MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục
tiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi
mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành
những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu
thế phát triển của toàn cầu hóa. Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện
thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.
Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học
sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo
đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy
học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể và
chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó
khăn, vướng mắc cho những người học toán. Trong sách giáo khoa,
sách bài tập, và các tài liệu tham khảo, loại bài tập về chủ đề khoảng
cách này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải,
chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính
khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên , thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận
các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn
một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn

1


Trước các lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán
tính khoảng cách trong không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh
một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN (sai cách đánh mục: 1.1. Cơ sở lí luận/ 1.2. Cở
thực tiễn/…)
1.1. Tư duy là gì?
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật
chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan trong các khả năng, phán đoán, lý luận …
Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và
bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối
liên hệ hợp quy luật của thực tại”.
1.2. Tư duy sáng tạo
3


Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thề hiện ở
chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất.
Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo là
người có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặt
ra”.
Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình:
Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi
trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau.
Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:
Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.A Krutexcki
Tư duy sáng tạo tạo tạo


phương pháp , những cách suy nghĩ đã có từ trước . Đó là nhận ra vấn
đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thây chức năng mới của đối
tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của
tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có
thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính
mềm dẻo của tư duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các
yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý
tưởng mới. Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng
tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì
càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp
này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng.
1.3.3 Tính độc đáo
5


Tính độc đáo của tư duy được đắc trưng bởi các khả năng.
-

Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sựu kiện mà bên

-

ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau .
Khả năng tìm ra những giải pháp lạ lụy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có

đó giúp HS rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, bởi mỗi dạng bài tập
đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tư duy
sáng tạo.
Để thực hiện tốt các biện pháp trên, mỗi giáo viên cần thường
xuyên trau dồi kiến thức toán học phổ thông, trên cơ sở kiến thức toán
học hiện đại có liên quan và đầu tư phương pháp dạy học tốt.
1.4. Một số hạn chế, khó khăn mà học sinh và giáo viên thường
gặp khi giải một bài toán khoảng cách trong không gian.
1.4.1. Thực trạng chung
Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung
phong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tính trừu tượng, trí tưởng
tượng không gian, đòi hỏi tính sáng tạo cao. Phương pháp dạy học
chưa phù hợp với từng nội dung và năng lực học sinh. Giáo viên còn
hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện, chất lượng
công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn… Từ các nguyên nhân trên
dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết
quả học tập của học sinh còn hạn chế.
1.4.2. Thực trạng đối với giáo viên
Qua thời gian ngồi trên ghế nhà trường năm cấp 3, cùng trao đổi
với bạn bè và thầy cô về dạy học bộ môn hình học không gian với
những nội dung cơ bản để vận dụng giải toán, cho thấy trong quá trình
dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý
thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà
chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau. Do khả năng giáo
viên còn có phần hạn chế về bộ môn dẫn tới chưa thu hút được học
sinh say mê học tập, chất lượng dạy và học bộ môn còn có những hạn
chế nhất định: Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi
mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung
7


niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả
của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian, chưa biết vận
dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian
8


+ Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và
kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng
cách .
+ Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định
đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ
môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp
cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn
luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm
giảm nhận thức của học sinh...
1.5. Phương pháp chung để giải một bài toán tính khoảng cách
trong không gian
Ta đã biết dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó giải toán
là hoạt động chủ yếu. Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hình
thành kỹ năng kỹ xảo, phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.
Nghiên cứu hoạt động của sự phát triển trí tuệ con người, người ta
đã rút ra nhận xét: Có hai phạm trù khác nhau của ý nghĩ:
Phạm trù thứ nhất bao gồm những cái do chúng ta sản sinh ra một
cách tích cực bằng hành vi, tư duy, bằng sự suy ngẫm.
Phạm trù thứ hai gồm những cái tự phát lóe lên trong ý thức của
chúng ta”.
Vì vậy việc giải toán nói chung, dạy bài tập tìm khoảng cách nói
riêng đều phải cung cấp hệ thống tri thức, những kỹ năng giải bài tập
từ đó kích thích hoạt động tích cực của học sinh. Đồng thời thông qua
hoạt động hướng dẫn làm lóe lên những ý tưởng mới khi giải toán, đó


Hình 1
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Để hiểu được nội dung đề bài ta sẽ phát biểu bài toán một cách cụ
thể: “Cho tam giác đều ABC, gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác đó.
Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K.
Chứng minh rằng MH + MI + MK không đổi khi M di chuyển trong tam
giác ABC”.
Bước 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI
+ MK. Muốn vậy, ta có thể đặc biệt hóa bằng cách lấy M trùng điểm A,
I tới vị trí I’. Khi đó:
MH + MI + MK = 0 + AI’ + 0 = AI’
Như vậy hằng số cần tìm là độ dài đường cao h của tam giác đều
ABC. Ta đưa về bài toán chứng minh : MH + MI + MK = h.
Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới sắp đặt 3 đoạn
thẳng này liên tiếp trên 1 đường thẳng nào đó để tạo thành 1 đoạn
thẳng có độ dài h, nhưng điều này khó thực hiện khi M di chuyển trong
tam giác ABC. Hướng khác có thể biểu thị h qua những đại lượng không
10


đổi khác như S(diện tích), cạnh của tam giác đều,…Ta nghĩ đến biểu
thức:

S ∆MAB + S ∆MBC + S ∆MCA = S ∆ABC

Hay

⇔

⇔

1
1
1
1
a.MH + a.MI + a.MK = a.h
2
2
2
2
1
1
a.( MH + MI + MK ) = a.h
2
2

Do đó MH + MI + MK = h
Đẳng thức này chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi khi M di
chuyển trong tam giác ABC.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
11


Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải những bài toán khái
quát hoặc mở rộng sau đây:
1. Mở rộng bài toán ra trường hợp đa giác đều: “ Chứng minh rằng
tổng các khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong 1 đa giác đều tới các cạnh
của đa giác đó là hằng số”.
2. Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh rằng


là d(a, (α)).

α

O

A

A'

a đến mp(α), kí hiệu

H

Hình 2
Nhận xét:
- Việc tính toán khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng (α)
được quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.6.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Định nghĩa: Cho điểm O và đường
thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình
chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng
cách giữa hai điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a,
kí hiệu là d(O,a).
Hì
nh 3

Nhận xét:


Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt
phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia,

A'
β

kí hiệu là d((α),(β)).

Hình 5
Nhận xét:
- M ∈ (α), N ∈ (β), MN ≥ d((α); (β))
Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về
việc tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
1.6.5 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
14


Định nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường thẳng ∆ cắt 2 đường
thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vuông góc
chung ∆ cắt 2 đường thẳng chéo

∆

nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ

a

- M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d(a;b)
- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm
như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d(a;b) = HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d(a;b)
= d(b,(P))
15


+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt chứa a và b.
Khi đó d(a;b) = d((P),(Q))
+ Sử dụng phương pháp tọa độ.
NHẬN XÉT TỔNG QUÁT:
Để tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (α)
và tính OH
* Phương pháp chung
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)
- Tìm giao tuyến của (P) và (α)
- Kẻ . Khi đó d(O, (α))=OH. Đặc biệt :
+ Trong hình chóp đều , thì chân
đường cao trùng với đáy

a

M

α


song song với mặt phẳng () và M, N
d ( M ,( α ) )

thuộc đường thẳng

∆

(không trùng với I)

d ( N,( α ) )

=

MI
NI

thì

Đặc biệt:
•
•

Nếu M là trung điểm của NI thì
Nếu I là trung điểm của MN thì

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau : Giả sử OABC là tứ
diện vuông tại

và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó


, ta có :

a.b = a . b . cos(a, b)
•
•

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
a = a12 + a22 + a32

•
•

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Tích có hướng của hai vectơ

•

•
•

•

[

a, b = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )

]


18


Hình 9

 Một số lưu ý khi chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có :

Ox, Oy, Oz

vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình

chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt
thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
 Với

hình

lập

phương

hoặc

hình

hộp


hình

hộp

đáy

là

hình

thoi

ABCD. A' B' C ' D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai
đường chéo của hình thoi ABCD
Oz

- Trục

đi qua 2 tâm của 2 đáy
Hình 11

•

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và


Hình 12

Với hình chóp tam giác đều S.ABC
20


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao

bằng

h

.

Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
I(0;0;0)

Khi đó :

 a
 a

A  − ;0;0 ÷; B  ; 0; 0 ÷
 2
 2

 a 3   a 3 

Hình 14
•

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và

SA

⊥

(ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh

a

, chiều cao bằng

h
21


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

Hình 15

•

Với hình chóp S.ABC có SA

⊥


(ABC) và

∆

ABC vuông tại

B
Tam giác ABC vuông tại B có

BA = a; BC = b

đường cao bằng

h

.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)
Khi đó :

A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b; 0 )

22


Hình 17
•

Với hình chóp S.ABC có (SAB)
và


A ( a;0; 0 ) ; B ( 0; b;0 )

;

a b
S ( ; ; h)
2 2

Hình 18
•

Với hình chóp S.ABC có (SAB)
và

∆

∆

⊥

(ABC),

∆

SAB cân tại S

ABC vuông tại A

ABC vuông tại A


ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA = CB = a

đường cao bằng

h

. H là

trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

Khi đó :

 a

 a

C
;0;0 ÷; A  0;
;0 ÷
2 
 2




hiện được tính nhuần nhuyễn của tư duy, tính độc lập trong suy nghĩ
của HS.
2.1.1. Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O
cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi I là
trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
Giải
a) Ta có SA

⊥

(ABCD) mà IO//SA

do đó
IO

⊥

(ABCD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) dựng
H là hình chiếu vuông góc của O trên
CM, ta có
25