Một vài kinh nghiệm
về việc hớng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Phần I
Đặt vấn đề
1) Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng.
Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát
triển t duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng
những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là
công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các phát
triển một cách toàn diện.
Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say
mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao
kiến thức cũng nh kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán là một
yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung. Nhất là đất nớc ta đang
trong thới kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con ngời năng
động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng Chính vì vậy mà việc bồi dỡng, nâng
cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần
thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh lớp 9.
Xuât phát từ đó mà ngay từ năm học 2007 - 2008 tôi đã luôn cố gắng
tìm tòi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lợng học toán đại trà và
chất lợng mũi nhọn. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú
trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
biểu thức đại số. Mặc dù trong chơng trình toán THCS không có bài dạy lý
- 1 -
thuyết về phơng pháp tìm GTLN, GTNN nhng trong hệ thống bài tập lại có đề
cập đến. Đặc biệt loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dỡng nâng cao
hay các đề học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên, chọn Do đó cần thiết phải
dạy cho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ

) = M
Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y ) với x,y thuộc D.
Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D. Ta nói m
là GTNN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn:
+ Với mọi x,y thuộc D thì f(x,y ) m (m là hằng số)
+ Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D mà f(x
0
, y
0
) = m
Khi đó ta kí hiệu: m = Min f(x,y ) với x,y thuộc D.
2) Giúp học sinh có đợc một số phơng pháp tìm GTLN, GTNN.
a) Phơng pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn:
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về
dạng y = m + [g(x)]
2n
(nN
*
, m R). Khi đó y m Min y = m g(x) = 0.
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về dạng
y = M - [h(x)]
2n
(nN
*
, M R). Khi đó y M h(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A

9
4
) -
9
10
] = -3(x-
3
2
)
2
+
3
10
=
3
10
- 3(x-
3
2
)
2
Vì (x-
3
2
)
2
0 A
2

3

Ta có x R: B
1
=
2
67
2
+

x
x
=
1
2
)3(
2
)2()962(
2
2
2
22

+

=
+
++
x
x
x
xx

+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 > 0 x R
Nên ta có: B
2
=
2
7
2
1
3
32
1
3
32
1)32(3
22
2
=+
++
+=
++
+++
xxxx
xx
Vậy Max B
2
=
2
7

n
.
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxKi.
Nếu a
1
, a
2
, a
n
và b
1
, b
2
, b
n
là 2 n số tuỳ ý
Ta có: (a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
) (b
1
2
+ b
2

2
1
1
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C
1
=
x
x 1
+
y
y 1
Điều kiện: x 1; y 2
áp dụng bất đẳng thức Cô si.Ta có:
2
11
22
11
)1(1

=
+

x
xxx
x
Tơng tự áp dụng bất đẳng thức cô si Ta có:
4
2
22
1

x
C
- 5 -
⇒
Max C
1
=
4
22 +
⇔
{ {
2
4
11
22
=
=
=−
=−
⇔
x
x
x
y
VÝ dô 2: T×m GTNN cña biÓu thøc: C
2
= x
2
+ y
2

2
≥

3
2001
2
= 1334667
⇒
Min C
2
= 1334667
⇔
x = y = z = 667
- 6 -