PHẦN I. MỞ ĐẦU:
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy nói chung và việc bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh thi vào lớp 10 nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược
bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt
kiến thức của một dạng toán vững vàng, kĩ càng mà còn nâng cao tính khái quát
hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo
cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán
khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và
phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học Toán.
Trong khi vận dụng kiến thức vào giải toán, đa số các học sinh THCS mới
chỉ biết vận dụng trực tiếp lí thuyết, hay các bài toán có sẵn cách giải. Khi gặp
các bài toán yêu cầu phải có kiến thức tổng hợp và vận dụng linh hoạt lí thuyết
để đưa ra cách giải thì học sinh thường gặp phải khó khăn.
Một trong những bài toán như thế, vận dụng trong các kì thi đặc biệt là thi vào
lớp 10 THPT là bài toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 nhưng
sách giáo khoa lại không cung cấp phương pháp giải cụ thể. Nhìn chung, ở phần
này đa số những học sinh có khả năng tư duy tưởng tượng chưa tốt sẽ khá vất vả
khi giải toán, không định hướng được cách giải hoặc trình bày không chặt chẽ,
rõ ràng dẫn đến điểm kém. Khi tìm hiểu việc học và giải toán của các em học
sinh THCS và theo dõi các đề thi vào lớp 10 THPT các năm gần đây, tôi nhận
thấy loại toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 vẫn thường được
đề cập tới. Vì vậy đây là bài toán mà học sinh cần phải nắm vững để chuẩn bị tốt
cho các kì thi, đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT.
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 tôi được tiếp
xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không biết tổng
hợp kiến thức lí thuyết để làm bài mà thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi
lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ. Đặc biệt là các bài toán
đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỹ năng nhận ra. Chính vì
vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng
quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng

tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều
hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích
cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học sinh là
một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác,
chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau đây:
-Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng
dập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn
đề ở nhiều khía cạnh.
- Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào?
Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên có
đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan.
- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải
quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.

2


Trong chương trình môn Toán ở các lớp THCS, kiến thức về hàm số là một
phần học quan trọng, một trong những phần mà các đề thi học kì cũng như tuyển
sinh vào lớp 10 thường ra. Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục
học lên ở THPT. Đa số học sinh mới chỉ giải được những bài tập đơn giản và
riêng rẽ.
Cụ thể như:
Phần hàm số y = ax + b là vẽ đồ thị, lập phương trình đường thẳng, xét vị
trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Phần hàm số y = ax2 là vẽ đồ thị hàm số, xác định hệ số a, xác định điểm
thuộc đồ thị hàm số.
Đối với bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 được học sinh THCS

3


triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
Toán.
Đứng trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
Và trong quá trình giảng dạy Toán 9, đứng trước những bài toán liên hệ
giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 đa số học sinh còn nhiều lung túng mắc phải
những sai lầm. Qua kinh nghiệm trong các năm trực tiếp làm công tác giảng dạy
tôi nhận thấy học sinh mắc sai lầm là do các nguyên nhân sau đây:
Một là: Kiến thức về hàm số của học sinh còn hạn chế nên tiếp thu bài chậm,
lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản .
Hai là: Đa số học sinh chưa có định hướng chung về phương pháp giải, vận
dụng các khái niệm, tính chất để hình thành cách giải các bài toán.
Ba là: Học sinh không phân loại được dạng toán nên khi làm toán thường bị lệch
đề bài.
Bốn là: Đọc đề không kĩ, khả năng phân tích đề, tổng hợp đề còn yếu, lượng
thông tin cần thiết để giải toán còn hạn chế.
Năm là: Chưa có thói quen định hướng cách giải một cách khoa học trước khi
giải toán.
Sáu là: Trình bày cẩu thả không theo một phương pháp cụ thể nào.
Từ những nguyên nhân trên và các số liệu thống kê khảo sát qua các năm giảng
dạy cho học sinh tôi theo dõi và thu được kết quả cụ thể:
Kết quả khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tại lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT sau
khi học về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 năm học 2012 – 2013:
Điểm kiểm tra
Lớp


1. Một số kiến thức cần nắm vững và những lưu ý:
Đối với bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 học sinh cần nắm
vững kiến thức về hàm số, phương trình bậc hai, áp dụng định lí Viét.
Biết lập phương trình đường thẳng.
Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0).
+ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = 0 (1)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2
để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
+ Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t; tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:
Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã: a ' x 2 − ax − b = 0 ⇒ ∆ = (−a) 2 + 4a ' .b
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau

phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0

c) (d) và (P) không giao nhau
phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
+ Chứng minh (d) và (P) cắt; tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham
số:
Phương pháp: Ta phải chứng tỏ được phương trình a'x2 = ax + b có:
∆ > 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
∆ = ( A ± B) 2 + m với m > 0 thì đường thẳng luôn cắt parabol
∆ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
∆ = ( A ± B) 2 thì đường thẳng luôn cắt parabol
∆
⇔ 2x2 - x – 1 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được x =1 hoặc x= −

1
2

Thay x = 1 thay vào y = x + 1 ta có y = 2 suy ra A (1; 2)
1
1
1 1
thay vào y = x + 1 ta có y = suy ra B( − ; )
2
2
2 2
1 1
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm A(1; 2) và B( − ; )
2 2

Thay x = −

Nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm hoành độ giao điểm giải phương trình (*) ta được
1
2

x =1 hoặc x= − .
Như vậy với bài toán trên mấu chốt của vấn đề là ta xác định được phương trình
hoành độ giao điểm.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) :
y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Giải:

4

(1)có nghiệm kép.

Biến đổi (1) ta được x2 - 4mx - 4(m-2) = 0 (2) .Điều kiện để (1) (cũng có nghĩa
là (2)) có nghiệm kép là: ∆ ' = 4m2 + 4m - 8 = 0 ⇔ m2 + m - 2 = 0 ⇔ (m+2)(m1) = 0 ⇔ m = - 2 hoặc m = 1. Vậy các hệ số m, n cần tìm là m = - 2, n = - 4
2) Với m = -2, phương trình đường thẳng là y = -2x - 4. Phương trình (2) trở
thành x2 + 8x + 16 = 0, nghiệm kép là x = - 4. Tọa độ của tiếp điểm là (-4; 4).
Với m = 1, phương trình đường thẳng là y = x - 1. Phương trình (2) trở thành x2
- 4x +4 = 0, nghiệm kép x = 2.Tọa độ của tiếp điểm là (2; 1).
Ví dụ 4: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đường thẳng (D): y = 2(m+1)x - m2 - 9.
Tim m để:
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) (D) tiếp xúc với (P)
c) (D) không cắt (P)
Giải:
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đường thẳng (D) y =
2(m+1)x - m2 - 9 là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m+1)x - m2 - 9
⇔ x2 - 2(m+1)x + m2 + 9 = 0 (1)
∆ ' = b'2 - ac
= [(m + 1)]2 – (m2 + 9)
= m2 + 2m +1 – m2 – 9
= 2m – 8
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆' > 0
⇔ 2m – 8 > 0
⇔ 2m > 8
⇔m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

a. Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (I)
- Nếu đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (I)
vô nghiệm tương đương với ∆ < 0 .
- Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình (I) có nghiệm
kép tương đương với ∆ = 0 .
- Nếu đường thẳng (d) cắt parabol (P) thì phương trình (I) có hai nghiệm phân
biệt tương đương với ∆ > 0 .
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x + m (m là
tham số) và parabol (P): y = -

1 2
x.
2

Tìm điều kiện của m để:
8


a. (d) và (P) không có điểm chung.
b. (d) tiếp xúc với (P).
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
-

1 2
x = 2x + m
2

b. (d) và (P) tiếp xúc khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm kép tức là:
∆′ = 0 ⇔ m2 – 4 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau.
c. (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có
hai nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > 0 ⇔ m2 – 4 > 0 ⇔ m > 2 hoặc m < - 2
Vậy với m > 2 hoặc m < - 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt.

9


Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + 1 và
Parabol (P): y = - 2x2. Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0.
Trong bài toán trên ta thấy xuất hiện biểu thức đối xứng vẫn sử dụng cách giải
trên và vận dụng định lí Viét ta sẽ giải quyết bài toán một cách dễ dàng.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
- 2x2 = 2ax + 1
⇔ 2x2 + 2ax + 1 = 0 (*)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > 0 ⇔ a2 – 2 > 0 ⇔ a > 2 hoặc a < - 2
Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
 x1 + x2 = −a

Áp dụng định lí Viét ta có : 
1
 x1.x 2 = 2

Theo đề bài: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0

bài toán chứng minh về vị trí tương đối của đường thẳng (d):
y = f(x) và parabol (P): y = g(x).
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - 4x2 và đường thẳng
(d): y = 4mx + m2 (m là tham số) . Khi m thay đổi chứng minh rằng parabol (P)
luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) .
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
- 4x2 = 4mx + m2
⇔ 4x2 + 4mx + m2 = 0 (*)
Ta có: ∆′ = (2m)2 – 4m2
∆′ = 0 với mọi m.
Do ∆′ = 0 với mọi m phương trình (*) có nghiệm kép. Vậy parabol (P): y = - 4x 2
luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng
(d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 (m là tham số) . Chứng minh rằng parabol (P) và
đường thẳng (d) luôn có điểm chung khi m thay đổi.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3
⇔ x2 - 2(m – 1)x +2m - 3 = 0 (*)
Ta có: ∆′ = [-(m- 1)]2 – (2m - 3)
∆′ = m2 – 4m + 4
∆′ = (m- 2)2 ≥ 0 với mọi m.
Do ∆′ ≥ 0 với mọi m phương trình (*) luôn có nghiệm.Vậy parabol (P): y = x 2
luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Bài toán chứng minh còn được mở rộng đến tính chất, vị trí của giao điểm trong
mặt phẳng như sau:
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y =

x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Ở các bài toán trên điểm chung để chúng ta giải là dựa vào phương trình hoành
độ giao điểm. Từ phương trình hoành độ giao điểm học sinh xác định rõ yêu cầu
của bài toán để có cách giải hợp lí.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến giữa parabol và đường thẳng
Vẫn sử dụng phương trình hoành độ giao điểm khai thác điều kiện đường
thẳng tiếp xúc với parabol ta lập được phương trình tiếp tuyến.
a. Phương pháp giải
Bài toán : Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với
parabol (P): y = f(x)
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = kx + b (1)
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này, ta tìm được b.
Suy ra phương trình đường thẳng (d).
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x 2. Lập phương trình
đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = 2x và tiếp xúc với (P).
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b
Vì (d) // ( ∆ ) nên a = 2. Suy ra phương trình đường thẳng (d): y = 2x + b
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2x + b
⇔ x2 – 2x – b = 0
Do (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình (1) có nghiệm kép tức là:
∆′ = 0
⇔1+b=0
⇔ b = -1
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x - 1
Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A( xA , x B ) và tiếp xúc với

 a + 4b = 0
Từ (4) suy ra: b = - a thay vào (3) ta có: a2 – 4a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 4
Với a = 0 ⇒ b = 0. Phương trình đường thẳng (d) là: y = 0
Với a = 4 ⇒ b = - 4. Phương trình đường thẳng (d) là: y = 4x - 4

c. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số (P): y=x 2 và hai điểm A(0;1) ;
B(1;3).
a. Viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. Viết phương trình đường thẳng (d1)vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
Bài 3. Cho (P) y=x2. lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với
(P).
1
2

Bài 4. Cho (P) y = x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y=a.x+b . X¸c ®Þnh a
vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi
(P).

13


IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Sau hai năm áp dụng đề tài “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải
bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax 2 ,cho học sinh lớp 9 ôn thi vào
lớp 10 THPT kết quả đã được nâng lên.
Cụ thể:
Năm học 2013 – 2014.

Lớp
9A
9B

Sĩ số
31
29

0-
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lê Thị Mận

III. CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO:
15


1. Phan Doãn Thoại - Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán NXBGD Việt Nam.
2. Tôn Thân - Ôn thi vào lớp 10 môn Toán NXBGD Việt Nam.
3. Tập đề thi vào lớp 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa.
4. Sách giáo khoa Toán 9 - NXBGD Việt Nam năm 2011
5. Sách bài tập Toán 9 - NXBGD Việt Nam năm 2011
6. WWW.violet.vn, các đề thi - kiểm tra của các trường THCS.

16