MỤC LỤC
TT

Nội dung

Trang

1

Mở đầu

2

1.1

Lí do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2-3


Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để
thực hiện vấn đề
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết luận, kiến nghị

3.1

Kết luận

18

3.2

Kiến nghị

18

4

Tài liệu tham khảo

20

2.4

16-17
18

1

2


- Quy tắc thế và quy tắc cộng đại số; các hệ phương trình đại số bậc hai, bậc ba
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu nhập thông tin : Để hoàn
thành tốt đề tài tôi đã sử dụng kết hợp việc nghiên cứu các tài liệu đã xuất bản dành
cho học sinh giỏi lớp 9, các đề thi HSG lớp 9 các tinh, các trang mạng toán học.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Thu thập thông tin từ giáo viên trực tiếp
giảng dạy môn Toán lớp 9 ở các trường trong cùng huyện hoặc ngoài huyện và từ
những học sinh trực tiếp tham gia lớp đội tuyển do bản thân trực tiếp phụ trách.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đề tài làm đề kiểm
tra theo chuẩn kiến thức kĩ năng để đánh giá tính hiệu quả đối với việc vận dụng kiến
thức phần hệ phương trình. Từ đó sửa đổi bổ sung và hoàn thiện những thiếu sót của
đề tài.
- Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý thông tin, đánh giá kết quả
thực nghiệm sư phạm. So sánh kết quả đạt được trước và sau áp dụng đề tài.

3


2 - NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1

Quy tắc thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta
biểu diễn một ẩn theo ẩn kỉa rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới ( chỉ còn một ẩn )

a/  2 2
2
 x y = 10y − 1

 x 2 + 2xy + 2y 2 + 3x = 0
b/ 
2
 xy + y + 3y + 1 = 0

Kết quả cụ thể :
4


Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7,5

Điểm 7,75 – 8,75

Điểm 9 – 10

SL

%

SL

SL

%

Trong quá trình ôn tập và giảng dạy phần giải hệ phương trình tôi đã hướng dẫn
cho học sinh một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương
pháp cộng đại số như sau:
2.3.1 Kĩ thuật biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại hoặc một biểu thức chứa ẩn theo
các ẩn
Bài 1 Giải hpt (VN math.com)

 xy = x + 7y + 1
 2 2
2
 x y = 10y − 1

( 1)
( 2)

Giải
Với y=1 hpt vô nghiệm
Với y ≠ 1 pt ( 1) ⇔ x ( y − 1) = 7y + 1 ⇔ x =

7y + 1
thay vào pt(2) ta được
y −1

2

 7y + 1  2
2
4
3
2

2

 x + y + 2x + 2y + 1 = 0

( 1)
( 2)

Giải
pt ( 1) ⇔ y 2 + 1 = xy thay vào pt(2) ta được

x 2 + xy + 2 ( x + y ) = 0 ⇔ ( x + y ) ( x + 2 ) = 0
x = −y
⇔
 x = −2

 y 2 + y 2 + 1 = 0
Với x=-y hpt trở thành  2
hpt vô nghiệm
2
 y + y + 1 = 0
Với x = −2 ⇒ y = −1
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-2 ;-1)
Lời bình: Trong phương trình (2) có chứa biểu thức y 2 + 1 nên gợi ý cho ta có thể
thế biểu thức này bởi tích xy được rút ra từ phương trình (1). Bài này ta có thể giải
bằng phương pháp cộng đại số sẽ được trình bày trong bài 11. Các bài tập 3,4,5,6 cũng
được trình bày theo kĩ thuật này tuy nhiên biểu thức dùng để thế khó phát hiện hơn,
phải qua việc biến đổi phương trình ta mới rút ra được.
Bài 3: Giải hệ phương trình (VNmath.com-Đặng Thành Nam)

6

 y + 1 ÷ y + 2y  y + 1 ÷+ y  y + 1 + 1÷ = 12y − 1






2
4 ( y − 1) ( 9y + 1) y
⇔
= y −1
2
( y + 1)
y = 1
y = 1

⇔
1
2 ⇔
2
y =
( 9y + 1) y = ( y + 1)
3

Với y = 1 ⇒ x = ± 2
1
Với y = ⇒ x = 0
3

(

16 ( 4 + xy )
= 32 ⇔ 4 + xy = 2 ( x + 2 )
x+2

x = 0
⇔ x ( y − 2) = 0 ⇔ 
y = 2

Với x = 0 ⇒ y = 8
Với y = 2 ⇒ x = 2 v x = −6
Vậy hpt có 3 nghiệm

( x, y ) = ( 0;8 ) , ( 2;2 ) , ( −6;2 )

Bài 5 Giải hệ phương trình

( x − 1) 2 + 6 ( x − 1) y + 4y 2 = 20
 2
2
 x + ( 2y + 1) = 2
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 x 2 − 2x + 1 + 6xy − 6y + 4y 2 = 20
 2
2
 x + 4y + 4y + 1 = 2

( 1)
( 2)


y + y = 1
 x
2

( 1)
( 2)

Giải
Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0
x2
Vì x =2 không là nghiệm hpt nên pt ( 1) ⇔ y =
thay vào pt(2) ta được
2−x

x4
x( 2 − x)

2

+

x2
1
2
= ⇔ 2x 4 − 2x 3 ( x − 2 ) = x ( 2 − x )
2−x 2

⇔ 3x 3 + 4x 2 − 4x = 0 ⇔ x ( 3x 2 + 4x − 4 ) = 0
⇔ 3x 2 + 4x − 4 = 0
 x = −2 ⇒ y = 1


+ y ) ( x + y ) + x ( 2x + 1) = 4x 2 + x + 3y − 2y

⇔ ( 2x 2 + y ) ( x + y ) = 2x 2 + y ⇔ ( 2x 2 + y ) ( x + y − 1) = 0

9


 2x 2 + y = 0
⇔
x + y −1 = 0
Với x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − x thay vào pt(2) ta được

2x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x =

1 ± 17
3 m 17
⇒y=
4
4

Với 2x 2 + y = 0 thay vào pt(2) ta được 2x 2 − x + 7 = 0 pt vô nghiệm
 1 ± 17 3 m 17 
;
Vậy hpt có 2 nghiệm ( x, y ) = 
÷
17
4 

Lời bình: Vai trò của hằng số 7 trong hai phương trình của hệ là mấu chốt để


 y = −1
2
Với x=3 thay vào pt(2) ta được y + 8y + 7 = 0 ⇔ 
 y = −7

Vậy hpt có 2 nghiệm ( x, y ) = ( 3; −1) , ( 3; −7 )
Bài 9 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2014-2015)
 x2 + y2 = 2 x2 y2


2 2

( x + y)(1 + xy) = 4 x y

Giải
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Nhận thấy nếu x ≠ 0 thì y ≠ 0 và ngược lại
Xét x ≠ 0 ; y ≠ 0 hệ phương trình tương đương với
1 1
1 1
(1)
+
=
2
 x2 y2
 x2 + y2 = 2
⇔

1

( 1)
( 2)

Giải
11


Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được
x 2 + ( 4y + 3) x + 4y 2 + 6y + 2 = 0
2
Ta có : ∆ x = ( 4y + 3) − 4.( 4y + 6y + 2 ) = 1
2

Phương trình có nghiệm
 x = −2y − 1
 x = −2y − 2

Với x=-2y-1 thay vào (2) ta được
 y = 1 + 2 ⇒ x = −3 − 2 2
y 2 − 2y − 1 = 0 ⇔ 
 y = 1 − 2 ⇒ x = −3 + 2 2

Với

x=-2y-2 thay vào (2) ta được


1− 5
⇒ x = −3 + 5
y =

( 1)
( 2)

Hệ phương trình này giải được khi ta tìm được một hệ thức giữa x và y từ một phương
trình trong hệ. Vì mỗi phương trình trong hệ là phương trình bậc hai nên ta thường
nghĩ đến ∆ x , ∆ y có dạng A2. Nhưng nếu cả 2 phương trình mà biệt thức ∆ x , ∆ y không
có dạng chính phương thì ta phải làm thế nào ? Lúc này ta phải tìm số k sao cho
phương trình pt(1)+k.pt(2)=0 có ∆ x , ∆ y dạng chính phương.
Đặt a = a1 + ka 2 ,b = b1 + kb 2 ,c = c1 + kc 2 ,d = d1 + kd 2 ,e = e1 + ke 2 ,f = f1 + kf 2

12


Số k là nghiệm của phương trình : cde + 4abf = ae2 + bd 2 + fc 2 (*)
Kết hợp với sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm được số k. Ta thấy rằng phương pháp
này rất mạnh giải quyết được một lớp các hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn.
Bài 11 Giải hệ phương trình:
2

 y − xy + 1 = 0
 2
2

 x + y + 2x + 2y + 1 = 0

( 1)
( 2)

Giải
Áp dụng (*) ta tìm được k=-1

Ta sẽ chọn các số a,b,k bằng việc đồng nhất hệ số
13


x 3 + 2kx 2 − 4kx − y3 + 3ky 2 + 9y − 35 = ( x + a ) − ( y + b )
3

3

a 3 − b3 = −35
 k = −3

3a = 2k

⇔ 2
⇔ b = 3
3a
=
−
4k

a = −2

b = −k

Vậy ta đi đến lời giải bài toán
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) ta được

( x − 2)



3

= ( 3 − y) ⇔ x = 7 − y
3

( 3)

Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được
y = 4 ⇒ x = 3
y 2 − 7y + 12 = 0 ⇔ 
y = 3 ⇒ x = 4

Vậy nghiệm của hệ là (3;4) ; (4;3)
14


Bài 14 Giải hệ phương trình
3
2

 x + 3xy = −49
 2
2

 x − 8xy + y = 8y − 17x

( 1)
( 2)


2
⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 ( y − 4 )  = 0


 x = −1

⇔   x = −1
  y = 4

Với x = −1 ⇒ y = −4
 x = −1
Với 
thỏa mãn hệ phương trình
y = 4

Vậy nghiệm hệ là (-1;-4); (-1;4)
Bài 15 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2012-2013)

15


8

2
+
3
x
=

y3


⇔ x = z Thay vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0
⇔ (x+1)2(x - 2) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2

Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (−1; −2)
Với x = z = 2 ⇒ y = 1 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (2;1)
Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là (−1; −2) và ( 2;1)
Lời bình :Sau khi đổi biến thì hệ phương trình đã cho trở thành hệ đối xứng loại 2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi học sinh được học về phần này tôi đã tiến hành cho học sinh làm bài kiểm
tra 45 phút
Đề bài : Giải các hệ phương trình sau

16


 x 3 + y3 = 9
a/  2
2
 x + 2y = x + 4y
 x 3 + 2xy 2 = 5
c/  2
2
2x + xy + y = 4x + y

b/

 x 2 + xy + y2 = 3
 2


%

3

8,57

15

42,86

12

34,29

5

14,28

Đề bài này khó hơn đề bài khảo sát trước khi các em được học « một số kĩ
thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số » nhưng
kết qủa khảo sát cho thấy số lượng học sinh được điểm từ 7,75 đến 10 là cao hơn hẳn,
đặc biệt có 5 học sinh đạt từ điểm 9 đến 10. Điều này cho thấy các em học sinh đã
nắm bắt được tri thức phương pháp của sáng kiến và biết vận dụng sáng tạo trong việc
giải hệ phương trình.
Trong năm học 2016-2017 tôi được phân công phụ trách bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi đi thi tỉnh môn Toán khối lớp 9,tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này trong
công tác dạy đội tuyển và đã giúp các em có nhiều chuyển biến tích cực trong tư duy
,trong cách học, cách tiếp cận kiến thức,tạo được hứng thú trong học tập và các em có
thể sáng tạo các bài toán mới.

không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Đức Hữu

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách Giáo Khoa toán 9 tập 2 - Nhà xuất bản Giáo Dục
2.Toán nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình
3. Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Thanh hóa
4.Trang mạng Vnmath Luyện thi đại học – Đặng Thành Nam

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Tên đề tài SKKN

TT
1.

2.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại

2013-2014

Giúp học sinh lớp 8 tiếp xúc với các bài
toán hay và khó thông qua các bài tập
đơn giản

3.

Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ
thuật giải hệ phương trình bằng phương
20


pháp thế và phương pháp cộng đại số

Phòng

A

2016-2017

21