Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

1.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn
luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy
việc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó
giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó
vào cuộc sống. Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến
thức toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy
còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra
trong học tập và sau này.
Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phù hợp
để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được công cụ thích
hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu. Để có bài giảng thu hút được được
học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tới niềm say mê
sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trở với những khó
khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.
Bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số là bài toán thường xuất hiện
trong các đề thi thử THPTQG của bộ gần đây.Vì vậy nó luôn được sự quan tâm
đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên. Bên cạnh đó nó cũng là bài toán khó
đối với nhiều đối đối tượng học sinh đặc biệt là các em có năng lực trung bình và
yếu. Bởi phần nhiều học sinh rất mông lung, mơ hồ không nắm được bản chất của
giới hạn tại vô cực và giới hạn trái, giới hạn phải tại một điểm. Điều này đã gây
cho học sinh nhiều khó khăn khi tiếp cận. Băn khoăn trước những khó khăn của
học sinh tôi đã quyết định tìm tòi nghiên cứu để làm sao giúp các em lấy điểm trọn
vẹn các câu có nội dung liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số trong kỳ thi
THPTQG lần này. Chính vì vậy tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Định hướng
cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thị hàm số’’

a.Đường tiệm cân đứng của đồ thị hàm số: y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị
f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0 .
hàm số y = f(x) ⇔ xlim
→+∞
x →−∞

b. Đường tiệm cân ngang của đồ thị hàm số:
x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều
f ( x) = +∞ ; lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ ,
kiện sau được thỏa mãn ⇔ xlim
→x
x→ x
x→x
0

+

0

−

0

−

lim f ( x) = −∞

x → x0+

c.Nhận xét: +Tiệm cận ngang là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox

vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất vào những buổi học bồi dưỡng. Trong
cùng một mảng kiến thức nhưng tôi có xây dựng nhiều câu hỏi trắc nghiệm liên
quan để từ đó học sinh có kỹ năng làm bài tốt hơn.
2.2.2. Đối với học sinh:
Là một ngôi trường chuyển từ trường bán công sang công lập nên tập thể giáo
viên và học sinh cũng có những thuận lợi và khó khăn nhất định nói chung, đặc
biệt là việc dạy và học môn toán nói riêng.
Do đặc điểm của khu vực và thực tế của địa phương nên chất lượng của học
sinh THCS không đồng đều, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa
thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của
các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình, nhiều học sinh có tình trạng “mất
gốc” về kiến thức, đặc biệt là môn toán. Tỉ lệ học sinh trung bình và yếu, kém
chiếm hơn 80%. Hơn nữa điểm đầu vào của trường chúng tôi là tương đối thấp so
với mặt bằng chung của tỉnh. Cụ thể là: 2015-2016 là 16 điểm /5 môn và năm học
2016-2017 là 16,5 điểm /5 môn. Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy
và học của giáo viên, học sinh trường THPT Đinh Chương Dương.
Với các bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số học sinh hầu như
khi tiếp cận với định nghĩa thì thấy rất mông lung khó hình dung vì nó liên quan
đến giới hạn hàm số.Chính vì vậy, để giúp học sinh hiểu rõ bản chất, hình thành
được kỹ năng xác định các đường tiệm cận cũng như vị trí của các đường tiệm cận

Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương

3


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

 m

+TXĐ: D= R\ −

n
a
a
+TCĐ: lim ny = ∞ ⇒ ( d ) : x = − m +TCN: lim y = ⇒ ( d ) : y =
x→ −

m

x →∞

m

m

y

f(x)=x/(x-1)
f(x)=1

3

x(t )=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1

-14



I

1
-1

x
1

-1
-2

2

x =−

3

4

5

n
m

-3
-4
-5
-6
-7


B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y =

3
2

C.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1
D.Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Định hướng bài toán:
- Đối với học sinh khá giỏi =các hiểu rõ được bản chất và sẽ giải quyết bài toán
1
x = 3 ⇒ TCN : y = 3
lim y = lim
.
x →± ∞
x→ ±
1 2
2
2−
x
3+

như sau:

Còn muốn tìm TCĐ :

lim ± y = ± ∞⇒ x =

1
x → 


)

+ m x −1
có đường tiệm cận ngang đi qua điểm A( − 3;2)
x−2
m = 1

C. 
m = 2

m = −1

D. 
m = 2

THPT Đinh Chương Dương

5


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

Phát hiện vấn đề: Khi các em đã nắm được qui tắc ở ví dụ 1 thì ở ví dụ này việc
phát hiện tiệm cận ngang là khá đơn giản đối với các em vì các em nhận thấy rằng
phân thức có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đường TCN : y = m 2 + m
m = 1

Giải quyết vấn đề: A ∈TCN ⇔ 2 = m 2 + m ⇔ 


2
Còn để tìm TCĐ : x − 4 = 0 ⇔ 

Từ đó học sinh đưa ra được đáp án là A.
Ví dụ 5: Số đường tiệm cân của đồ thị hàm số y =
A. 1

B. 2

C. 3

x2 − 3x + 2
là:
x2 − 2 x + 3

D. 4

Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học
sinh sẽ cho ngay được kết quả TCN : y = 1
Để tìm TCĐ: x 2 − 2 x + 3 = 0 (vn) nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
Giải quyết vấn đề: Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận.
3x 2 − 4 x − 7
Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số y = 2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x − 4x − 5

A. 1

B. 2

x2 + x − 2

đứng?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Phát hiện vấn đề: Cũng giống như ví dụ 6 để tìm TCĐ học sinh cho mẫu số bằng
0 rồi giải phương trình tìm nghiệm thay vào tử số.
x = 1 ⇒ 4 −1 − 3 = 0

2
Giải quyết vấn đề: : x + x − 2 = 0 ⇔ 

 x = −2 ⇒ −8 − 1 − 6 ≠ 0

nên đồ thị hàm số có

1 đường tiệm cận đứng x = −2
Ví dụ 8: Biết đồ thị y =

( a − 2b ) x 2 + bx + 1 có đường tiệm cận đứng là
x2 + x − b

x = 1 và đường


không có tiệm cận đứng. Ta có kết quả:
x − 2mx + m 2 − m + 2
2

A. m > 0

B. m = −1

C. m < 1

D. m < 2

Phát hiện vấn đề: GVcó thể cho học sinh đưa ra cách giải quyết bài toán thông
qua một số câu hỏi.
Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương

7


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số
f ( x)
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = g ( x ) nhận đường thẳng x = x0 làm tiệm

cận đứng ?

 g ( x0 ) = 0


m < 5

m ≠ 0; m ≠ −1
m ≠ 0


C. 
1
D. 
1
m < 5
m < 3

Phát hiện vấn đề: Học sinh quan sát hàm số thấy hàm số này luôn có một tiệm
cận ngang và có tối đa 2 tiệm cận đứng. Từ suy luận đó giáo viên yêu cầu học sinh
đưa ra điều kiện để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận .
Giải quyết vấn đề: Hàm số luôn có 1 TCN, do đó để đồ thị hàm số có 3 tiệm thì
phương trình mx 2 − 2 x + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

m ≠ 0
m ≠ 0


⇔ m − 2 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 . Từ đó ta chọn được đáp án đúng là A.
∆' = 1 − 3m > 0

1

m


−∞

−2

+∞

0

−

+

y'

+∞

1

y

−∞

A. 1.

0

B. 3.

C. 2.


-

1
0

y

2
+
3

0

-2
-5
Phát hiện vấn đề: Từ nhận định ở ví dụ 12 học sinh sẽ nhận ra được hàm số
không có TCĐ.
f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +∞ Mệnh đề nào sau
Ví dụ 14: Cho hàm số y = f ( x ) có xlim
→+∞
x →−∞

đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành
Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương


→+∞
x →−∞
Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra điều kiện để hàm số có đúng 1 đường

tiệm cận ngang.
Giải quyết vấn đề: Để hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang.
lim y = lim y ⇔ m − 1 = −( m − 1)

x → +∞

x → −∞

⇔ m =1

Hoặc giáo viên có thể cho HS sử dụng máy tính thay m ở đáp án vào thử bằng
cách nhập cả hàm số vào máy, rồi dùng chức năng CALC kiểm tra.
Ví dụ 16: Cho hàm số y =

x+3
(C ) , tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho
x −1

khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận bằng nhau.
Giải quyết vấn đề: Đối với hàm số dạng này thì quan sát hàm số và đưa ra được
ngay các đường tiệm cận TCĐ : x = 1; TCN : y = 1
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường
thẳng.Từ đó, học sinh giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.


x + 3

Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương

10


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

Đứng trước bài toán liên quan đền tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần quan
sát kỹ đặc điểm của hàm số, nghiên cứu kỹ dữ kiện mà bài toán đã cho, tìm thấy
được mối liên hệ giữa các dữ kiện đó. Để tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện
thì câu hỏi thường trực của chúng ta là: “giữa chúng có quan hệ nào chăng? Bài
toán cho dữ kiện này nhằm mục đích gì?”. Từ đó đặt ra giả thuyết tức là phát hiện
ra “vấn đề” cần giải quyết.
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi chủ yếu phục vụ cho học sinh có năng
lực khá trung bình hoặc yếu, mặt khác hiện nay môn toán lại là môn thi trắc
nghiệm thì ngoài việc dạy cho học sinh kiến thức thì sau mỗi bài toán giáo viên
nên hình thành cho học sinh quy tắc riêng để giải quyết bài toán nhanh nhất. Do đó
ở mảng kiến thức về tiệm cận của đồ thị hàm số tối đã hình thành cho học sinh một
số cách phát hiện chính xác về các đường tiệm cận mà tôi đã thể hiện ở các ví dụ
trên, ngoài ra khi dạy tôi cho học kết hợp với việc bấm máy tính để tìm ra các
đường tiệm cận, đặc biệt là các đường tiệm cận ngang. Từ đó kích thích tính sáng
tạo, lòng say mê bộ môn và phát triển tư duy toán học cho học sinh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bàn
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi thực hiện đề tài này cho HS lớp 12C3, 12C5 trường THPT Đinh
Chương Dương. Tôi kiểm tra 15 phút với đề bài :
Câu 1: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

Lê Thị Hiền

B.1

C.2

3
2

D. x = ; y = −2

D.4

2x + 1
.Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm
x −1

B.(2;1)

Câu 4: Cho hàm số y =

C. x = ; y = 2

4x +1
là
2x − 3

C.(1;-1)

D.(-1;1)


Câu 7: Biết đồ thị hàm số y =

D. m ≠

C. ∀m ∈ R

B. m = 1

2x − 1
có
3x − m

3
2

(2m − n) x 2 + mx + 1
nhận trục hoành và trục tung làm 2
x 2 + mx + n − 6

tiệm cận thì: m + n =
A. 6

B.-6

C.8

D. 2

Câu 8: Cho hàm số y = mx 2 + 2x − x. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có


A. m = 1

B. m = −1

C. m < −1 hoặc m > 1

D. −1 < m < 1

Sau khi chấm bài tôi thu được kết quả như sau:
Kết quả
Tổng sốGiỏi
90

SL

%

Khá
SL
%

20

22.2

45

50


THPT Đinh Chương Dương

12


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

- Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống.
Học sinh biết phát hiện xâu chuỗi các kiến thức đã học, xoá đi cảm giác khó và
phức tạp ban đầu đối với học sinh có học lực khá, trung bình hoặc yếu. Qua kiểm
tra việc làm bài tập của HS tôi thấy đa số HS làm được bài, hầu hết các bài tập
giao đều được các em ở mọi đối tượng tham gia tích cực.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Là giáo viên toán, bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em
những phương pháp giải mà sách giáo khoa không có thời gian đề cập đến để có
thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất. Thực tế cho thấy
rằng muốn có kết quả cao trong giảng dạy thì phải có sự phấn đấu, sự bền bỉ, kiên
trì của thầy và trò. Kết quả đó cũng khích lệ giáo viên trong miệt mài say sưa
nghiên cứu cách giải các dạng toán để phát triển, nâng cao cho học sinh.
Để nâng cao chất lượng dạy học với từng đối tượng học sinh, bản thân tự rút ra
một số kinh nghiệm nhỏ như sau:
- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi
nhận được dạng trước 1 bài toán. Cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng làm bài trắc
nghiệm nhanh và hiệu quả.
- Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó
để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được.
- Nắm vững nội dung, yêu cầu của chương trình, phạm vi, mức độ kiến thức. Phải
có quá trình tự học, tự nghiên cứu nghiêm túc và sáng tạo. Bám sát việc đổi mới
phương pháp dạy học sao cho phù hợp với đặc trưng bộ môn.

Cuối cùng để đề tài hoàn thiện hơn tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý
chân thành của các đồng nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY
Tôi xin cam đoan SKKN này là của bản
thân tích lũy được trong quá trình công
tác, không sao chép copy của người khác
Tác giả
Lê Thị Hiền

Tài liệu tham khảo gồm:
1.Sách giáo khoa lớp 12 – Cơ bản.
2.Các đề thi thử THPTQG.

Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương

14


Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận
của đồ thi hàm số

Lê Thị Hiền

THPT Đinh Chương Dương