Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp7 giải toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau.
1.Lí do chọn đề tài:
Chúng ta vẫn thường nói "Toán học là cánh cửa và là chìa khoá để đi
vào các ngành khoa học khác” , có lẽ vậy mà toán học ngày nay giữ một vai
trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút
sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường ph ổ thông và
kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Trong đổi mới phương pháp dạy học thì tự học là m ột yêu cầu quan
trọng đối với học sinh, giúp cho học sinh say mê h ọc tập,hi ểu sâu ki ến th ức
và quan trọng là phát triển tư duy sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để
học sinh có hứng thú trong việc học,tự tìm th ấy niềm vui say mê h ọc toán.
Thì giáo viên cần cung cấp cho học sinh một hệ th ống kiến th ức t ừ d ễ đ ến
khó,cho học sinh thấy bài toán khó đều bắt đầu từ bài toán c ơ bản. H ọc có
thể thấy mình tự sáng tạo ra bài toán tương tự.
Vì vậy là một giáo viên giảng dạy môn toán tôi nhận th ấy đ ể phát
triển tư duy sáng tạo của con người đặc biệt là với học sinh THCS thì không
phải ngày một ngày hai là có được, mà nó là cả m ột quá trình rèn luy ện,
phấn đấu thường xuyên. Học các môn khoa học đặc biệt là toán học sẽ giúp
học sinh phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi học sinh THCS các em đang hình
thành khái niệm tư duy toán học, nên giáo viên cần quan tâm sâu sắc. Trong
phân môn đại số 7 tôi thấy phần “Tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ s ố bằng
nhau” là phần kiến thức mới và rất cơ bản với học sinh, nh ưng các em còn
mắc nhiều sai lầm trong khi giải các dạng toán ở phần này, đ ặc biệt là các
dạng toán trong các kỳ thi violympic toán mạng . Để các em tránh khỏi
những vướng mắc trong khi giải các dạng toán như: c hứng minh đẳng thức
1


0-1-2

3-4

5-6

7-8

9-10

7A

44

5

19

6

4

0

7G

32

10

b.Phương pháp điều tra:
Điều tra thực trạng học sinh trong trường . Triển khai nội dung đề tài,
kiểm tra và đối chiếu kết quả h ọc tập của học sinh từ đ ầu năm h ọc đến
cuối học kì I.
c.Phương pháp gia thiêt khoa học:
Học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỉ lệ th ức và tính ch ất c ủa
dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán t ừ đ ơn gi ản đ ến ph ức
tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỉ lệ th ức
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các d ạng toán khác
như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số h ạng
chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số
3


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, ch ứng minh đ ẳng th ức,…).
Thông qua việc giải bài tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ
năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn th ận, linh hoạt.

PHẦN THỨ HAI:
NHỮNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.

Khao sát thực tê
Trường tôi có vị trí địa lý nằm ở vùng trung du thuộc b ảy xã mi ềm

núi của Huyện , đa số học sinh là con em nông thôn trong đó h ọc sinh dân
tộc mường chiếm tỉ lệ cao, đời sống kinh tế của bà con nơi đây còn g ặp r ất
nhiểu khó khăn, trình độ hiểu biết thì hạn chế, nên việc học tập của các em


44

5

19

6

4

0

4


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
7G

32

10

19

3

0


3.Nội dung vấn đề:
3.1. Lý thuyêt:
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
Ta còn viết:
a : b = c : d.
5

a c
=
b d

.


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung t ỉ(s ố h ạng
trong).
a c
=
b d

b. Tính chất của tỉ lệ thức:
a c
=
b d

Tính chất 1: Nếu
thì a.d = b.c
Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các t ỉ l ệ th ức:

a c
=
b d

suy ra

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau
a c i a+c+i
a −c +i
= = =
=
b d j b+d + j b−d + j

a b
=
c d

a c a+c a−c
= =
=
b d b+d b−d

a c i
= =
b d j

,

d c d b
=

b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn
b1 − b2 + b3 + ... − bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đ ặt
dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy t ỉ s ố b ằng nhau
cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho tr ước, ta l ập
được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số h ạng trên ho ặc số
hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
•

chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:
viết:
x:y:z=a:b:c
6

x y z
= =
a b c

. Ta cũng


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Kiến thức bổ sung
* Luỹ thừa của một thương:
n

d
b.n
d .n
*
a
b

=

c
d

n

a
⇒  ÷
b

N, x

≠

Với n

0 và x, y

≠

∈


9 5 d 9.3 5.3

Hãy tìm x, y, z biết

Giải:

thì các em lại dùng dấu “=” là sai.

x y z
= =
5 3 4

và x +y + z = 12

x y z
x + y + z 12
= = (⇒ )
=
=1
5 3 4 S 5 + 3 + 4 12

vậy

x
= 1 ⇒ x = 5.1 = 5
5

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán nhỏ giúp các em không còn sai sót trong
lời giải của mình:


a c
=
b d

; hãy chứng minh tỉ lệ thức sau:

( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )

Các cách giải:

* Cách 1: Để chứng minh

a
c
=
a −b c − d

Ta có: a.(c-d) = ac - ad

(1)

c.(a-b) = ac - cb

(2)

Ta lại có:

a c
=

nhau
a
c
=
a −b c − d

Ta tính giá trị của các tỷ số:
a
bK
bK
K
=
=
=
a − b bK − b b( K − 1) K − 1

c
dK
dK
K
=
=
=
c − d dK − d d ( K − 1) K − 1

Từ (1) và (2)

a
c
=

áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta được:
a b a −b
= =
c d c−d

Hoán vị các trung tỷ của

a a −b
=
c c−d

ta được

a
c
=
a −b c−d

Trong cách giải này, sau khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho,ta dùng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau.Cuối cùng lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới
được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh.

9


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
* Cách 4:
a c
b d

thường ta dùng

Phương pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc.

Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số

a
b

và

c
d

có cùng một giá trị.

Nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội
tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải
chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức
nhưng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức
để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).

Ví dụ 2: cho tỷ lệ thức sau

a c
=
b d

Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có
nghĩa).

a c
=
b d

Mặt khác ta lại có:
=> ad = bc
Kết hợp với (1) và (2) suy ra:
ac(b2 +d2) = bd(a2+ c2). Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Đặt
ac bk .dk
=
bd
bd

a c
=
b d

= k => a = bk; c = dk. Ta có:

= k2 (1)

a 2 + c 2 (bk ) 2 + (dk ) 2 k 2 (b 2 + d 2 )
=
=
= k2
2
2
2

=>
, do đó
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(1)

a 2 c2 a 2 + c 2
=
=
b2 d 2 b2 + d 2

(2)
Từ (1) và (2) Ta suy ra điều phải chứng minh.
b)

2a + 5b 2c + 5d
=
;
3a − 4b 3c − 4d

Cách 1 : là ta có thể so sánh tích các trung tỉ và tích các ngoại tỉ
Giải:
Xét tích A = (2a + 5b)(3c – 4d) = 6ac – 8ad + 15bc – 20bd
B = (3a – 4b)(2c + 5d) = 6ac +15ad – 8bc – 20bd
Mặt khác theo giả thiết ta lại có:

a c
=
b d


a+b c+d
=
a −b c−d

với a, b, c, d ≠ 0.

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo ví dụ 1.
Bài 2: Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a
1 1 1 1
= ( + )
c 2 b d

và c và
.
Chứng minh bốn số đã cho lập thành một tỉ lệ thức.
Gợi ý cách giải: Chỉ ra tồn tại đẳng thức ad = bc.

** Dạng 2 : Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
* Phương pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.
Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan
hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi
mới sử dụng được.
+) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1.
+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc
tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý
các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.
a)
b)
c)

Do đó: = = = = -2
Hay: +) = -2 ⇔ x = -2.19 = -38
+) = -2 ⇔ y = -2.21 = -42
Vậy: x = - 38 và y = - 42
d) =
⇒ = = = =4
Hay: +) = 4 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6
+) = 4 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14
Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
* Cũng có em làm cách khác:
Có = ⇔ =
mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
nên . xy = . 84 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6
và xy: = 84:
⇔ y2 = 196 ⇔ y = ±14
Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết:
a)
= ; =
và 2x + 3y – z = 186
b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
c)
= = =
Lời giải:

13


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại

⇔ x=
+) = 2
⇔
=2
⇔ y=
+) = 2
⇔
=2
⇔
z=Vậy: x = ; y = ; z = - .
Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z – 3x – 4y = 50
Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y
bằng cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình tĩnh
và làm như bình thường xem sao?
Lời giải:
Có: = = & 5z – 3x – 4y = 50
⇔
= = & 5z – 3x – 4y = 50
⇔
= = = = =2
Hay: +) = 2
⇔
x–1=4
⇔ x=5
a)

14


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng

Vậy: x = 32.
Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng:
a) = và a2 – b2 = 36
b) =
và ab = 48
Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước
biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm
được điều đó thì coi như bài toán đã được hoàn thành 90%.
Lời giải:
a) Có: = (a, b cùng dấu)
Suy ra: = = = = 4
Hay: = 4
⇔
a2 = 100
⇔
a = ± 10
=4
⇔
b2 = 64
⇔
b=± 8
Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc
a = - 10 và b = - 8.
b) Có: =
Suy ra: = = = = 4
15


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

a) Có thể đưa về số mũ nhỏ hơn không? Đưa về bài toán đã biết cách làm có
được không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem?
Từ
= suy ra: = = và x, y cùng dấu (1)
Với x4 y4 = 16 ⇔ xy = ± 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
= = = =
2
Hay: +) = ⇔ x = 1 ⇔ x = ± 1
+) = ⇔ y2 = 4 ⇔ y = ± 2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử xem?
Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm.
Có: = = =
⇔
=
16


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
⇔

= x2
⇔
x=±
Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024
⇔ y20 = 210.1024
⇔
y20 = 220

Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận
thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến
khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán
về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
* Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d
17


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30
c) 3a = 4b & b – a = 5
c) = ; = & a + b – c = 69.
Bài 2. Tìm x, y, z biết:
a)
b)

x y
=
2 3
x y
=
5 3

và xy = 54
; x2 – y2 = 4 với x, y > 0

x y

x2 y2
=
9 16

k)
và x2 + y2 = 100
Bài 3. Tìm x biết:
a)

x−2 x+4
=
x −1 x + 7

b)

x−3 5
=
x+5 7

c)

x −1 x − 2
=
x+2 x+3

** Dạng 3 :Tính gíá trị của biểu thức.
*Phương pháp chung:
+) Đây là dạng bài tập khó, yêu cầu học sinh phải huy động nhiều
kiến thức và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã
học. Khả năng quan sát và dự đoán được sử dụng nhiều, liên t ục, đ ồng


Khi đó: P =

Vậy: P =

= k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k

2 k − 5k + 7 k 4 k 4
=
=
2k + 10k − 7k 5k 5

4
5

* Hoặc cách khác:

Ta có:

Lại có:

x y z x− y+z x− y+z
= = =
=
2 5 7 2−5+7
4

suy ra x – y + z = 2x

x 2y z x + 2y − z x + 2y − z


b
c+a

;

c
a+b

.

5x
2


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:
a
b+c

=

b
c+a

c
a+b

=

=

c
a+b

+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì

a+b+c
a +b+c
=
(b + c) + (c + a ) + ( a + b) 2(a + b + c )

=

a
b+c

b
c+a

=

=

c
a+b

=

(*)

=

;

b
b
=
= −1
c + a −b

c
a+b

=

c
= −1
−c

Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì

+) Nếu a + b +c = 0 thì

Ví dụ 3.

Cho biểu thức: P =

;

c

=

1
2

−1

x+ y y+ z z +t t + x
+
+
+
z +t t + x x+ y y+ z

Tìm giá trị của biểu thức P biết:

x
y
z
t
=
=
=
y+ z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z
20

(*)


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
⇔

x=y=z=t

khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4

+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ;

y + z = – (z + t)

Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4
Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0
+) P = – 4 khi x + y + z + t = 0
*.Bài tập vận dụng;
Bài 1. Cho A =

x + 2 y − 3z
x − 2 y + 3z

. Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.

Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.

Tính giá trị biểu thức :

Q=

Ax + By + C
ax + by + c


*Nếu các số a,b,c là các số thập phân với số chữ số thập phân lần lượt là n1,n2, n3
thì thực hiện a: b: c = (a.10n) : ( b.10 n) : ( c.10n) trong đó n bằng max n1,n2, n3 .

*Nếu a,b,c là các phân số thì thực hiện a:b:c =

 m  m  m
 a. ÷:  b. ÷:  c. ÷
 n  n  n

Trong đó m là BCNN của các mẫu, n là ƯCLN của các tử.

*Sau khi đã có dãy tỉ số bằng nhau áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau để
giải toán.

2. x, y,z tỉ lệ nghịch với các số a,b,c <=> x::y:z =
như phần 1.

1 1 1
: :
a b c

, rồi thực hiện

M ột s ố ví d ụ minh h ọa:
Ví dụ 1: (Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Hướng dẫn
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm),(a,b,c


c
= 2 → c = 10
5

Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu gi ữa c ạnh l ớn nh ất và
cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được c-a=3.
Ví dụ 2:
a, chia số 330 thành ba số tỉ lệ với 0,4; 0,6; và 1,2.

b, Chia số 1280 thành ba số tỉ lệ nghịch với 0,(6); 0,7; và 1,5.
c, Ba số tỉ lệ theo 0,8; 2/3;0,05. Tìm ba số biết số thứ nhất lớn hơn tổng ba
số là 7,5.
d, Chia số 4500 thành ba số mà 80% số thứ nhất bằng 53,(3) % số thứ haivà
bằng 40% số thứ ba.
Hướng dẫn :
Gọi ba số phải tìm là x,y,z.
a, Chia số 330 thành ba số tỉ lệ với 0,4; 0,6; và 1,2
có nghĩa là tổng x+y+z = 330
Theo đề bài ta có : x:y:z=0,4: 0,6: 1,2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
k=

x y z x + y + z 330
= = =
=
= 30
2 3 6
11

2
3

: 0,05 48:40:3

tương tự ta có k= 8


x = 72, y = 60, z = 4,5.

d, Ta có :x+y+z = 4500 và x:y:z=

1
1
1
=
=
= 2: 3: 4
80% 53,(3)% 40%

tương tự ,có k = 500


x = 1000, y = 1500, z = 2000.

Ví dụ 3: Biết tổng hai số đầu hơn số thứ ba là 2000. Tìm ba số, nếu số thứ
nhất bằng 45% số thứ hai và số thứ ba bằng 135 % số thứ hai.
Hướng dẫn
Gọi ba số phải tìm là x,y,z.Ta có x+y-z = 2000.
Theo đề bài, có x:y = 45%=> x:y= 9: 20



x = 9000, y = 20000, z = 27000.

Như vậy Khi làm các bài toán về chia tỉ lệ ta cần chú ý các bước làm sau:
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.

** Sau đây là một số sai lầm thường gặp trong giải toán
liên quan đến tỷ số bằng nhau
1.Sai lầm khi áp dụng tương tự

H/s áp dụng

x y x. y
= =
a b a.b

hay

x y z x. y.z
= = =
a b c a.b.c

Ví dụ 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng

H/s sai lầm như sau :


hoặc từ
hoặc đặt

từ đó suy ra

y = ±5

x y
x2 x y
x 2 10
= ⇒ − . ⇒
= = 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = ±2
2 5
4 2 5
4 10
x y
= = x ⇒ x = 2 x, y = 5 x
2 5
25

vì xy=10 nên 2x.5x=10

⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1