1

Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
1.1

1.2

6

Không gian Banach. Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . .

6

1.1.1

Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . .

6

1.1.2

Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . .


Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.2

Phương pháp lai đường dốc nhất . . . . . . . .

25

Phương pháp đường dốc nhất - kiểu Mann . . . . . . .

25

2.2.1

25

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .


2

2.2.2

Sự hội tụ

Kết luận
Tài liệu tham khảo

tập điểm bất động của toán tử T

H

không gian Hilbert

C

tập con lồi đóng của H

I

ánh xạ đơn vị

PC

phép chiếu mêtric H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x


4

(0.1) với toán tử J-đơn điệu trong bài báo của L.-C. Ceng và các cộng
sự [6] công bố năm 2008.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach" nhằm
trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach, ánh
xạ không giãn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; Bài toán bất đẳng thức


5

biến phân và phương pháp chiếu gradient giải bất đẳng thức biến
phân. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài
liệu [1]-[9].
Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến
phân J-đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp lặp Mann, phương
pháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải
bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu. Nội dung của chương này được
viết trên cơ sở bài báo [6].
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc nhất tới cô.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy
Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều
kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác
giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X.


7

Tập X cùng với mêtric d xác định như trên được gọi là không gian
mêtric và được kí hiệu (X,d ).
Định nghĩa 1.2. Không gian mêtric (X,d ) được gọi là không gian
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.3. Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực,
ánh xạ ||.|| : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) ||x|| ≥ 0 ∀x ∈ X;

||x|| = 0 ⇔ x = 0;

(ii) ||kx|| = |k|.||x|| ∀x ∈ X, ∀k ∈ R;
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ X.
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn ||.|| xác định như trên
được gọi là không gian định chuẩn và được ký hiệu (X, ||.||).
Nhận xét 1.1. Cho không gian định chuẩn (X, ||.||). Với mọi x, y ∈ X,
đặt d(x, y) = ||x − y|| thì d là một mêtric trên X.
Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric với
mêtric sinh bởi chuẩn xác định như trên.
Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không
gian Banach.
Ví dụ 1.1. Không gian Rn với chuẩn xác định bởi:
n
1



(iii) x + y, z = x, z + y, z

∀x, y, z ∈ H.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . nói trên được
gọi là không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.2. Không gian tiền Hilbert H là không gian định chuẩn
với chuẩn ||x|| = x, x

1
2

với mọi x ∈ H.

Định nghĩa 1.6. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.2. Không gian Rn với tích vô hướng:
n

x, y =

x i yi ,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn

i=1

và không gian L2[a,b] với tích vô hướng:
b

Định nghĩa 1.8. Không gian Banach X được gọi là
(i) không gian trơn (hay có chuẩn khả vi Gâteaux ) nếu tồn tại giới
hạn
||x + ty|| − ||x||
t→0
t

lim

với mỗi x, y ∈ SX ;

(ii) không gian trơn đều (hay có chuẩn khả vi Gâteaux đều) nếu giới
hạn trên đạt được đều với x ∈ SX .
Ở đây, ký hiệu SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} là mặt cầu đơn vị của X.
Định nghĩa 1.9. Không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều
kiện Opial nếu với dãy {xn } bất kỳ trong X, xn
lim sup xn − x < lim sup xn − y ,
n→∞

n→∞

x (n → ∞) ta có

∀y ∈ X, với x = y.


10

1.1.2


11

(ii) δ-J-đơn điệu mạnh nếu mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại một số δ > 0 và
tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ δ x − y 2 ;
(iii) η-J-ngược đơn điệu mạnh nếu mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại một số
η > 0 và tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ η A(x) − A(y) 2 ;
(iv) giả co nếu
Ax − Ay

2

≤ x−y

2

+ (I − A)x − (I − A)y 2 ,

∀x, y ∈ D(A),

trong đó I là toán tử đồng nhất;
(v) λ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y)
sao cho
A(x)−A(y), j(x−y) ≤ x−y 2 −λ x−y−(A(x)−A(y))

2

(1.1)



≤ (I − F )x − (I − F )y, J(x − y)
≤ (I − F )x − (I − F )y

x−y ,

từ đó suy ra
(I − F )x − (I − F )y ≤

1
x−y .
λ

Nên
F x − F y ≤ (I − F )x − (I − F )y + x − y + x − y
≤

1+

1
λ

x−y ,

và do đó F liên tục Lipschitz với hằng số (1 + λ1 ).
(ii) Từ (1.1) và (1.2), ta có
λ (I − F )x − (I − F )y

2


và vì vậy I − F là ánh xạ co với hằng số
(iii) Vì I −F là ánh xạ co với hằng số

x−y ,

1−δ
λ ,

nên với mỗi số τ ∈ (0, 1)

cố định ta có
x − y − τ (F (x) − F (y)) = (1 − τ )(x − y)
+ τ [(I − F )x − (I − F )y]
≤ (1 − τ ) x − y
+ τ (I − F ) − (I − F )y
≤ (1 − τ ) x − y + τ
=

1−τ 1−

1−δ
λ

1−δ
λ

x−y

x−y .
1−δ

n→∞

n→∞


14

Bổ đề 1.3. (Nguyên lý nửa đóng) Cho K là tập con lồi đóng khác
rỗng của không gian Banach phản xạ X thỏa mãn điều kiện Opial và
giả sử T : K → X là ánh xạ không giãn. Khi đó ánh xạ I − T là nửa
đóng tại 0, tức là
xn

x, xn − T xn → 0 ⇒ x = T x.

Cho X là một không gian Banach trơn đều và T : X → X là ánh
xạ không giãn. Giả sử F : X → X là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và
λ-giả co chặt với δ + λ > 1. Với mỗi t ∈ (0, 1) ta chọn số µt ∈ (0, 1)
tùy ý và xét ánh xạ Γt : X → X xác định bởi
Γt = tx + (1 − t)T x − tµt F x,

∀x ∈ X.

(1.3)

Khi đó Γt : X → X là ánh xạ co. Thật vậy, với mọi x, y ∈ X, sử dụng
Mệnh đề 1.2(iii) ta có
Γt x − Γt y = (tx + (1 − t)T x − tµt F x)
− (ty + (1 − t)T y − tµt F y)
= (t(I − µt F )x + (1 − t)T x)

Với mỗi t ∈ (0, 1) chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý và giả thiết {xt } được xác
định bởi (1.4). Giả sử u ∈ X là một điểm bất động của T , nghĩa là,
u ∈ C = Fix(T ) thì
(i) F (xt ), J(xt − u) ≤ 0;
(ii) {xt } bị chặn.
Chứng minh. (i) Vì u là điểm bất động của T nên ta có
xt − (txt + (1 − t)u − tµt F (xt )), J(xt − u)
= (txt + (1 − t)T xt − tµt F (xt ))
− (txt + (1 − t)u − tµt F (xt )), J(xt − u)
= (1 − t) T xt − u, J(xt − u)
≤ (1 − t) xt − u 2 .
Rõ ràng
xt − (txt + (1 − t)u − tµt F (xt )), J(xt − u)
= (1 − t)(xt − u) + tµt F (xt ), J(xt − u)
≥ (1 − t) xt − u

2

+ tµt F (xt ), J(xt − u) .


16

Do đó
tµt F (xt ), J(xt − u) ≤ xt − (txt + (1 − t)u − tµt F (xt )), J(xt − u)
− (1 − t) xt − u

2

≤ 0,

1.1.3

Giới hạn Banach
∼

Cho µ xác định trên tập số nguyên dương N, tức là, một hàm tuyến
∼

∼

∼

∼

tính liên tục µ trên l∞ thỏa mãn µ = 1 = µ (1). Hàm µ xác định
trên N khi và chỉ khi
∼

inf{an : n ∈ N} ≤ µ (a) ≤ sup{an : n ∈ N}


17

∼

∼

∼

với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Ta sẽ viết µn (a) thay cho µ(a). µ trên


trong X, µ là một giới hạn Banach trên N, và z ∈ C. Khi đó,
∼

µn xn − z

2

∼

= min µn xn − y

2

y∈C

khi và chỉ khi
∼

µn x − z, J(xn − z) ≤ 0,
1.2
1.2.1

x ∈ C.

Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và
chuẩn . , C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và F : H → H

H và {τn } ⊂ (0, ∞). Phương pháp chiếu có ưu điểm là dễ lập trình
và tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên, khi áp dụng tính toán trong các
trường hợp cụ thể thì cần phải xác định được công thức biểu diễn
tường minh của PC , mà trên thực tế thì dạng hiện của PC là khó xác
định. Thay vì sử dụng trực tiếp PC ta dùng ánh xạ không giãn T nào
đó. Lúc này dạng hiện của ánh xạ không giãn T mà tập điểm bất động
của nó có thể xác định được dựa trên lý thuyết cơ bản về điểm bất
động.
Dựa trên ý tưởng này, Yamada (xem [9]) đã đề xuất phương pháp
lai đường dốc nhất (hybrid steepest-descent) vào năm 2001 giải bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không


19

giãn. Dãy lặp được xác định như sau:


x0 ∈ H,

x
n+1 = T xn − τn+1 µF (T xn ),

(1.7)
n = 0, 1, 2, . . .

ở đây, F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz, η-đơn điệu mạnh;
T : H → H là ánh xạ không giãn với Fix(T ) = ∅; µ ∈ (0, 2η/L2 );
τn ∈ (0, 1] thỏa mãn các điều kiện
(L1 )

Cho X là không gian Banach thực và J : X → 2X là ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc của X. Trong mục này, không làm mất tính tổng quát,
ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị là J. Ta xét bài toán
bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) trong không gian Banach (đã được


20

trình bày trong phần Mở đầu) như sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho :

F (u∗ ), J(u∗ − v) ≤ 0,

∀v ∈ C.

(1.8)

Bài toán (1.8) với toán tử J-ngược-đơn điệu mạnh F trên một tập
con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Banach trơn X đã được
Aoyama và các đồng nghiệp nghiên cứu trong [3]-[4]. Nếu C là tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn T : X → X thì ta có bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Sau đây là một kết quả giải bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) trên
tập điểm bất động của một ánh xạ giả co liên tục.
Mệnh đề 1.3. Cho X là một không gian Banach phản xạ thực và lồi
chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử T : X → X là ánh xạ giả
co liên tục và C = Fix(T ) = ∅. Giả thiết rằng F : X → X là ánh xạ
δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1. Với mỗi t ∈ (0, 1),
chọn một số µt ∈ (0, 1) tùy ý và dãy {xt } được định nghĩa bởi (1.4).
Khi đó, nếu t → 0+ thì dãy xt hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗


và do đó
T xt ≤ xt +
Vì limt→0+

t
1−t

tµt
t
F (xt ) ≤ xt +
F (xt ) .
1−t
1−t

= 0, nên tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho {t/(1−t) : t ∈ (0, t0 )}

bị chặn. Vì vậy, {T xt : t ∈ (0, t0 )} cũng bị chặn. Suy ra
xt − T xt =

tµt
t
F (xt ) ≤
F (xt ) → 0 khi t → 0+ .
1−t
1−t

Từ Bổ đề 1.2 ta suy ra A = (2I − T )−1 : X → X là ánh xạ không
giãn, Fix(A) = Fix(T ), và limt→0+ xt − Axt = 0, trong đó I là toán
tử đồng nhất của X.

∼

≤ µn ( xn − Axn + Axn − Ax )2

= g(x).

Do đó, Ax ∈ K. Suy ra K là bất biến đối toán tử A. Vì Fix(A) =
Fix(T ) nên ta có thể chọn u ∈ Fix(A) = Fix(T ) tùy ý. Vì mỗi tập con
lồi đóng khác rỗng của một không gian Banach lồi chặt và phản xạ X
là một tập Chebyshev, nên tồn tại duy nhất uˆ ∈ K sao cho
u − uˆ = inf u − x .
x∈K

Vì u = T u = Au và Aˆ
u ∈ K nên ta có
u − Aˆ
u = Au − Aˆ
u ≤ u − uˆ .
Vì vậy uˆ = Aˆ
u. Sử dụng Bổ đề 1.5 ta có
∼

µn x − uˆ, j(xn − uˆ) ≤ 0 ∀x ∈ X.
Lấy x = uˆ − F (ˆ
u) trong bất đẳng thức cuối, từ Bổ đề 1.4(i) suy ra
∼

µn xn − uˆ

2

nhất

2.1.1

Phương pháp lặp Mann

Cho T là một toán tử liên tục từ tập con lồi đóng C của H vào
chính nó. Khi đó dãy {xn } trong C được xác định bởi:


x0 ∈ C,

x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn ,

n ≥ 0,

(2.1)


25

trong đó, {αn } là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện
(C1 ) α0 = 1;
(C2 ) 0 < αn < 1, n ≥ 1;
∞

αn = ∞

(C3 )

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực với ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy. Trong mục này, không
làm mất tính tổng quát, ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị


26

là J. Giả sử T : X → X là ánh xạ không giãn và C = Fix(T ) = ∅.
Cho F : X → X là ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với
δ + λ > 1. Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) đã được
đề cập trong (1.8).
Thuật toán đường dốc nhất - kiểu Mann tìm nghiệm xấp xỉ của
(1.8) được mô tả trong thuật toán sau:
Thuật toán 2.1. Giả sử λn , µn ∈ (0, 1) với mọi n ≥ 0. Với xấp xỉ
ban đầu x0 ∈ X tùy ý, dãy xn được xác định bởi:


yn = λn xn + (1 − λn )T xn ,

x
n+1 = yn − λn µn F (xn ),

(2.3)

∀n ≥ 0.

Phương pháp đường dốc nhất - kiểu Mann dựa trên cơ sở của
phương pháp lặp Mann và phương pháp lai đường dốc nhất. Thật
vậy, trong Thuật toán 2.1, bước lặp yn = λn xn + (1 − λn )T xn được lấy
từ phương pháp lặp Mann và bước lặp xn+1 = yn − λn µn F (xn ) được