33 bài tập - Thể tích khối lăng trụ (Phần 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm A1 lên ( ABC )
trùng với trọng tâm tam giác ABC, AA1 =
A. VABC . A1B1C1

a3 6
=
12

C. VABC . A1B1C1 =

a3 3
12

2a 3
. Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
3
B. VABC . A1B1C1

a3 6
=
6

D. VABC . A1B1C1 =

a3 3
4

Câu 2. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên có độ dài bằng
2a. Hình chiếu của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1
là:

3a 3 3
8

C. VABC . A1B1C1 =

9a 3
8

D. VABC . A1B1C1 =

27 a 3
8

Câu 4. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 . Hình chiếu của điểm A1
lên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC, mặt ( A1 AB ) hợp với mặt đáy một góc α thỏa mãn tan α =
Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1

a3 3
=
24

C. VABC . A1B1C1 =

a3 6
12

B. VABC . A1B1C1

3a 3 3

D. VABC . A1B1C1

a3
6

a3 2
=
6

Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a . Hình chiếu
của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của AC, cạnh A1B hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối
lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1

a3 3
=
2

C. VABC . A1B1C1 =

a3 2
6

B. VABC . A1B1C1

a3 3
=
6

D. VABC . A1B1C1 =

A. VABCD. A1B1C1D1

a3 3
=
3

C. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 6
2

B. VABCD. A1B1C1D1

a3 3
=
2

D. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 6
6

Câu 9. Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 120° . Biết A1. ABC là
hình chóp đều và A1D hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A1 B1C1D1 là:


A. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 3
3

a3 3
3

C. 3a 3

D.

a3 3
2

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

( A ' BC )
A. 3a

bằng

a 6
. Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
2

3

a3 3
B.
3

C. a

3

C.
3

a3
D.
12

Câu 15. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A ' xuống mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của AB. Mặt bên ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc 45°.
Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

3a 3
32

B.

3a 3
4

C.

3a 3
8

D.

3a 3
16


1
dS sin α
2

D. dS cos

α
2

Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có thể tích là V. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh
AA ' và BB ' . Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC ' bằng:
A.

3
V
5

B.

4
V
5

C.

3
V
4

D.

3

C.

a3 3
12

D.

a3 3
8

Câu 21. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB ' D ' và khối hộp
ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:
A.

1
6

B.

1
2

C.

1
3

D.

3

C. 1

D.

2
5


Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Khi đó thể tích của khối chóp C ' AMN là:
A.

V
3

B.

V
12

C.

V
6

D.

V


C.

a 6
2

D. a 6

Câu 27. Đáy của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy
của lăng trụ là 30°. Hình chiếu vuông góc của A ' xuống đáy ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC.
Thể tích của khối lăng trụ là:
2a 3
3

A.

3a 3
8

B.

2a 3
C.
12

3a 3
4

D.



7
17

C.

4
14

D.

1
2

Câu 30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BB ' và CC ' . Thể tích của khối ABCMN bằng:
A.

V
2

B.

V
3

C.

2V
3

A ' B ' và B ' C ' thì thể tích khối chóp D '.DMN bằng:
A.

V
2

B.

V
16

C.

V
4

D.

V
8

Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, A ' A = A ' B = A ' C , cạnh A ' A tạo
với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ.
A.

a3 3
3

B.


a2 3
a3 3
.
.a =
4
4

Câu 2. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC khi đó AH =
Mặt khác A1H = AA12 − AH 2 = 4a 2 −

Suy ra V

ABC . A1B1C1

= S ABC

( a 3)
.A H =
1

2

4

( a 3) .

3


3a
2

Lại

có:

(·AA , ( ABC ) ) = ·A AH = 60° ⇒ A H = AH tan 60° = 3a2 3
1

Suy ra V

1

ABC . A1B1C1

= S ABC . A1H =

1

(

a 3

)

4

2


4
Do đó A1H = HK tan α =

Suy ra V

ABC . A1B1C1

3a 2 a
. =
4 3 2

= S ABC . A1H =

(

a 3

)

4

2

3 a 3a 3 3
.
. =
2
8

Câu 5. Chọn đáp án A

Khi đó ·A1BH = (·A1B, ( ABC ) ) = 45°
Mặt khác BH =

AC a 2
a 2
=
⇒ A1H =
2
2
2

Do vậy VABC . A1B1C1 = S ABC . A1H =

a 2 a 2 a3 2
.
.
=
2 2
4

ta

có


Câu 7. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AC, ta có A1H ⊥ ( ABC ) ; AC = a 2
Dựng HK ⊥ AB lại có A1H ⊥ AB do đó ( AKH ) ⊥ AB
⇒ (·

Do đó ·A1HO = (·
( A1 AB ) , ( ABC ) ) = 60°
Suy ra A1O = OH tan 60° =
Do đó VABCD. A1B1C1D1 = S ABCD . A1O = a 2 .

AD
a 3
tan 60° =
2
2

a 3 a3 3
.
=
2
2

Câu 9. Chọn đáp án B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều
Khi đó A1H ⊥ ( ABC ) (do A1 ABC là khối chóp
đều)
Ta có: ·A1DH = (·A1D, ( ABC ) ) = 45° ⇒ A1H = HD
Lại
HD =

có
2
2a 3
BD; BD = a 3 ⇒ HD = A1H =

Lại có: AM =

a 3
= 2 3 ⇒ A ' A = A ' M 2 − AM 2 = 2
2

Suy ra VABC . A ' B ' C ' = S ABC . A ' A =

42 3
.2 = 8 3 .
4

Câu 11. Chọn đáp án C
Dựng BH ⊥ AC lại có BB ' ⊥ AC suy ra ( B ' AB ) ⊥ AC
Do đó (·
( AB ' C ) , ( ABC ) ) = B· ' AB = 45°
·
Lại có BAH
= 180° − 120° = 60° ⇒ BH = AB sin 60° = a 3
Suy ra BB ' = a 3; S ABC =

1
BH . AC = a 2 3
2

Do đó VABC . A ' B ' C ' = S ABC .BB ' = a 2 3.a 3 = 3a 3 .
Câu 12. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH ⊥ BC
Lại có AA ' ⊥ BC suy ra ( A ' AH ) ⊥ BC



Câu 13. Chọn đáp án C

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Kẻ ( d ) đi qua H và vuông góc với
K ⇒ HK ⊥ AC .

AC

tại

A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( A ' HK ) .
Suy ra (·
( AA ' C ' C ) , ( ABC ) ) = (·A ' K , HK ) = ·A ' KH = 60° .
Ta có HK =

1
a 3
3a
.
BM =
⇒ A ' H = tan 60°.HK =
2
2
2

Thể tích khối lăng trụ là
VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ∆ABC =


4

Câu 16. Chọn đáp án A
Gọi H là hình chiếu của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) .
⇒ AH là hình chiếu của AA ' trên mặt phẳng ( ABC ) .


⇒ (·AA ', ( ABC ) ) = (·AA ', AH ) = ·A ' AH = 60° .
Tam giác A ' AH vuông tại H, có sin ·A ' AH =

A' H
3a
⇒ A ' H = sin 60°.a 3 =
.
AA '
2

Thể tích khối lăng trụ là VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ∆ABC

3a a 2 3 3a 3 3
.
= .
=
2
4
8

Câu 17. Chọn đáp án D
Gọi hình hộp đứng là ABCD. A ' B ' C ' D ' với ABCD là hình thoi, ·ABC = α , AC = d .
Diện tích một mặt bên là AA ' B ' B có diện tích S và AA ' = h .

2
Vậy VABCIJC ' = VABC .IJK + VC '. IJK = VABC . A ' B ' C ' + VABC . A ' B ' C ' = V .
2
6
3
Câu 19. Chọn đáp án A
Kẻ A ' H ⊥ ( ABCD ) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD .
⇒ A ' M ⊥ AB, A ' N ⊥ AD (định lý ba đường vuông góc).
⇒ (·
( ABB ' A ') , ( ABCD ) ) = ·A ' MH = 45°
Và (·
( ADD ' A ') , ( ABCD ) ) = ·A ' NH = 60° .


Đặt A ' H = x . Khi đó A ' N =

2x
3 − 4x2
.
⇒ AN = HM =
3
3

3 − 4x2
3
Mà HM = x 
.
→
=x⇔x=
3

1
⇒ VABCD. A ' B ' C ' D ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' + VACB ' D ' ⇒ VACB ' D ' = VABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒
= .
3
3
VABCD . A ' B ' C ' D ' 3
Câu 22. Chọn đáp án D
Ta có CC1 / / ( ABB1 A1 )
⇒ d ( CC1 , ( ABB1 A1 ) ) = d ( C , ( ABB1 A1 ) ) = 7
Bài ra S ABB1 A1 = 4 ⇒ S A1 AB = 2
⇒ VABC . A ' B ' C ' = 3VA1 . ABC = 3VC . A1 AB
1
= 3. d ( C , ( ABB1 A1 ) ) .S A1 AB = 7.2 = 14 .
3
Câu 23. Chọn đáp án C


Lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C '
⇒ A ' A ⊥ ( ABC ) và ∆ABC đều.
Đặt AB = BC = CA = x và A ' A = h .
Kẻ BP ⊥ AC ( P ∈ AC ) .
 BP ⊥ AC
1
⇒ BP ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ VB. ACC ' M = BP.S ACC ' M
Ta có 
3
 BP ⊥ A ' A
2
1 AB 3 1
x2 3  h

VB. ACC ' M

Chọn C.
 Nhận xét
Bản chất là như vậy, ta có thể tư duy nhanh như sau:
1
1
Ta có VB . ACC ' M = d ( B, ( ACC ' M ) ) .S ACC ' M và VC '. A ' B ' BM = d ( C ', ( A ' B ' BM ) ) .S A ' B ' BM
3
3
Rõ ràng với lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' thì
d ( C ', ( A ' B ' BM ) ) = d ( B, ( ACC ' M ) )
V
⇒ B. ACC ' M = 1 .

VC '. A ' B ' BM
 S A ' B ' BM = S ACC ' M
Câu 24. Chọn đáp án B

Ta có S AMN =

1
1
1 1
V
S ABC ⇒ VC '. AMN = VC '. ABC = . V = .
4
4
4 3
12

AB 3 a 3
a 6
mà AH =
.
=
⇒ A' A =
2
2
2
2


Câu 27. Chọn đáp án B

Cạnh AH =

AB 3 a 3
.
=
2
2

A' H
1
·
=
Ta có ( A ' A, ( ABC ) ) = ·A ' AH = 30° ⇒ tan 30° =
AH
3
⇒ A' H =

Mà S ADN

1 a a2
1 a a a2
= a. =
và S IBN = . . =
2 2 4
2 2 2 8

⇒ S ANIB ' =
⇒ V1 =

1 2 a 2 3a 2
5a 3
a −
=
⇒ VC ' DAB ' IN =
2
8
8
24

1 3 5a 3 7 a 3
a −
=
2
24
24

⇒ Phần còn lại V2 = a 3 −

6
⇒ Tỉ số cần tìm bằng

1
.
5

Câu 32. Chọn đáp án D
1
1

 S MNB ' = 4 S A ' B ' C ' = 4 S A ' C ' D '

1
1

Ta có  S NC ' D ' = S B ' C ' D ' = S A ' C ' D '
2
2

1
1

 S MA ' D ' = 2 S A ' B ' D ' = 2 S A ' C ' D '

3
1 1 1
⇒ S D ' MN = S A ' B ' C ' D ' −  + + ÷S A ' C ' D ' = S A ' C ' D '
4
4 2 2

2
4