2
Dạy học toán ở trờng THPT theo hớng phát
hiện và giải quyết vấn đề với sự hỗ trợ của các
phần mềm toán học3

MụC LụC
Trang
Trang phụ bìa 1
Mục lục 2
Các chữ viết tắt trong luận văn 4
Mở đầu 5
Chơng 1. Cơ sở lí luận 10
1.1. Khái niệm phơng pháp dạy học 10
1.2. Tổng quan về phơng pháp dạy học 10
1.2.1. Một số phơng pháp dạy học truyền thống 10
1.2.2. Một số phơng pháp dạy học không truyền thống 10
1.3. Phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 11
1.3.1. Lịch sử vấn đề của phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề 11
1.3.2. Cơ sở lí luận của phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết

Kết luận. 65
Tài liệu tham khảo 66
Phụ lục 1 68
Phụ lục 2 88
5Các chữ viết tắt trong luận văn
Viết tắt Viết đầy đủ
CNTT: Công nghệ thông tin
GV: Giáo viên
GT: Giả thiết
HS: Học sinh
KL: Kết luận
MTĐT: Máy tính điện tử
PMDH: Phần mềm dạy học
SGK: Sách giáo khoa
THCS: Trung học cơ sở
THPT: Trung học phổ thông
NXB: Nhà xuất bản 6


7

Môn toán là một bộ môn vốn liên hệ mật thiết với Tin học. Toán học
chứa đựng nhiều yếu tố để phục vụ nhiệm vụ giáo dục Tin học. Ngợc lại, Tin
học sẽ là một công cụ đắc lực cho quá trình dạy học toán.
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng
sản Việt Nam (khoá VII, năm 1993) đã chỉ rõ:
Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hớng vào đào tạo những con ngời lao
động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua
đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là dân giàu, nớc
mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh. Về phơng pháp giáo dục, phải
khuyến khích tự học, phải áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để
bồi dỡng cho HS năng lực t duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng
sản Việt Nam (khoá VII, năm 1997) tiếp tục khẳng định: Phải đổi mới
phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
t duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến
và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian
tự học, tự nghiên cứu cho HS, nhất là sinh viên đại học.
Luật Giáo dục (1998), điều 24.2 đã nêu: Phơng pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho HS, phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS.
Muốn đạt đợc mục tiêu này, một trong các biện pháp là ứng dụng
CNTT trong quá trình dạy học, chúng ta phải kết hợp các phơng pháp dạy
học truyền thống và không truyền thống trong đó có sử dụng CNTT nh một
yếu tố không thể tách rời. 9

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thống lý luận về một số phơng pháp dạy học toán nói
chung và đặc biệt là phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nói
riêng.
- Nghiên cứu ứng dụng của một số phần mềm trong dạy học toán ở trờng
THPT nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của HS thông qua hệ thống ví dụ.
6. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu về phơng pháp dạy
học, phơng pháp dạy học bộ môn Toán; các tài liệu về tâm lý học, giáo dục
học; tài liệu ứng dụng CNTT vào dạy học nói chung và dạy học toán nói
riêng. Nghiên cứu, phân tích các tài liệu lý luận về tích cực hoá hoạt động học
tập của HS.
- Phơng pháp chuyên gia.
- Thực nghiệm s phạm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục
luận văn gồm 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận
Chơng 2: Sử dụng các phần mềm toán học nhằm hỗ trợ dạy học theo
hớng phát hiện và giải quyết vấn đề
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt
các thầy cô giáo trong tổ Phơng pháp giảng dạy và tổ Toán - Tin ứng dụng đã
chỉ bảo, hớng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.


để trình bày, giải thích, chứng minh một vấn đề nào đó.
1.2.1.2. Phơng pháp đàm thoại
Phơng pháp đàm thoại là phơng pháp dạy học trong đó GV và HS
cùng trao đổi với nhau về một vấn đề. GV đóng vai trò chủ đạo để hớng vào
một nội dung nhất định.
1.2.1.3. Phơng pháp trực quan
Phơng pháp trực quan là phơng pháp dạy học trong đó GV dùng các
phơng tiện trực quan giúp cho HS dễ dàng tiếp thu kiến thức.
1.2.2. Một số phơng pháp dạy học không truyền thống [13]
Để góp phần nâng cao chất lợng học tập, việc đổi mới phơng pháp
dạy học cần đợc thực hiện theo định hớng hoạt động hóa ngời học, tức là
tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo. Đòi hỏi này xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với
sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và
từ bản chất của quá trình học tập. Để đáp ứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ
dừng lại ở việc nêu định hớng đổi mới phơng pháp dạy học mà cần phải đi
sâu vào những phơng pháp dạy học cụ thể nh những biện pháp để thực hiện 12

định hớng nói trên. Thích hợp với định hớng đó là một số xu hớng dạy học
không truyền thống:
+ Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ áp dụng lí thuyết tình huống.
+ Dạy học chơng trình hóa.
+ Dạy học phân hóa.
+ Phát triển và sử dụng công nghệ trong quá trình dạy học.
+ Sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông nh công cụ dạy học.
1.3. Phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

đề [13]
1.3.2.1. Cơ sở Triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy sự
phát triển. Một vấn đề đợc gợi ra cho HS học tập chính là một mâu thuẫn
giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình
huống này phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa
tri thức cũ, kỹ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện
mới hoặc đổi mới tình thế.
1.3.2.2. Cơ sở Tâm lý học
- Theo các nhà tâm lý học, con ngời chỉ bắt đầu t duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu t duy, tức là khi đứng trớc một khó khăn về nhận thức
cần phải khắc phục một tình huống gợi vấn đề. T duy sáng tạo luôn
luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề" (Rubinstein).
- Theo tâm lý học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó
ngời học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm
nghiệm mới với những tri thức đã có. Dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề phù hợp với quan điểm này. 14

1.3.2.3. Cơ sở Giáo dục học
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự
giác và tích cực, vì nó khêu gợi đợc hoạt động học tập mà chủ thể đợc
hớng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất
giữa kiến tạo và tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dỡng phẩm chất.
Những tri thức mới (đối với HS) đợc kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và
giải quyết vấn đề. Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này
là ở chỗ HS học đợc cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức

Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Hy
xác định hình chiếu của đờng xiên BD trên
mặt phẳng (ABCD)? Hy chứng minh
BD

AC thì đây chỉ là câu hỏi thông
thờng còn nếu GV đặt ra câu hỏi: BD có
vuông góc với AC không? thì đây là câu hỏi
nêu vấn đề để dẫn tới định lý Ba đờng vuông
góc.
1.3.3.2. Tình huống có vấn đề:
Tình huống có vấn đề là một tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về lí
luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vợt qua, nhng không phải
ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ,
hoạt động để biến đổi đối tợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Tình
huống có vấn đề là tình huống thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Tồn tại một vấn đề: Đây là yếu tố trung tâm của tình huống. Tình
huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể
phải ý thức đợc một khó khăn trong t duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết
sẵn có cha đủ để vợt qua.
+ Gợi nhu cầu nhận thức: Chủ thể nhận thức phải có nhu cầu thì mới
tạo đợc sức mạnh kích thích quá trình nhận thức. Tốt nhất là tình huống gây
đợc cảm xúc: ngạc nhiên, hứng thú, mong muốn giải quyết.
+ Khả năng của chủ thể: Là kiến thức và cách thức hành động đã biết
nhằm giải quyết đợc vấn đề xuất hiện trong tình huống có vấn đề. Nếu thiếu
B

C

A

n
(với n = 5, 6, 30, ).
HS có thể dễ dàng tính đợc u
5
=17, u
6
=21 và tính tổng S
5
, S
6
(bằng
cách cộng lần lợt các số hạng). Nhng với n=30 hoặc lớn hơn nữa thì ở đây
đã tồn tại một vấn đề vì với n lớn thì HS cha thể tính đợc u
n
, S
n
(bằng cách
cộng lần lợt các số hạng) trong thời gian phạm vi cho phép của tiết học. Vấn
đề gợi nhu cầu nhận thức và gây đợc cho HS niềm tin ở khả năng huy động
tri thức, kỹ năng của mình vì từ chỗ cộng lần lợt các số hạng đó tuy lâu
nhng cũng đi đến kết quả và từ đó giúp HS tìm ra quy luật. Vậy vấn đề đặt ra
là phải xây dựng công thức tính u
n
, S
n
theo u
1
, d, n.
1.3.3.3. Đặc điểm của dạy học theo hớng phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những

Ví dụ 1.3: GV đa ra tình huống: Ba đờng cao của tam giác đồng quy
tại một điểm, ba đờng trung tuyến đồng quy tại 1/3 mỗi đờng (tính từ trung
điểm của cạnh đối diện).
Trong không gian, liệu bốn đoạn thẳng nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm
của mặt đối diện có đồng quy tại một điểm và điểm đó chia các đoạn thẳng
trên theo một hằng số tơng tự nh trong tam giác hay không? Bốn đờng cao
của tứ diện có đồng quy không?
GV chỉ nêu ra tình huống gợi vấn đề, HS tự nghiên cứu, phát hiện và
giải quyết vấn đề.
1.3.5.2. Đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề, HS làm việc không
hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết. Phơng tiện
để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc
hành động đáp lại của trò. Nh vậy có sự đan kết thay đổi hoạt động của thầy
và trò dới hình thức đàm thoại. 18

Với hình thức này, ta thấy dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có
phần giống với phơng pháp đàm thoại. Tuy nhiên, hai cách dạy học này thật
ra không đồng nhất với nhau. Nét quan trọng của dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề không phải là những câu hỏi mà là những tình huống gợi vấn đề.
Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhng nếu các
câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải
là dạy học giải quyết vấn đề. Ngợc lại, trong một số trờng hợp, việc phát
hiện và giải quyết vấn đề của HS có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi
vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra.
Ví dụ 1.4: Giải bài toán : "Cho tam giác
ABC biết AC=b, AB=c và Â. Tính BC" (Bài toán


?3

?2

?1

C
B
A
b
c
Hình
1.2
19

GV HS
Từ (2) hãy bình phơng
(2) và sử dụng (1) để
đợc công thức tính BC
(hay tính a).
(
)
A
bc
c
b

chọn một cấp độ thích hợp.
Bớc 1: Gợi vấn đề và tri giác vấn đề.
- Thầy tạo tình huống gợi vấn đề.
- Giải thích và chính xác hoá để hiểu đúng tình huống.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó.
?4
20

Bớc 2: Giải quyết vấn đề.
- Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm.
- Đề xuất và thực hiện hớng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác
bỏ và chuyển hớng khi cần thiết. Trong khâu này thờng hay sử dụng
những phơng pháp, kỹ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận nh quy lạ về
quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trờng hợp suy biến, tơng tự hoá,
khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy
ngợc tiến, suy ngợc lùi, Khâu này có thể đợc làm nhiều lần cho đến
khi tìm ra hớng đi đúng.
- Trình bày cách giải quyết vấn đề.
Bớc 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp thực tế của lời giải.
- Kiểm tra tính hợp lý hoặc tối u của lời giải.
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tơng tự, khái quát
hoá, lật ngợc vấn đề và giải quyết nếu có thể.
Ví dụ sau minh hoạ các bớc dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.5.
Bớc 1: Gợi vấn đề và tri giác vấn đề.

KL
A B C D 4v
+ + + =

Chứng minh:
Kẻ đờng chéo AC, ta chia tứ giác
ABCD thành hai tam giác ABC và ACD
(Hình vẽ 1.3).
Trong tam giác ABC ta có :
1 1


A B C 2v
+ + =
.
Trong tam giác ACD ta có :
2 2


A C D 2v
+ + =
.
Vậy A B C D
+ + + =

1

2

Hình
1.
3
22

1.4. Phần mềm dạy học [16]
1.4.1. Sự phát triển và ích lợi của PMDH
Ngày nay, CNTT có những bớc tiến vợt bậc thâm nhập vào mọi mặt
của đời sống xã hội mang lại lợi ích to lớn, thiết thực trong mọi lĩnh vực, riêng
trong lĩnh vực giáo dục đã làm thay đổi quan niệm dạy học và có những ảnh
hởng tích cực trong việc nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo.
Một trong các công cụ của CNTT mang lại hiệu quả cho quá trình dạy
học là các PMDH. PMDH là các chơng trình tin học đợc cài đặt trên máy vi
tính nhằm hỗ trợ quá trình dạy học, nâng cao hiệu quả dạy học, tạo động cơ và
gây hứng thú trong học tập.
Các phần mềm trình diễn và các phần mềm toán học chuyên dụng là
công cụ đắc lực trong việc truyền thụ kiến thức toán, hình thành các khái niệm
toán học, giúp HS tiếp thu những khái niệm và tính chất trừu tợng của các
đối tợng toán học và quan hệ giữa các đối tợng đó.
Nh trên đã nói, máy vi tính cùng với mạng Internet lu trữ một lợng
khổng lồ dữ liệu thông tin, văn bản, âm thanh và hình ảnh, tạo nên nguồn
cung cấp t liệu cho việc biên soạn bài giảng. Nhờ đặc tính mô hình hoá, tạo
trực quan, việc sử dụng máy vi tính làm phơng tiện dạy học truyền thụ kiến

tức thời những nhận thức cha chính xác bằng cách đối chiếu với đáp án, với
kết quả đúng lu sẵn trong máy vi tính. Nhờ kỹ thuật thúc đẩy tin học, mạng
Internet và truyền thông phát triển nhanh chóng và đi vào cuộc sống hàng
ngày, việc tổ chức dạy học từ xa đã có cơ sở công nghệ cao hỗ trợ, có thể
truyền tải các PMDH tới các nơi xa, hớng dẫn học và kiểm tra từ xa.
Nh vậy, các phần mềm này là các công cụ hữu hiệu giúp đổi mới
phơng pháp dạy học bằng sử dụng CNTT đang là xu thế của thời đại.
1.4.2. Một số phần mềm thờng dùng trong dạy học toán
- Phần mềm tính toán: Biến đổi rút gọn biểu thức, thực hiện các phép tính,
giải phơng trình nh: Mathematica, Maple, Mathsoft,
- Phần mềm hình học: Cabri Geometry, Geometers Sketchpad,
Geospacw
- Phần mềm trình diễn, thiết kế bài dạy: Powerpoint, Frontpage,
- Các phần mềm chuyên dụng giúp GV su tầm, tìm t liệu
(Encyclopedia, Encarta,), vẽ hình (PhotoShop, CorelDraw,
Autocad,), chuẩn bị, thiết kế, biên soạn bài dạy trên máy vi tính
(Powerpoint, Frontpage, Dreamweaver,).
Trong phạm vi luận văn này, các PMDH hỗ trợ dạy học toán
đợc gọi chung là phần mềm toán học. 24
2.1. Sử dụng phần mềm toán học để hỗ trợ tạo tình huống có vấn đề
Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là
tạo ra tình huống có vấn đề. Một số GV nghĩ rằng dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề tuy hay nhng có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo đợc tình
huống gợi vấn đề. Khó khăn này có thể khắc phục bằng cách sử dụng phần

a) Hãy khảo sát hàm số (1) với m = 0.
b) Chứng minh rằng họ đồ thị (C
m
) của hàm số (1) luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi.
GV yêu cầu học sinh khảo sát hàm số với m = 0 theo đúng sơ đồ khảo
sát hàm số bậc ba.
GV hớng dẫn ý b).
Bớc 1: GV sử dụng phần mềm Cabri để vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 0. Bớc 2: Cho m thay đổi. Yêu cầu HS quan sát hình ảnh đồ thị và cho
nhận xét về tập hợp các đờng cong này?
Hình
2.2Hình
2.3

26

Bớc 3: Bằng trực quan HS phát hiện ra dờng nh họ đờng cong luôn đi
qua một điểm cố định.
Hãy tìm cách làm sáng tỏ nhận định này?
Ví dụ 2.3: Cho hàm số: y =
m