Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Chúng ta đã biết: Chương trình toán ở trường THCS giữ một vị trí hết sức
quan trọng. Nó là cơ sở, là tiền đề, là nền tảng, cho chương trình toán học ở cấp học
tiếp theo. Ngoài ra nó còn là môn học công cụ để học nhiều môn học tự nhiên khác.
Do đó mà trong quá trình dạy toán ở trường THCS thì khâu truyền thụ kiến thức cơ
bản cho học sinh là khâu vô cùng quan trọng, vì kiến thức cơ bản vốn là kiến thức
khoa học phải có và tồn tại trong mỗi một người học toán, trong suốt cả quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học. Thế nhưng trong thực trạng hiện nay ở các trường
nói chung là: “chất lượng thực” về môn toán còn thấp so với yêu cầu. Đó chính là
điều làm cho các nhà giáo nói chung và các giáo viên đang trực tiếp đứng lớp giảng
dạy bộ môn toán nói riêng phải băn khoăn, trăn trở.
Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục hiện
nay, bản thân tôi là một quản lí nhà trường và cũng đang trực tiếp đứng lớp giảng
dạy bộ môn toán ở trường THCS nên tôi tự đặt ra cho mình một nhiệm vụ là:
“Nâng cao chất lượng học tập bộ môn toán, thông qua việc rèn luyện các phương
pháp giải toán, trong đó chú trọng phần rèn luyện các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức” sao cho trong quá trình giải bài tập năng lực suy nghĩ sáng tạo của
học sinh được phát triển đa dạng và phong phú. Trong thực tế giảng dạy toán ở
trường THCS do toán về bất đẳng thức (BĐT) không có cách giải mẫu, không tuân
theo một phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi làm toán về BĐT,
học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào, vì vậy tôi chọn đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài sẽ giúp cho học sinh không còn bỡ ngỡ khi gặp các bài toán chứng
minh bất đẳng thức, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và khả năng tự giải quyết
vấn đề của học sinh từ đó giúp các em học tập tốt hơn, có hứng thú, say mê với bộ
môn toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng.
III. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 - Trường THCS An Hoạch

II. Thực trạng:
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp tôi thấy học sinh hầu
hết là rất ngại khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức. Theo tôi nguyên nhân chủ
yếu là để giải được một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần một tư duy logic và một
sự sáng tạo rất cao mà điều đó đối với đại bộ phận học sinh còn hạn chế. Đứng trước một
bài toán về bất đẳng thức các em không định hướng được là phải dùng cái gì để chứng
minh và chứng minh như thế nào? Có nghĩa là các em chưa có hướng giải. Vì thế vấn đề
đặt ra cho chúng ta khi gặp dạng bài toán về bất đẳng thức ta sẽ làm như thế nào? Đó là
câu trả lời không mấy dễ dàng đối với tất cả những người say mê nghề trồng người. Quan
trọng là giáo viên phải giải được thậm chí giải bằng nhiều cách từ đó chọn lọc cách diễn
đạt để học sinh có thể tiếp thu và hiểu một cách có sáng tạo bài giảng của giáo viên, tức là
thông qua mỗi bài toán có thể đưa ra các bài toán tổng quát, tương tự. Có thể đề ra cách
giải dạng toán ấy để học sinh nhận dạng các bài toán khác giúp học sinh nhìn bài toán ở
nhiều khía cạnh khác nhau. Giải bài toán bằng nhiều cách và từ đó chọn được những lời
giải đẹp. Và một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức vừa ngắn gọn vừa
dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta những lời giải đẹp là dùng BĐT phụ.
Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ngoài việc rèn luyện sự say
mê tìm tòi sáng tạo còn giúp các em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ trong
chứng minh bất đẳng thức là việc cần thiết với tất cả các thầy cô đang trực tiếp bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT và thi vào lớp 10 THPT chuyên.
III. Các giải pháp
Phần I: Các kiến thức cần lưu ý
1. Định nghĩa:

A ≥ B ⇔A −B ≥0

A < B ⇔A −B
+ 0 < A < 1 và m > n > 0 ⇒ Am < An
+ A > B và A.B > 0 ⇒

1
1
>
A B

3. Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
+ A ≥ 0, ∀A (Dấu “=” xảy ra khi A = 0)
+ A < a ⇔ −a < A < a
A > a
A < a

+ A > a ⇔

+ A + B ≤ A + B (Dấu “=” xảy ra khi AB ≥ 0 )

+ A− B ≥ A − B
Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
a. Kiến thức: + Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A − B ≥ 0
+ Lưu ý hằng bất đẳng thức A2 ≥ 0, ∀A
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0. CM rằng: a 3 +b 3 +abc ≥ ab( a +b +c )
Giải: Để chứng minh a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b + c ) (1)
3
3
Ta chứng minh hiệu: (a + b + abc) − ab( a + b + c) ≥ 0
⇔ a 3 + b3 + abc − a 2b − ab 2 − abc ≥ 0

2

Phạm Thị Thu Hương

Page 3


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9
3 a 2 +a +1
3a 2 +3 −2 a 2 −2 a −2
−
≥
0
⇔
≥0
2
a 2 +1
2( a 2 +1)

a 2 −2a +1
(a −1) 2
⇔
≥
0
⇔
≥ 0 (*)
2( a 2 +1)
2(a 2 +1)
a 2 + a +1 3
≤ đã được CM là đúng.

2

(2)

Vì bất đẳng thức (2) đúng ⇒ bất đẳng thức (1) đúng (Điều phải chứng minh)
1
1
1
1
1
Dấu “=” xảy ra khi a = ; b = ; c = ; d = ; a = b = c = d =
2
2
2
2
2
4
4
2
2
b. Để chứng minh cho a + b + c + 1 ≥ 2a (ab − a + c + 1) ≥ 0
Ta chứng minh hiệu: (a 4 + b 4 + c 2 + 1) − 2a(ab 2 − a + c + 1) ≥ 0
⇔ a 4 + b 4 + c 2 + 1 − 2a 2b 2 + 2a 2 − 2ac − 2a ≥ 0
⇔ (a 4 − 2a 2b 2 + b 4 ) + (c 2 − 2ac + a 2 ) + (a 2 − 2a + 1) ≥ 0

⇔ (a 2 − b 2 ) 2 + (c − a ) 2 + (a − 1) 2 ≥ 0
(2)
2
2
2

Do: 0 < c <1 nên 1 −c > 0

⇒(1 − a )(1 −b)(1 −c) > (1 − a −b)(1 −c) =1 − a −b − c + ac +bc

Mà a, b, c > 0 ⇒ ac + bc > 0 . Do đó: (1 − a )(1 − b)(1 − c) > 1 − a − b − c
Ta lại có: 0 < d < 1 nên 1 − d > 0
⇒ (1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d ) > (1 − a − b − c)(1 − d ) = 1 − a − b − c − d + ad + bd + cd
Mà b, c, d > 0 ⇒ ad + bd + cd > 0
Do đó : (1 −a)(1 −b)(1 −c)(1 −d ) >1 −a −b −c −d (Ta có điều phải CM)
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
a
b
c
d
1

+

a+b+c a+b+c+d

b
b
>
b + c + d a +b +c + d
c
c
>
c + d + a a +b +c + d
d
d
>
d + a +b a +b +c + d

(*)

(5)
(6)

minh C ≥ D và việc chứng minh này đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số a;b ta luôn có:
Phạm Thị Thu Hương

Page 5


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

a. a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0
b. a 2 + 2b 2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0
Giải: a. Ta có: a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0
⇔ (a 2 − 4ab + 4b 2 ) + (b 2 − 2b + 1) + (2a − 4b) + 2 > 0

(1)

⇔ (a − 2b) 2 + (b − 1) 2 + 2( a − 2b) + 2 > 0
⇔  (a − 2b) 2 + 2(a − 2b) + 1 + (b − 1) 2 + 1 > 0

⇔ (a − 2b + 1) 2 + (b − 1) 2 + 1 > 0
(2)
2
2
Vì (a − 2b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ 0 ⇒ Bất đẳng thức (2) luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức a 2 + 5b 2 + 2a − 4ab − 6b + 3 > 0 (1) đã được chứng minh.
b. Ta có a 2 + 2b 2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0
(1)
⇔ (a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2b + 1) + (2a − 2b) + 1 ≥ 0
⇔ (a − b) 2 + (b − 1) 2 + 2( a − b) + 1 ≥ 0
⇔ (a − b) 2 + 2( a − b) + 1 + (b − 1) 2 ≥ 0

−
( x − 4 x + 4 ) + 6 

x 2 +1

10 + 4 x − x 2

⇔ ( x − y ) − 2  ≥ 0



(**)

Vì bất đẳng thức (**) luôn đúng nên BĐT (*) đã được chứng minh đúng.
Ví dụ 4: Cho ab ≥1 . Hãy chứng minh
Giải: Ta có:

1
1
2
+
≥
2
2
1+a
1 +b
1 + ab

1
1
2
+
≥
2
2
1+ a
1+b


2

⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a 2 + c 2 + 2ac + b 2 + d 2 + 2bd
⇔ 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (a 2 + c 2 − b 2 + d 2 ) + 2(ac + bd ) − (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )

⇔ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd

(2)

- Nếu ac + bd < 0 thì BĐT (2) được chứng minh ⇒ BĐT (1) được chứng minh.
- Nếu ac + bd ≥ 0 thì bất đẳng thức (2) tương đương với:

( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 = a 2c 2 + b 2 d 2 + 2abcd

⇔ a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2c 2 + b 2 d 2 + 2abcd
⇔ a 2 d 2 + b 2c 2 − 2abcd ≥ 0
⇔ (ad − bc) 2 ≥ 0 (3)
Vì bất đẳng thức (3) luôn đúng ⇒ BĐT (2) đúng ⇒ Bất đẳng thức (1) đúng.
Vậy BĐT:

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2 đã được chứng minh.

Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
a. Một số bất đẳng thức hay dùng:
*) Các bất đẳng thức phụ:
+ x 2 + y 2 ≥ 2 xy
+ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy
a b
2

(3)
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) vế với vế ta được:
x 2 + y 2 + x 2 + 1 + y 2 + 1 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y
⇔ x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y
Ví dụ 2: Cho a,b > 0. Chứng minh rằng : 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2
Giải: Ta có 3a 3 + 7b3 = 3a 3 + 3b3 + 4b3 . Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

3a 3 + 3b3 + 4b 3 ≥ 3 3 3a 3 3b 3 4b 3 ≥ 3 3 3a 3 3b3 3b 3 = 3.3abb = 9ab 2
Vậy bất đẳng thức: 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 đã được chứng minh đúng.
Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai
a. Kiến thức cần lưu ý:
Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c với a ≠ 0
Có ∆ = b 2 − 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a. Nghĩa là a. f ( x ) > 0, ∀x
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với a. Nghĩa là a. f ( x ) > 0, ∀x ≠

−b
2a

- Nếu ∆ > 0 thì: + f(x) cùng dấu với a.( tức là a. f ( x ) > 0 ) khi x ∉ [ x1 , x2 ]
+ f(x) khác dấu với a.( tức là a. f ( x ) < 0 ) khi x1 < x < x2
b. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a. f ( x, y ) = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0; ∀x, y
b. f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 2 x − 4 y + 3 > 0; ∀x, y
Giải: a. Ta có: f ( x, y ) = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0
⇔ f ( x, y) = x 2 + 2(1 − 2 y) x + 5 y 2 − 6 y + 3 > 0
a = 1 > 0

⇒
Giải: Từ giả thiết ta có: 
 xy + yz + zx = 8  yz = 8 − x (5 − x)
Theo Vi-et thì y,z là nghiệm phương trình bậc hai:
t 2 − (5 − x)t + 8 − x(5 − x) = 0
(1)
Vì phương trình (1) luôn có nghiệm nên (1) ⇔ ∆ ≥ 0
Chứng minh rằng 1 ≤ x, y, z ≤

⇔ ∆ = (5 − x) 2 − 4 [ 8 − x(5 − x) ] ≥ 0

⇔ 25 −10 x + x 2 − 32 + 20 − 4 x 2 ≥ 0
⇔ −3 x 2 + 10 x − 7 ≥ 0
7
⇔1 ≤ x ≤
3
7

Tương tự ta chứng minh được 1 ≤ y, x ≤ 3 (ta có điều phải chứng minh)
Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học
a. Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc vào
số nguyên dương n) thì ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh. Để chứng
minh bất đẳng thức đúng với n > n0 ta thực hiện các bước sau:
*) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 .
*) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k . (thay n = k vào bất đẳng thức cần
chứng minh và bất đẳng thức đó được gọi là giả thiết quy nạp)
*) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k +1 vào bất đẳng
thức cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp).
*) Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 0.
b. Một số ví dụ:

2k
3k + 1
Phạm Thị Thu Hương

Page 9


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

+ Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k +1. Nghĩa là ta cần chứng minh rằng:
1 3
2k + 1
1
P (k + 1) = . ....


3( k +1) +1

(5)

1
3(k + 1) + 1
Do đó bất đẳng thức (3) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng với ∀n ∈ N và n > 1.
1 1
1
1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 − (1) với ∀n ∈ N , n > 1
2 3
n
n
1
1
1
1
1
Giải: + Với n = 2 ta có : 1 + 2 = 1 + = 1 < 2 − = 1
(đúng)
2
4
4
2
2
+ Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k , k ∈ N , k > 1

Từ (4), (5) ta có: P (k + 1)

k +1
1
Cộng 2 vế của bất đẳng thức (2) với
ta được:
(k + 1) 2
1 1 1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 +
< 2− +
2
2
1 2 3
k
(k + 1)
k (k + 1) 2
Ta có:

1 1 1
1
1
1
1
1
+
+
+
...


⇔

(4)

1
1
1
+


1 1 1
Nếu x + y + z > + + Thì chỉ có 1 và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1.
x y z
Giải: Ta có: ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ( xy − x − y + 1)( z − 1)

= xyz − xy − xz − yz + x + y + z − 1
= x + y + z − ( xy + xz + yz ) (vì xyz = 1)
1 1 1
= x+ y+ z−( + + )
x y z
Theo giả thiết thì:

x + y +z >

1 1 1
+ +
x y z

1 1 1
+ + >0
x y z
⇒ ( x − 1)( y − 1)( z − 1) > 0
(*)
+) Giả sử cả 3 số: (x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương thì:
x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 Điều này trái với giải thiết xyz = 1.
+) Nếu chỉ 2 trong 3 số: ( x − 1), ( y − 1), ( z − 1) dương thì:
−( x − 1)( y − 1)( z − 1) < 0 (Điều này vô lý vì trái với (*))
Vậy chỉ có 1 và chỉ một trong 3 số x,y,z > 1.
Ví dụ 3: Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh ba bất đẳng thức sau:
Nên

1 2 1
2
Ta có a (1 − a ) = a − a = − (a − ) ≤
(5)
4
2
4
a (1 − b) >

Tương tự ta có:

1
1
1
−(b − ) 2 ≤
4
2
4

(6)

1
1
1
− (c− ) 2 ≤
4
2
4

(7)

⇒ a 3 + b3 ≥ (a + b)ab
⇒ a 3 + b3 + abc ≥ (a + b)ab + abc
1
1
1
⇒ 3 3
≤
=
a + b + abc (a + b)ab + abc ab(a + b + c )
1
c
⇒ 3 3
≤
(1)
a + b + abc abc (a + b + c)
Tương tự ta có:

1
b + a + abc
3

3

1

≤

a
abc (a +b + c )


1
+
+


x +y

1 1
4
+ ≥
x y x+y

cho từng cặp số: p − a, p − b; p − b, p − c và p − c, p − a

1
1
4
4
4
+
≥
=
=
p − a p − b p − a + p − b 2 p − (a + b ) c

Tương tự ta có:

(đúng)

(1)

1
1
4
+

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + ) (ta có điều phải chứng minh)
p − a p −b p − c
a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở các BĐT (1)(2)(3) đồng thời xảy ra. Nghĩa là :
 p − a = p −b

 p −b = p −c
p −c = p −a


⇔ p − a = p −b = p −c
⇔a =b = c
⇔ ∆ABC là tam giác đều.
Phương pháp 9: Phương pháp hình học
a. Kiến thức cần lưu ý:
∆ABC có số đo các cạnh
c
Là a, b, c như hình vẽ bên.
c
Phạm Thị Thu Hương

A
b

Giải: Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 ∆ nên áp dụng BĐT trong tam giác ta có:
a 2 < ab + ac
0 < a < b +c
 2

0 < b < a +c ⇒b < bc + ab
0 < c < a +b
c 2 < ca +bc



Cộng vế với vế 3 BĐT cùng chiều trên ta có a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac ) (1)
Ta lại có: (a − b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab (2)
Tương tự ta có: b 2 +c 2 ≥ 2bc (3) ; a 2 + c 2 ≥ 2ac (4)
Cộng vê với vế các bất đẳng thức cùng chiều (2)(3)(4) ta được:
2( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2ab + 2bc + 2 ac

(5)
⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac
2
2
2
Từ BĐT (1) và (5) ta có: ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (đpcm)
Ví dụ 2: Cho x, y, z >0 và xyz(x+y+z) = 1. Chứng minh rằng: ( x + y )( y + z ) ≥ 2
Giải: Đặt x = p – a ; y = p – b ; z = p – c
Ta có: x + y + z = p − a + p − b + p − c
= 3 p −a
+
14+2b 4
3c = p

Giải: Ta có điều kiện: x ≤ 1

Phạm Thị Thu Hương

Page 14


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Vì y ≥ 0 cho nên y 2 =

(

1− x + 1+ x

)

2

= 2 + 2 1 − x2

⇔ 2 ≤ y2 ≤ 4
⇔ 2≤ y≤2
⇒ Max y = 2 khi x = 0 ;
Min y = 2 khi x = ±1
xy z − 1 + xz y − 2 + yz x − 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của: f ( x, y, z ) =
xyz
xy z − 1 + xz y − 2 + yz x − 3
=

x
2 3

z −1
+
z

y−2
x−3
+
y
z

(1)
(2)
(3)

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
f ( x, y , z ) ≤

1
1
1
+
+
2 2 2 2 3

⇔ f ( x, y, z ) ≤

1

2
3)

x = 6


Ví dụ 3: Cho x, y, z tùy ý thỏa mãn: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 + y 4 + z 4
Giải: Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

12 = ( xy + yz + zx) 2 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )
(1)
⇔ 1 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 )2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với 2 bộ số:
Ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ (12 + 12 + 12 )( x 4 + y 4 + z 4 )
Phạm Thị Thu Hương

1;1;1
 2 2 2
x ; y ; z

(2)
Page 15


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Từ (1) và (2) ta có: 1 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 ) ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≥


Giải: Sử dụng BĐT Cosi: xét 5 số không âm:

1 −x 1 −x 1 + x 1 + x 1 + x
;
;
;
;
2
2
3
3
3

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2

2

5

5

1 − x  1 + x 
 1  1 − x 1 − x 1 − x 1 − x 1 − x 
+
+
+
+

÷

2 .3
2
5  
 5
25
3456
⇔ A ≤ 5 .2 2.32 =
5
3125
3456
1 −x
1 +x
Max A =
khi 2 = 2
3125
1
⇔ 3(1 − x ) = 2(1 + x) ⇔ x =
5
1
3456
Vậy Max A =
khi x =
3125
5
x y z
= =

1
1
1

(1)
100
10
Giải: Ta có x −10 x +9 = 0
x100 + 9 = 10 x10
100
{
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 10 số : x ,1,...,1
9 so

Ta có:

x100

}9
+1,...,1
≥10 x100 ,1,...,1
{
10
9

⇔

x100 +9
≥ x10 ⇔ x100 + 9 ≥10 x10
10

(2)

Vậy nghiệm của (1) khi BĐT (2) xảy ra dấu “=” ⇔ x100 = 1 ⇔ x = ±1


(3)

1 + 1 −x
1 −x =4 1(1 −x) ≤
2

(4)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều (2), (3), (4) ta được:
4

Hay

1 −x 2 + 4 1 + x + 4 1 −x ≤1 + 1 + x + 1 −x

VT ≤ 1 + 1 + x 1 + x ≤ 1 +

1 + (1 + x ) 1 + (1 − x)
+
2
2

⇒VT : 4 1 − x 2 + 4 1 + x + 4 1 − x ≤ 3

Như vậy nếu thỏa mãn thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1 + x = 1 − x

 1 + x =1


6
3
≥4 9 ⇔ ≥ 3
4
2

(3)

(4)

Vì (4) không đúng, nên điều giả sử x0 y0 là nghiệm của hệ phương trình là sai.
Vậy hệ phương trình đã cho là vô nghiệm.
(1)
 x − y + 2 x + y −1 = 3

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 

2 x + y = 1
(2)
Giải: Ta có phương trình (2) ⇔ y = 1 − 2 x
Thế y = 1 − 2 x vào phương trình(1) ta có: 3 x − 1 + 2 x + 1 − 2 x − 1 = 3
⇔ 3 x −1 + 2 x = 3

(3)
1
3

Ta xét các khả năng: x < 0, 0 ≤ x < , x ≤
Phạm Thị Thu Hương


⇒ y=−

3
5

−2 9 
 4 −3 
, ÷ và ( x, y ) =  ,
÷
 5 5
5 5 


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x, y ) = 

3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên:
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

1
1
1
+ + =2
x
y
z

Giải: Giả sử x ≥ y ≥ z > 0 ta có:
1 1 1 3
+ + ≤
⇒ 2 z ≤ 3 mà z nguyên nên z = 1

⇒ z 2 = 3 ⇒ z = ± 3 ∉ z (loại)

Suy ra x ≤ y < z ⇒ xy < 3 mà x,y nguyên dương. Do đó xy=2 hoặc xy = 1
- Với xy = 2 ⇒ x = 1. y = 2 ⇒ z = 3
- Với xy = 1 ⇒ x = y = 1 ⇒ z không tồn tại.
Vậy nghiệm nguyên dương của pt (1) là (1;2;3) và các hoác vị của nó.
Ví dụ 3: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

x + x = y (*)

Giải: + Với x < 0, y < 0 thì phương trình (*)không có nghĩa
+ Với x > 0, y > 0 thì ta có x + x = y ⇒ x + x = y 2 ⇒ x = y 2 − x > 0
Đặt x = k ( k ∈ z; k > 0 vì x nguyên dương)
Ta có: k 2 +k = k (k +1) < k (k +1) = y 2
Phạm Thị Thu Hương

Page 18


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

Nhưng k 2 < k (k +1) < (k +1) 2 ⇒k < y < k +1
Mà giữa k và k + 1 là 2 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên
duơng nào cả. Nên không có cặp số nguyên dương nào thỏa mãn phương trình
(*). Vậy phương trình (*) có nghiệm nguyên duy nhất là x = 0, y = 0.
IV. Hiệu quả áp dụng SKKN:
Quả thật chuyên đề về bất đẳng thức được xuyên suốt trong chương trình môn
Toán ở các bậc học: từ THCS đến THPT và Đại học. Trong khuôn khổ của đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”. Tôi đã trình bày 9
phương pháp cơ bản nhất về chứng minh bất đẳng thức. Trong mỗi phương pháp tôi

38%
35%
5%
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Kết luận:
Để hoàn thành tốt nhiệm vụ của người thầy và đáp ứng nhu cầu ngày càng
cao của học sinh đòi hỏi người thầy phải không ngừng học hỏi, nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ và thực sự tâm huyết với nghề nghiệp. Trong quá trình
giảng dạy, người thầy phải đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, linh hoạt sáng tạo
để tìm ra cách giúp học sinh có khả năng tổng hợp kiến thức và hình thành
phương pháp giảng dạy cho mỗi loại toán cụ thể, từ đó phát hiện, bồi dưỡng cho
học sinh có năng khiếu bộ môn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sáng
tạo…làm cho các em yêu thích bộ môn. Muốn như vậy các bài tập đưa ra phải
bao gồm bài dễ để củng cố kiến thức cơ bản, đến bài khó để phát hiện tư duy, bài
trước là gợi ý cho bài sau. Các phương pháp giải khi cung cấp cho học sinh phải
dễ hiểu, dễ vận dụng, phù hợp với khả năng học sinh, trên cơ sở kiến thức đó mà
học sinh có thể tự học, tự giải quyết những vấn đề đặt ra và tự mình khám phá,
Phạm Thị Thu Hương

Page 19


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9

lĩnh hội kiến thức. Hơn nữa với mỗi bài toán ngoài việc tìm phương pháp giải hợp
lý, cần thay đổi dữ kiện bài toán, đặc biệt hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa…để đưa
học sinh đến tình huống mới cần giải quyết.
II. Đề xuất:
Phòng Giáo dục và Đào tạo cần tổ chức Hội thảo cho giáo viên học tập và áp dụng
những sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng. nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.

nào? Có nghĩa là các em chưa có hướng giải. Vì thế vấn đề đặt ra cho chúng ta khi gặp dạng bài
toán về bất đẳng thức ta sẽ làm như thế nào? Đó là câu trả lời không mấy dễ dàng đối với tất cả
những người say mê nghề trồng người. Quan trọng là giáo viên phải giải được thậm chí giải
bằng nhiều cách từ đó chọn lọc cách diễn đạt để học sinh có thể tiếp thu và hiểu một cách có
sáng tạo bài giảng của giáo viên, tức là thông qua mỗi bài toán có thể đưa ra các bài toán tổng
quát, tương tự. Có thể đề ra cách giải dạng toán ấy để học sinh nhận dạng các bài toán khác
giúp học sinh nhìn bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau. Giải bài toán bằng nhiều cách và từ đó
chọn được những lời giải đẹp. Và một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức
vừa ngắn gọn vừa dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta những lời giải đẹp là dùng
BĐT phụ. Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ngoài việc rèn luyện sự
say mê tìm tòi sáng tạo còn giúp các em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ trong chứng
minh bất đẳng thức là việc cần thiết với tất cả các thầy cô đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi
các cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT và thi vào lớp 10 THPT chuyên.............................................2
III. Các giải pháp.................................................................................................................................2
Phần I: Các kiến thức cần lưu ý..........................................................................................................2
1. Định nghĩa:.................................................................................................................................2
2. Tính chất:....................................................................................................................................2
3. Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:....................................................3
Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức...............................................................3
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa..................................................................................................3
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức.......................................................................4
Phương pháp 3: Biến đổi tương đương........................................................................................5
Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.............................................................7
a. Một số bất đẳng thức hay dùng:...........................................................................................7
b. Một số ví dụ:..........................................................................................................................8

Phạm Thị Thu Hương


Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9