BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi . . . . . . .. giờ, ngày . . . .. tháng . . . .. năm . . . . . . . . .

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm
cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu về
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh
1


hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của
những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản
hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của
phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại đa
tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard, Perron
đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng các kết quả đó cho phương
trình vi phân trong không gian Banach.... Năm 2009, N.T. Huy cùng một số
cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn,... xây
dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng
điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển.
Cụ thể các tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi
xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ số Lipschitz của phần phi
tuyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp
nhận được. Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang
đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố
trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, các nghiên cứu này mới xét cho trường
hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, một số dạng phương trình vi phân đạo
hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu hạn.
Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương
pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kết

4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm
về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,...
Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
3


làm bốn chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm liên tục
mạnh, một số tính chất của nửa nhóm, khái niệm về họ tiến hóa, không
gian hàm Banach chấp nhận được, không gian giảm nhớ, nhị phân mũ
của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân.
• Chương 2: Nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương
trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; tính tồn tại duy
nhất và ổn định điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa
nửa tuyến tính trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ.
• Chương 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương; sự tồn tại duy nhất, ổn định có điều
kiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung
quanh nghiệm tuần hoàn.
• Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ hữu hạn hoặc vô hạn với
phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc
không gian hàm chấp nhận được, sau đó với họ tiến hóa tuần hoàn có

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E.

t+1

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+

E

≤ N1 , Tτ−

E



t

Λσ ϕ(t) =

e

−σ(t−s)

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

ϕ(s)ds, và Λσ ϕ(t) =

0

t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn
và ta có đánh giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e



≤

N1
ϕ
1 − e−σ

M

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
ϕ
1 − e−σ

M.

(1.4)

Kí hiệu không gian Banach
M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f

1.2

M


(d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
(2) Họ tiến hoá U được gọi là ổn định mũ trên [0, ∞) nếu U có nhị phân mũ
với phép chiếu nhị phân P (t) = Id, t ≥ 0. Tức là, tồn tại các các hằng
số N, ν > 0 sao cho U (t, s) ≤ N e−ν(t−s) với t ≥ s ≥ 0.
Bổ đề 1.2.3. Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0 là bị chặn đều
và liên tục mạnh (H := supt≥0 P (t)).
Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
P (t), t ≥ 0. Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )

nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )| (I − P (τ ))

nếu 0 ≤ t < τ.

(1.8)

Khi đó, chúng ta có đánh giá
G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ ≥ 0.
7

(1.9)


Chương 2
SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU

Giả thiết 2.1.1. Giả sử A(t) là tuần hoàn với chu kì T , tức là A(t+T ) = A(t)
với hằng số T > 0 cố định và mọi t ∈ R+ . Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 là hàm tuần
hoàn với chu kì T tức là U (t + T, s + T ) = U (t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0.
Giả thiết 2.1.2. Giả sử không gian Y xem như là không gian con của không
gian Y

(qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử

U (T, 0), với toán tử U (T, 0) là đối ngẫu của U (T, 0).

8


Định lý 2.1.3. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , f ∈
Cb (R+ , X). Giả sử tồn tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u của (2.1) với
u(0) = u0 thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X) và u

Cb (R+ ,X)

M f

Cb (R+ ,X) ;

các Giả

thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn và f là tuần hoàn với chu kì T . Khi đó
phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn:
uˆ

Cb (R+ ,X)

Cb (R+ ,X)

≤ γ, γ là hằng số không âm;

(2) g là ánh xạ biến hàm tuần hoàn với chu kì T thành một hàm
tuần hoàn với chu kì T ;

(2.18)

(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho
g(v1 ) − g(v2 )

Cb (R+ ,X)

≤ L v1 − v2

Cb (R+ ,X)

với mọi v1 , v2 ∈ Cb (R+ , X) và v1

9

Cb (R+ ,X) ,

v2

Cb (R+ ,X)

≤ ρ.



G(t, τ )f (τ )dτ với ζ0 ∈ X0 := P (0)X,

v(t) = U (t, 0)ζ0 +

(2.22)

0

ở đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định trong (1.8).
(b) Nếu u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (2.19) sao cho
sup u(t) ≤ ρ
t≥0

với ρ > 0 cố định thì với t ≥ 0 hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )g(u)(τ )dτ với v0 ∈ X0 ,

u(t) = U (t, 0)v0 +
0

ở đó G và X0 được xác định như trong (a).
10

(2.23)


Định lý 2.3.2. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét các
phương trình (2.3) và (2.19). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa

với mọi v1 , v2 ∈ B2ρ (0). (2.26)

Định lý 2.4.1. Với các giả thiết của Định lý 2.3.2 và điều kiện (2.26); xét uˆ
là nghiệm tuần hoàn chu kì T của phương trình (2.19) đạt được trong phần
(b) của Định lý 2.3.2; Bρ (0) là hình cầu chứa uˆ. Khi đó, nếu L1 là đủ nhỏ thì
u(0)) ∩ P (0)X có một và chỉ một nghiệm
tương ứng với mỗi v0 ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ
u(t) của phương trình (2.19) trên R+ thỏa mãn điều kiện P (0)u(0) = v0 và
u ∈ Bρ (ˆ
u). Hơn nữa với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ
u(0) với t ≥ 0,
trong đó các hằng số dương C và µ là không phụ thuộc vào u và uˆ.
11

(2.27)


Chú ý 2.4.2. Khẳng định của định lý trên chỉ ra tính ổn định có điều
kiện nghiệm tuần hoàn uˆ, tức là, với bất kì nghiệm u sao cho P (0)u(0) ∈
u(0)) ∩ P (0)X và u thuộc hình cầu có bán kính nhỏ Bρ (ˆ
u) thì
B 2Nρ (P (0)ˆ
u(t) − uˆ(t) → 0 theo cấp mũ khi t → ∞.
Hệ quả 2.4.3. Giả sử uˆ là nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.19) đạt
được trong khẳng định (b) của Định lý 2.3.2. Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 là ổn
định mũ. Khi đó, nghiệm tuần hoàn uˆ của phương trình (2.19) ổn định mũ tức
là mọi nghiệm u ∈ Cb (R+ , X) của phương trình (2.19) sao cho u(0) − uˆ(0)
là đủ nhỏ thì
u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt u(0) − uˆ(0) với mọi t ≥ 0

du
= A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+
dt

(3.1)

trong trường hợp hàm đầu vào f thuộc không gian M := {f : R+ → X |
f (·) ∈ M} với chuẩn f

M

:=

f (·)

M.

Với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈

X nghiệm đủ tốt của (3.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích
phân
t

U (t, τ )f (τ )dτ

u(t) = U (t, 0)u0 +

với mọi t ≥ 0.

(3.2)


t→∞

thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì 1 của phương trình (3.1) là duy nhất.
Xét phương trình
du
= A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+
dt

(3.3)

trong đó toán tử A(t), t ≥ 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của Định
lý 3.1.1, và toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn:
(1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ) với L, ρ > 0 và 0 < ϕ ∈ P,
(2) g(t, x) là hàm tuần hoàn theo t chu kì 1 với mỗi x ∈ X cố định.

(3.4)

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.3) với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈ X là
hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau
t

U (t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với mọi t ≥ 0.

u(t) = U (t, 0)u0 +

(3.5)

0



(3.8)

0

với mỗi ζ0 ∈ X0 := P (0)X, G(t, τ ) là hàm Green xác định trong (1.8).
(b) Nếu u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (3.5) sao cho supt≥0 u(t)
ρ với ρ > 0 cố định thì hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với t ≥ 0, v0 ∈ X0 ,

u(t) = U (t, 0)v0 +

(3.9)

0

ở đó G và X0 được xác định như trong (a).
Định lý 3.2.2. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét các
phương trình (3.2) và (3.5). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2
thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị
phân P (t), t ≥ 0 và N, ν là các hằng số nhị phân; f ∈ M là tuần hoàn với chu
kì 1 và g thỏa mãn điều kiện (3.4) với với các hằng số ρ, L và hàm ϕ ∈ P.
Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(a) Phương trình (3.2) có duy nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kì 1 trong
Cb (R+ , X).
(b) Với ϕ

M

và u ∈ Bρ (ˆ
u). Hơn nữa với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
u(t) − uˆ(t)

Cµ e−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ
u(0) với t ≥ 0,

(3.12)

trong đó các hằng số dương Cµ và µ là không phụ thuộc vào u và uˆ.
Định lý 3.3.2. Với giả thiết của các Định lý 3.2.2 và Định lý 3.3.1. Cho uˆ
là nghiệm tuần hoàn với chu kì 1 của phương trình (3.5) đạt được trong Định
lí 3.2.2. Khi đó, nếu ϕ1

M

là đủ nhỏ, thì tồn tại một đa tạp địa phương S

xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ. Hơn nữa, với mọi nghiệm u(t) trên đa tạp
S là hút cấp mũ về nghiệm uˆ(t) tức là, tồn tại các hằng số dương µ và Cµ
độc lập với t0 ≥ 0 sao cho
u(t) − uˆ(t)

Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u(t0 ) − P (t0 )ˆ
u(t0 )) , ∀t ≥ t0 .

(3.18)

Kết luận Chương 3: Trong chương này chúng tôi đã đạt được kết quả:
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình

(i) g(t, φ)

Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và φ ∈ Bρ (0),

(ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 )

ϕ(t) φ1 − φ2 hầu khắp nơi với t ∈ R+ và với mọi

φ1 , φ2 ∈ Bρ (0).
Xét phương trình
du
= A(t)u(t) + F (t)(ut ) + g(t, ut ), t ≥ 0,
dt

(4.1)

trong đó toán tử A(t), t ≥ 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của
Định lý 3.1.1, toán tử tuyến tính F : [0, ∞) → L(C, X) và toán tử phi tuyến
17


g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn:
(1) ánh xạ t → F (t)(vt ) biến hàm tuần hoàn với chu kì 1 thành một
hàm tuần hoàn với chu kì 1 với mỗi v ∈ Cb ([−r, ∞), X);
(2) ánh xạ t → F (t) thuộc P;

(4.2)

(3) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)C với L, ρ > 0 và 0 < ϕ ∈ P;
(4) ánh xạ t → g(t, vt ) biến hàm tuần hoàn với chu kì 1 thành một

M

M

+

đủ nhỏ thì phương trình (4.1) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ tuần

hoàn với chu kì 1 trong hình cầu thuộc Cb ([−r, ∞), X).

4.2

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định
địa phương

Xác định họ các toán tử P (t), t ≥ 0 trên C như sau.
P (t) : C → C, (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].
18

(4.6)


Toán tử P (t), t ≥ 0 là phép chiếu nhị phân trên C và ImP (t) = {φ ∈ C :
φ(θ) = U (t − θ, t)η với θ ∈ [−r, 0] và η ∈ ImP (t)}
Bổ đề 4.2.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0; F và g thỏa
mãn điều kiện (4.2). Nếu u ∈ Cb ([−r, ∞), X) là nghiệm của phương trình
(4.3) sao cho supt≥−r u(t) ≤ ρ với ρ > 0 cố định thì hàm u(t) có thể biểu
diễn dưới dạng


Ba (ˆ
v ) := {v ∈ Cb ([−r, +∞), X) : v − vˆ

Cb

≤ a} .

Xét Bρ (0)(Bρ (0)) là hình cầu chứa nghiệm tuần hoàn uˆ(ˆ
ut , t ≥ 0) đạt được
trong Định lý 4.2.2.
Giả sử tồn tại một hàm dương ϕ˜ ∈ P sao cho:
g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t)
˜
φ1 − φ2 C , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), ∀t ≥ 0.

(4.8)

Định lý 4.2.3. Với các giả thiết của Định lý 4.2.2, xét uˆ là nghiệm tuần
hoàn với chu kì 1 của phương trình (4.3) đạt được trong Định lý 4.2.2; g thỏa
19


mãn các điều kiện trong (4.8). Nếu F (·)
ζ ∈ C sao cho ζ − uˆ0

C

M

+ ϕ˜

là đủ nhỏ thì tồn tại một đa tạp ổn định

địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ.

4.3

Trường hợp phương trình có trễ vô hạn:
Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn

φ(s)
= 0, trong đó ν > 0} là
e−νs
Cν ˆ
không gian giảm nhớ với chuẩn φ ν = sups≤0 eφ(s)
−νs . Ba (φ) là hình cầu tâm
ˆ bán kính a trong Cν như sau: BCν (φ)
ˆ := {φ ∈ Cν : φ − φˆ ν ≤ a}
φ,
a
Kí hiệu: Cν = {φ : φ ∈ CR− và lims→−∞

Định nghĩa 4.3.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương). Cho E là không gian hàm
Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm g : [0, ∞) × BCρν (0) →
X được gọi là thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với các hằng số dương L, ρ nếu g thỏa mãn
(i) g(t, φ)

Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và φ ∈ BCρν (0),

(ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 )




u = φ ∈ C .
0
ν
Định lý 4.3.2. Giả sử tồn tại một hằng số M sao cho với mỗi f ∈ M phương
trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), u

Cb

≤M f

M,

và họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:
lim U (t, 0)x = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+ .

t→∞

Với hàm g thỏa mãn điều kiện (4.21). Khi đó, với γ := ϕ

M

đủ nhỏ thì

phương trình (4.20) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì
1 trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X).
Xác định họ các toán tử P (t), t ≥ 0 trên Cν như sau.
P (t) : Cν → Cν , (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0), ∀θ ∈ (−∞, 0].


0
ν
với t ≥ 0, η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G và X0 được xác định như trong Bổ đề
3.2.1(a).
Định lý 4.3.4. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương
trình (4.22). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến
hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và
N, ν là các hằng số nhị phân; g thỏa mãn điều kiện (4.21) với các hằng số ρ,
L và hàm ϕ ∈ P. Nếu ϕ

M

đủ nhỏ thì phương trình (4.22) có duy nhất một

nghiệm tuần hoàn với chu kì 1 trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X).

4.4

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định
địa phương đối với phương trình có trễ vô
hạn

Với vˆ ∈ Cb (R, X) kí hiệu:
BaCν (ˆ
v) : =

v ∈ C(R, X) : vt , vˆt ∈ Cν và
max

v0 − vˆ0 ν , sup v(t) − vˆ(t)


một và chỉ một nghiệm u(·) của phương trình (4.22) trên R thỏa mãn điều
kiện u0 = ζ và u ∈ BρCν (ˆ
u). Hơn nữa, với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
ut − uˆt

ν

≤ Cµ ρe−µt với mọi t ≥ 0,

(4.29)

trong đó các hằng số dương Cµ và µ là không phụ thuộc vào u và uˆ.
Định lý 4.4.2. Với giả thiết của các Định lý 4.3.4 và Định lý 4.4.1, xét uˆ là
nghiệm tuần hoàn với chu kì 1 của phương trình (4.22) đạt được trong Định
lí 4.3.4. Khi đó, nếu ϕ˜

M

là đủ nhỏ, thì tồn tại một đa tạp địa phương S

xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ đối với phương trình (4.22).
Kết luận Chương 4: Trong chương này, chúng tôi đã giải quyết được
một số bài toán mở về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến
hóa không ô-tô-nôm có trễ. Cụ thể như sau:
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình
vi phân hàm có trễ hữu hạn với phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa
phương.
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình
vi phân hàm có trễ vô hạn với phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa phương