng
a
r
khi k<0
+ |
c
r
|=| k
a
r
|=|k|.|
a
r
|
Quy ước: 0
a
r
=
0
r
; k
0

r
+h
b
r
+ k(h
a
r
)= (kh)
a
r
+ 1.
a
r
=
a
r
; (−1)
a
r
=−
a
r
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có:
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
∀

r
cùng phương
a
r
≠
0
r
⇔ ∃ 0≠k ∈
¡
:
b
r
=k
a
r
)
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=
uuur uuur
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai

r
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k
a
r
và các tính chất
1) Cho
a AB=
r uuur
và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4OM a ON a= = −
uuuur r uuur r
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của
a
r
(nếu O ∈ giá của
a
r
thì d là giá của
a
r
)
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3|
a
r
|,
OM
uuuur
và
a

AG=2GI
Ebooktoan.com
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1
5
AB. Tìm k trong các
đẳng thức sau:
) ; ) ; )a AM k AB b MA kMB c MA k AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
A
B
M
a)
| | 1
| |
5
| |
AM AM
AM k AB k
AB
AB
= ⇒ = = =
uuuur
uuuur uuur
uuur
, vì
AM AB↑↑
uuuur uuur
⇒ k=

=(−1)(5
a
r
)=((−1)5)
a
r
= −(−5)
a
r
b) −(2
a
r
+3
b
r
)= (−1)( 2
a
r
+3
b
r
)= (−1) 2
a
r
+(−1)3
b
r
=(−2)
a
r

2 2 2
3 3 3
AG AD u v= = +
uuur uuur r r
0. ( 1)DE FA AF u v= = − = + −
uuur uuur uuur r r
DC FE AE AF u v= = − = −
uuur uuur uuur uuur r r
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai
vectơ
,u AB v AC= =
r uuur r uuur
.
Giải
Ta có
2
3
AM AB BM AB BC= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

mà
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
⇒

2 1 2
( )

M
A
B
C
D
Ebooktoan.com
Ta có
1
2
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
= + = +
= +
uur uuur uuuur uuur uuur
uur uuur uuur
Ta có
1
3
1 2 1
( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC
BK BA BC
= + = +
= + − = +
= +

uuuur uuur
. Theo giả thiết
BC AM=
uuur uuuur
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒
M không thuộc AC
⇒
MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD= +
uuuur uuur uuur
Giải
2
2
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
MN AM BM ND NC
MN
= + = + + + + +
= + + + +
=
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuur uuur
uuuur
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
2 3AB AC AD AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Giải

3 '
G A G B G C
GG
+ + +
=
uuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuur
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+
0AB A B= ⇔ ≡
uuur r
+ Cho điểm A và
a
r
. Có duy nhất M sao cho :
AM a=
uuuur r
+
;AB AC B C AD BD A B= ⇔ ≡ = ⇔ ≡
uuur uuur uuur uuur
-14-
K
I
A
B
C
D
Ebooktoan.com
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết
2AG GD=

2GA GB GI+ =
uuur uuur uur
, trong đó I là trung điểm AB
Tương tự
2GC GD GK+ =
uuur uuur uuur
, K là trung điểm CD

2 2
0
GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
+ + + = +
+ =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
uur uuur r
⇒ G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

AC
= 3
→
AM
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
= 3
→
MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+

+
→−
MB
+
→−
MC
+
→−
MD
 nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→
CH
+
→
DE
=
0
r
b/ CMR :
→
MA
+

Bài 5: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→
CF
= 3
→
GH
-15-
D
G
I
C
B
A
Ebooktoan.com
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→

EC
Bài 7: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho
→
AN
=
2
1
→
NC
.
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
→
AK
=
4
1
→
AB
+
6
1
→
AC
b/ CMR :
→
KD
=
4
1

8
1
→
AC
b/
→
MI
=
6
1
→
AB
+
8
3
→
AC
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích
AD
uuur
theo
AB
uuur
và
AF
uuur
b) Tinh
1 1
2 2

AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
→
AB
+ 3
→
AC
= 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
→
MB
= 3
→
MC
;
→
NA
+3
→
NC
=
0
r

MA MB=
uuur uuur
. b/
MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c/ |
CΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ 
uuuur uuuur uuuur uuuur
d/
C
3
ΜΑ + Β  = ΜΑ − ΜΒ
2
uuuur uuur uuuur uuuur
e/ |
C ΜΑ + Β  =ΜΑ −ΜΒ
uuuur uuur uuuur uuuur

-16-
Ebooktoan.com
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ
i
r
có độ dài bằng
1. Ký hiệu trục (O;
i
r
) hoặc x’Ox

u
r
đối với trục (O;
i
r
).
 Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất số a sao cho
AB
= a
i
r
. Ta gọi số a là độ dài
đại số của
AB
đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a=
AB
. Như vậy
AB
=
AB
i
r
*Nhận xét:
+ Nếu
AB i↑↑

O

Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
i
r
, vectơ đơn vị trên Oy là
j
r
. Ký hiệu Oxy hoặc (O;
i
r
;
j
r
).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x

'
x x
y y
=
⇔
=
 Một số tính chất: Cho
a
r
= (x ; y),
b
r
= (x’;y’). Khi đó:
1)
a
r
±
b
r
= (x ± x’; y ± y’)
2) k
a
r
=(kx ; ky) với ∀ k∈
¡
3) m
a
r
+ n
b

y ky
=
=
⇔
' ' 0
' '
x y
xy yx
x y
= ⇔ − =

Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM
uuuur
được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
cặp số (x ; y) là tọa độ của M
⇔

OM
uuuur
=(x ; y)
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hồnh độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)⇔
OM
uuuur
xi y j= +
r r
⇔

; y
M
– y
N
)
 Tọa độ trung điểm: Nếu P(
;
P P
x y
) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:

P
x
=
2
M N
x x+
;
P
y
=
2
M N
y y+
 Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(x
A
;y
A
), B(x
B

M
2

M
1

M(x;y)
1) |
→
u
| =
22
yx +
với
→
u
= (x;y)
2) |
→−
AB
| =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
với A(x
A
; y
A
) , B(x

;
k
kyy
y
BA
M
−
−
=
1
(nếu k= −1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
), C(x
C

; y
C
) thẳng hàng
⇔
/ /AC AB
uuur uuur
⇔
C A C A

r
=(0;−2) d)
a
r
=(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ
u
r
, biết:
a)
u
r
=3
i
r
−4
j
r
b)
u
r
=−2
i
r
+
1
3
j
r
c)

(3;4). Tính độ dài của
c
r
b)
c
r
=2
a
r
−5
b
r
; với
a
r
(−1;2),
b
r
(−2;−3)
Đáp án: a)
c
r
=(11;11), |
c
r
|=11
2
b)
c
r

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
(3;0)BM =
uuuur
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho
(1;1)NA =
uuur
.
Đáp án: a)
(2;2), ( 2; 2)AB BA= = − −
uuur uuur
b) M(4;3) c) N(−2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A;
,i j
r r
), trong đó
i
r
và
AD
uuur
cùng hướng,
j
r
và
AB
uuur
cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung
điển N của BC và trung điểm M của CD.
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)

3
. Do đó;A(0;0), B(
3
;3), C(4+
3
;0), D=(4;0)
( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)AB BC CD AC= = = − − = +
uuur uuur uuur uuur
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(−1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và
AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(−2;1), C(4;−1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(−1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án: D(−3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của
AB
uuur
.Tính AB.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a)
AB
uuur
=(12;5) b) I(7;11/2) c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
-19-
Ebooktoan.com

a)
→
a
= (1;2) và
→
b
= (3;6) b)
→
a
=(
2
= -1) và
→
b
= (-2;
2
).
c)
→
a
= (-1;4) và
→
b
= (3;7) d)
→
a
= (-1;-3) và
→
b
=(1;2).

17) Biểu diễn véctơ
→
c
theo hai véctơ
→
a
và
→
b

a)
→
c
= (−4;7) ;
→
a
= (2;−1) ;
→
b
= (-3;4)
b)
→
c
= (−1;3) ;
→
a
= (1;1) ;
→
b
= (2;−3)


= +

Đáp án: a)
c
r
=
a
r
+2
→
b
b)
c
r
=
3
5
a
r
−
4
5
→
b
c)
c
r
=
a

Đáp án: ta có
2CD AB= −
uuur uuur
⇒ AB và CD song song hoặc trùng nhau
Ta
2 6
(2;6), (1;2)
1 2
AC AB= = ⇒ ≠
uuur uuur
⇒
AC
uuur
không cùng phương
AB
uuur
⇒ C không thuộc AB ⇒ CD//AB
22) Cho tam giác ABC có A(1;−1), B(5;−3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(−2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC
là hình bình hành, O là gốc tọa độ.
Đáp án: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba điểm A(0;−4), B(−5;6), C(3;2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: a) Cần chứng minh
AB
uuur
không cùng phương
AC

26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là tâm của lục giác đều,
i OD↑↑
r uuur
,
j EC↑↑
r uuur
. Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6.
Đáp án: A(−6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD
uuur
– 2
BD
uuur
+ 3
CD
uuur
=
0
r
b)
AD
uuur
– 2
AB
uuur

r
+
c
r
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
r
thỏa
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
c) Tìm các số m ; n thỏa
c
r
= m
a
r
+ n
b
r

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

−
→
MC
=
0
r
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
→
NA
− 3
→
NB
=
→
NC
3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
− 2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC

i
r
+
j
r
;
c
r
= −
i
r
+
2
3
j
r
;
d
r
= 3
i
r
;
e
r
= −4
j
r
.
6/ Viết dưới dạng

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/
u
r
= 3
a
r
− 2
b
r
b/
v
r
= 2
a
r
+
b
r
c/
w
r
= 4
a
r
−
2
1
b
r

0
r
9/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC cân. Tính chu vi ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
10/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1).
a/ CMR : ∆ABC vuông. Tính diện tích ∆ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
11/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đường tròn đó.
12/ Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ∆ABM vuông
tại M.
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ CMR : ∆ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ∆ABC.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
ACABACAB −=+

=++
=++
=+
2
2
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
OGOH 3
=
. Từ đó kết luận gì về 3 điểm
G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a)
0''' =++ DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM
1/ Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2
→
IA
+
→
IB
+
→
IC
=
0
r
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2
→

→
DC
3/ Cho ∆ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
→
BC
= 3
→
BN
. Tính
→
AN
theo
→
AB
và
→
AC
4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :
→
AI
=
2
1
(
→
AD
+ 2
→
AB

→
MC
+
→
AB
,
→
ME
=
→
MA
+
→
BC
và
→
MF
=
→
MB
+
→
CA
-23-
Ebooktoan.com
. CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :
→
MA
+

→
MC
=
0
r
c/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
−
→
MB

d/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
 + 
→
MB

→
AG
,
→
DE
,
→
DG
theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
9/ Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
→
AD
=
5
2
→
AC
và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính
→
AM
theo
→
AB