Một số dạng toán

Vận dụng kiến thức hệ thức Vi - ét để giải

Trong các đề thi vào các trờng chuyên,đề thi HSG lớp 9,hay
vào lớp 10 THPT, ngay cả trong các đề thi GVDG cấp huyện, cấp tnh,
thi khảo sát chất lợng GV-THCS hàng năm thờng xuyên có bài về phơng trình bậc hai có chứa tham số, để giải tốt các yêu cầu của bài
toán dạng này ta có thể vận dụng kiến thức về hệ thức Vi-ét .Những
bài toán thuộc loại nàycó thể ở dạng cơ bản dành cho HS trung bình
nhng cũng có thể là những câu khó để phân loại học sinh.Đối với
một số bài toán ở dạng này nếu ta không biết vận dụng kiến thức hệ
thức Vi ét thì việc giải các toán quả là một khó khăn.Qua các đợt
thi tôi thấy ngay cả với một số thầy, cô cũng nh đối với các em học
sinh khi gặp các dạng này cũng đang còn lúng túng cha có hớng giải.
Bài viết này tôi muốn các bạn đồng nghiệp cùng trao đổi, các em học
sinh hệ thống lại các dạng toán thờng gặp và những lu ý cần thiết khi
giải chúng. Các dạng toán đợc thông qua các ví dụ.
A.Kiến thức cơ bản:
1. Nội dung hệ thức: Nếu phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có
nghiệm x1; x2 thì
S = x1 + x2 =

b
;
a

Lu ý: Khi đó ta cũng có x1 - x2 =

P = x1. x2 =

c

a
c
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu 0 và > 0
a
c
b
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dơng 0 và > 0;
a
a

+Phơng trình bậc hai có ít nhất một nghiệm dơng 0 và

>0


+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm 0 và

c
b
>0;



3
m

3

2(m + 1)
3 2(m + 1)
3
=



m
m


m

3
2
8m + 42m + 42m + 8
=
m3

-) Các bài tập tự luyện
Cho phơng trình: x2 - 5x + 3 = 0 . Gọi x 1; x2 là 2 ngiệm của
phơng trình không giải hãy tính:
1) x12 + x22 ;
2) x1 x2 ;

1
2
b.Nhận xét: Để giải các dạng toán này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm nếu cần.
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm
rồi tính..


* Dạng 2: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số. Hãy
tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn
một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó có chứa
biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm.
a. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phơng trình:
x2 2(m - 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 +
x22 = 14
(Đề thi KSCL giáo viên THCS Tỉnh Hà Tĩnh Năm 2009)

Giải: Để phơng trình đã cho có nghiệm / 0 1- 2m 0 m
1
2

áp dụng hệ thức Vi ét ta có: x1 + x2 = 2(m -1 ); x1. x2 = m2
( 1)
2
2
2


5
+2 + =
0
x1
2

Đề thi GVDG - THCS Thị xã Hồng Lĩnh - Năm 2005)

Giải: a) Ta có / = 1 > 0 . Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt m 1 .
b) áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 =
Từ đó ta có

[

2m
;
m 1

x1. x2 =

m +1
m 1

x1
x
5
+ 2 + =
0
2(x12 + x22 ) + 5x1.x2 = 0

x12 + x22 = 34
(Đề thi TS lớp 10PT Năng khiếu ĐH Quốc gia TP.HCM- Năm học 2008 2009 )
Bài 3: : Cho phơng trình : x2 - 2mx 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b)Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên . Tìm m để :
x12 + x22 x1x2 = 17
(Đề thi TS lớp 10 THPT -TP.Hồ Chí Minh- Năm học 2008 - 2009 )
b.Nhận xét: Để giải dạng toán này ta có thể thực hiện theo 4 bớc
sau:
Bớc 1:Tìm điều kiện để phơng trình có nghiêm (nếu cần).
Bớc 2: Biểu diễn biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích các nghiệm và
sau đó giải theo yêu cầu đề bài để xác định giá trị của tham số.
Bớc 4: Đối chiếu với giá trị của tham số vừa tìm đợc với điều kiện
tham số ở bớc 1 để da ra kết luận.
* Dạng 3: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số. Hãy
tìm giá trị của tham số m để phơng trình có nghịêm thỏa
mãn một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó không
chứa biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm.
a.Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + (2m -1)x + m -1 = 0 (*)
1) Hãy tìm các giá trị của m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
3x1 4x2 = 11
2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Tỉnh Hà Tĩnh - Năm 2002)
Giải: 1)Ta có = (2m - 3)2 0 m, vậy phơng trình đã cho luôn có
nghiệm.
áp hệ thức Vi ét ta có :
(2)
Để 3x1 4x2 = 11

2

19 6m
14

(4)


3


m
2

(2m - 3) > 0
2
> 0


1

1 2m

< 0 m >
2)Để pt (*)có hai nghiệm đều âm x1 + x 2 < 0
2
x .x > 0
2

1 2

/ = 0 m = 1 phơng trình (1) có nghiệm : x1 = x2 = 2 ;
/ < 0 m >1 phơng trình (1) vô nghiệm.
/ > 0 m < 1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

m +1+ 1 m
m +1 1 m
; x2 =
;
m
m

m 0

2)Theo kết quả câu a, điều kiện để phơng trình có hai nghiệm có

m < 1; m 0

m+3


bớc1 để đa ra kết luận.
*) Dạng 4: Giải phơng trình bậc hai:
a. Các ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 1.5 x2 1.6x + 0.1 = 0
(1)
:
b) 3 x2 (1 - 3 )x 1
=0
(2)
( Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2)
Giải: a) Ta có a + b + c = 1.5 + (- 1.6) + 0.1 = 0
Suy ra phơng trình ( 1 ) có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =
b) Ta có a b + c =

[ (

)]

1
15

3 - 1 3 + (-1) = 0

Suy ra phơng trình ( 2 ) có hai nghiệm: x1 = - 1; x2=
Các bài tự luyện
Giải phơng trình:

1
3


4) x + 3y = 1 và x .3y = -12 x và 3y là nghiệm của phơng
trình: t2 t 12 = 0
giải ra ta đợc t = - 3 và 4 (x = - 3 và y =

4
); ( x= 4 và y = -1)
3

5) 2x + (-y) = 8 và 2x (-y)= -2xy = 12 2x và -y là nghiệm của phơng trình:
t2 8t + 12 = 0
giải ra ta đợc t = 2 và 6 (x = 1 và y = - 6); ( x= 3 và y = -2)
Các bài tập tự luyện: Tìm x và y biết:
1) x + y = 2 và x.y = 9;
2) x 2 + y2 = 42 và x. y = 9
3) x + 2 y = - 49 và x. y = 20 ;
4)3 x + y = -4 và x .y = - 2
b. Nhận xét: Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1:Viết các biểu thức đã cho dới dạng xác định đợc tổng và tích
(nếu cha có).
Bớc 2: Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi
ét.
Bớc 3: Giải phơng trình lập ở bớc 2, thay vào để kết luận.
*Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình với một số cho
trớc.
a.Các ví dụ:
Bài tập 1: Cho phơng trình : mx2 5x + m = 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm lớn hơn 1.
(Đề thi GVDG - THCS Can Lộc Hà Tĩnh - Năm học 2005 - 2006)

m 1
m 1




2 2m > 0 m < 1
m < 1
( x1 1)( x 2 1) > 0
( x 1) + ( x 1) < 0
m 3 < 0
m < 3

2
1




Vậy m -1 và m < 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân
biệt nhỏ hơn 1.


Các bài tự luyện:
Bài 1: Tìm k để phơng trình x2 + (2k + 1)x + k2 = 0 có ít nhất một
nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
Bài 2: Tìm a để phơng trình : x2 +ax 1 = 0 có ít nhất một
nghiệm lớn hơn bằng 2.
b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 2 bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình ẩn t đợc xác định t = x - bằng cách thay x

*) Dạng 8: Các bài toán chứng minh
a. Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ
nhận

2003 2005
2003 + 2005

làm nghiệm.

(Đề thi GVDG - THCS Can Lộc Hà Tĩnh - Năm học 2003 - 2004)

Giải: giả sử x1 =

2003 2005

2003 + 2005
Chọn x2 = - 2004 - 2003.2005

Ta có: x1 + x2 = - 4008 ;

= - 2004 +

2003.2005

x1 .x2 = 1 nên x1; x2 là nghiệm của phơng :
x2 + 400x + 1 = 0


x2 + 400x + 1 = 0 nhận

áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = 2(m - 1) ; x1. x2 = m 3
Do đó ta có :
Sn +2 - 2 (m - 1)Sn+1 + (m - 3)Sn
= x1n+2 + x2n +2 2(m-1)( x1n +1+ x2n+1) + (m - 3)( x1n +
x2n)
= x1n[x12 2(m 1)x1 + m 3] + x1n [x12 2(m 1)x1 +
m 3]
= [ x12 2(m 1)x1 + m 3] .( x1n + x2n)
= [x12 - ( x1 + x2) x1 + x1. x2]. ( x1n + x2n)
=0
Bài tập tự luyện:
Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các số hữu tỷ nhận
một trong các nghiệm là:

a)

3 5
3+ 5

;

b)

2+ 3
2 3

b. Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3 bớc:
Bớc 1: Nếu phơng trình có 1 nghiệm, chọn nghiệm thứ 2 ( nếu cần)
Bớc 2: Tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Từ đó kết hợp với yêu cầu bài toán đi đến điều phải chứng

(1); x1. x2 = 5 m
(2)
Từ (2) suy ra : m = 5 - x1. x2 .
Thay vào (1) ta đợc: x1 + x2 = x1.x2
-6
Vậy hệ thức cân tìm là: x1 + x2 - x1.x2 + 6 = 0
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m - 4)x + m 3 = 0 có hai nghiệm x1;
x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào
m.
Bài 2: Cho phơng trình:(m-1)x2 2m x + m + 1 = 0 có hai nghiệm
x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc
m.
b. Nhận xét: : Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3
bớc:
Bớc 1: Chỉ ra phơng trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của
tham số(nếu cần)
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng và tích các nghiệm.
Bớc 3: Cộng, trừ, nhân hay chia hai vế để khử tham số ta đợc hệ
thức cần tìm.
*)Dạng 10: Các bài toán về tìm GTNN, GTLN
a) Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 + (4m +1)x +2m 4 = 0
Tìm m để biểu thức A = (x1 x2)2 có giá trị nhỏ nhất.
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Thị xã Hồng Lĩnh Hà Tĩnh - Năm
2006- 2007)
Giải: Ta có = 16m2 + 17 > 0 m. Vậy phơng trình đã cho luôn có
nghiệm.
áp hệ thức Vi ét ta có x1 + x2 = - (4m + 1) ; x1. x2 = 2(m 4)
Do đó A = (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 - 4 x1 .x2 = [- (4m+1)]2- 4 . 2(m - 4)

thức :
P = x12 + x22 + x1. x2
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS Cẩm Xuyên Hà Tĩnh - Năm 20032004)
Trên đây là một số dạng toán sử dụng kiến thức hệ thức Vi ét
để giải, xin đa ra để trao đổi cùng đồng nghiệp.Rất mong các
đồng nghiệp góp ý để giúp các em học sinh học tập môn Toán và
tham gia vào các kỳ thi làm bài tốt hơn.