Dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
ở trường trung học phổ thông theo hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề Đỗ Thị Bích Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS. ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh
Năm bảo vệ: 2012 Abstract. Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về
phương pháp dạy học (phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề) PH&GQVĐ và
thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường (trung học
phổ thông) THPT. Nghiên cứu vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số
phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về
dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng
QH&GQVĐ. Tiến hành thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã
được đề xuất.

Keywords. Phương pháp giảng dạy; Giải phương trình; Toán học; Bất phương trình
vô tỉ Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Phát huy tính tích cực của học sinh là hướng đổi mới đã được nhiều nhà sư phạm
nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả. Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 của thế kỷ XX
phương pháp này đã được Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong việc dạy học môn Toán. Đặc
biệt gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học này theo
những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối tượng học sinh khác nhau. Điển hình là công
trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác.
Tuy nhiên ở trường trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phương pháp dạy học
hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng vừa kể trên vào
thực tiễn dạy học môn Toán còn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một
cách cụ thể.
Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng
lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư duy trìu tượng, rèn luyện cho học sinh năng lực
PH&GQVĐ.
Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh còn rất khó khăn khi giải
các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ chẳng hạn như: tìm điều kiện để phương
trình có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó…
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải phương trình,
bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề ” cho bản luận văn thạc sĩ chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học (bộ môn
Toán) của mình.
2.Mục đích nghiên cứu
Nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất lượng dạy học
một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT.
3. Nhiệm nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ.
- Thiết kế các bài toán nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH& GQVĐ giúp học sinh
phát hiện và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học giải phương trình, bất phương trình vô tỉ cho học sinh ở trường

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1. Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học PH&GQVĐ ra đời cách đây hàng trăm năm nhưng dưới nhiều tên gọi khác
nhau.
Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà
khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác
nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông. Đặc biệt công trình nghiên cứu của Ôkôn,
Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]). “Ở Việt Nam, trong
thời kỳ này phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng kể tới quá
trình đổi mới phương pháp dạy và học ở nhà trường phổ thông, bởi những công trình nghiên
cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([4], [5], [10], [20]).
1.1.2. Những khái niệm cơ bản
a) Vấn đề
Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu
hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:
- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chưa được thực
hiện).
- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện
yêu cầu đặt ra ([19]) đồng thời, theo Ôkôn ([36]), trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết, cái
đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên hệ giữa các yếu tố chưa biết và đã biết đó.
b) Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình huống gợi ra
cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng
vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà
phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động, điều
chỉnh kiến thức sẵn có.
Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề

- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá trình dạy
học PH&GQVĐ thành 4 bước như sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra, có thể liên
tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán.
- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt
ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp
Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ dưới đây:


sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển
bền vững và nhanh chóng của đất nước. Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Kết thúc

Giải pháp
S
Đ
Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp với nhiều hình thức tổ chức lớp học
một cách đa dạng và phong phú lôi cuốn học sinh tham gia cùng tập thể, động não, tranh
luận, dưới sự dẫn dắt gợi mở của giáo viên như thảo luận nhóm, báo cáo và trình bày.
Nhược điểm
Phương pháp dạy học PH&GQVĐ còn nhiều hạn chế về mặt khách quan về thời gian,
giáo viên và học sinh.
- Thời gian: Dạy học PH&GQVĐ tốn nhiều thời gian ở trên lớp và ở nhà, đòi hỏi giáo
viên và học sinh phải kiên trì và nỗ lực không ngừng.
- Giáo viên phải có trình độ cũng như xử lý các tình huống sư phạm linh hoạt.
- Học sinh: Phải có trình độ tư duy nhất định.
d, Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Khi vận dụng phương pháp PH&GQVĐ cần chú ý những điểm sau: - Yêu cầu
giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi vì, để đạt được kết quả cao của

- Dạy học sử dụng phiếu học tập.
- Dạy học theo tư tưởng của lý thuyết kiến tạo.
- Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành tựu của
công nghề tin học nói chung.
Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp
dạy học theo hướng kể trên. Sử dụng phương pháp dạy học này không đòi hỏi phải có sự
thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay.
Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể
trong dạy học toán.
Vì vậy, có thể coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những hướng quan
trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay.
1.2. Dạy học nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT
Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán
THPT
- Ở THCS học sinh đã được biết đến khái niệm căn thức, một số phương trình vô tỉ
đơn giản.
- Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh được học các phương trình, bất phương
trình vô tỉ dạng
           
,,f x g x f x g x f x g x  
và các
phương trình, bất phương trình chứa căn quy về bậc hai. Nhưng ở lớp 10 học sinh chỉ giải
được các phương trình, bất phương trình đó bằng phương pháp biến đổi tương đương, biến
đổi hệ quả, điều kiện cần và đủ. Đến lớp 11 và 12, nhờ có có công cụ lượng giác, đạo hàm,
hình học, tính liên tục, đơn điệu của hàm số, sử dụng các định lý Roll, Lagrange,…làm cho
các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ đa dạng và phong phú hơn.

CHƢƠNG 2
DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT HIỆN VÀ

đương:
1,
( ) ( )f x g x

( ) ( )
( ) 0.
f x g x
gx






2,
( ) ( )f x g x

2
( ) ( )
( ) 0.
f x g x
gx






3,
( ) ( )f x g x











5,
( ) ( )f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ).
fx
gx
f x g x









6,
3 3 3

này.
2.3.1.Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai một ẩn
Dạng 1: Phương trình dạng
( )+ ( ) 0Af x B f x C
, đặt
( ) ( 0)f x t t
(điều
kiện tối thiểu của
t
) đưa phương trình về dạng
2
0At Bt C  
.
Dạng 2: Nếu phương trình có chứa
( ) ( ), ( ). ( )f x g x f x g x

ta đặt
( ) ( )f x g x t

()fx
.
()gx
=
2
()t k h x
(trong đó
k 
const) rồi
đưa phương trình về dạng
2

chia cả hai vế cho
2
()
n
fx
rồi đặt
()
()
n
gx
t
fx

đưa phương trình về dạng
2
0At Bt C  
.
Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình căn chứa tham số khi đặt ẩn phụ nhất
thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ có thể sử dụng
định lí, đạo hàm, bất đẳng thức, dấu tam thức bậc hai…
2.3.2.Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để
Cách giải phương trình dạng
( ) ( ) ( ) ( ) 0af x g x f x h x  

Đặt
()f x t
đưa phương trình về ẩn
t
:
2

f u v c
u v a b



  


Giải hệ được
,uv
từ đó tìm được
x
.
Chú ý: Chỉ cần tìm
x
bằng cách giải một trong hai phương trình
()
n
f x a u
hoặc
()
m
b f x v
.
- Dạng 2: Cách giải phương trình dạng
( ( ))
n
f x b a
()
n

;x a a

Thì ta có thể đặt
os (0 )x ac t t

  
hoặc
sin , ;
22
x a t t






.
- Dạng 1: Nếu bài toán có chứa
22
xa
thì có thể đặt
 
, ; \ 0
sin 2 2
a
xt
t





(hoặc
2
2
1
1 cot )
sin
t
t


3
43xx
tương ứng với công thức
3
4 os 3 os = cos3c t c t t

2
2
2
2 1; ;
11
x x y
x
x xy



mà chọn các biến đặt sao cho thích hợp .
Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hoá gồm:

: ( )x D f x m  
thì phương trình
0
()f x m
có nghiệm duy nhất
0
xx
.
- Dạng 2: Nếu
()y f x
xác định, liên tục và đơn điệu trên
DR
thì phương trình
( ) ( )f x f t x t  
.
- Dạng 3: Cho
()y f x
và
()y g x
là hai hàm số xác định trên
D
R
và biến thiên
ngược nhau trên đó
Giả sử
0 0 0
: ( ) ( ),x D f x g x  
thì phương trình
( ) ( )f x g x
có nghiệm duy nhất

f x f x x x D
f x f x x x D
    
     
    
    

- Dạng 5: Nếu hàm số nghịch biến trên
f
DD
thì trên
D
ta có
 


00
00
00
00
( ) ( ) ; ,
( ) ( ) ( ; ,
( ) ( ) ( ; ) ,
( ) ( ) ; ) .
f x f x x x D
f x f x x x D
f x f x x x D
f x f x x x D
    
    

VT K
VP K






PT
.
VT K
VP K







- Dạng 3: Dùng bất đẳng thức ta chứng minh được

()VT VP VT VP

chỉ ra dấu “=” xảy ra khi sử dụng bất đẳng thức
PT VT VP  
.
- Dạng 4:
( ) ,f x A

()fx

Trong đó:

   
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
, , ,
;
u x y v x y
u x y v x y

   

   
22
1 2 1 2
u v x x y y    


dấu “=” xảy ra khi
;uv

cùng hướng
11
22
0
xy



dấu “=” xảy ra khi
0u 


.
2.8. Kết luận chƣơng 2
Trong chương 2 của luận văn, tác giả đã trình bày một số phương pháp giải phương
trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng PH&GQVĐ. Thông qua việc vận dụng phương pháp
PH&GQVĐ vào dạy các nội dung này, cùng các bài tập vận dụng giúp học sinh nhớ kỹ hơn
và sâu sắc hơn các phương pháp giải, đồng thời giúp học sinh bước đầu có thể nhận dạng
được các dạng bài toán cụ thể và cách giải chúng.

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm tra tính thực tiễn của đề tài qua thực tế
giảng dạy và học tập ở trường phổ. Đồng thời thực nghiệm sư phạm minh hoạ và kiểm tra
bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc vận dụng phương pháp PH &GQVĐ vào dạy
một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ.
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
Nội dung thực nghiệm là dạy giáo án đã soạn.
Sau khi dạy, cho HS ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng làm bài kiểm tra tự
luận trong thời gian 60 phúp.
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
- Chuẩn bị giáo án thực nghiệm.
- Giáo viên dạy thực nghiệm: Đỗ Thị Bích.

42/45
93,3%
Lớp đối chứng
38/45
84,%
40/45
87,7%
9/45
20%

*) Ý kiến đánh giá của giáo viên dự giờ và phản hồi của học sinh qua tiết dạy thực
nghiệm.
Chúng tôi đã biên soạn các phiếu đánh giá và phiếu hỏi để lấy ý kiến của giáo viên và
học sinh. Kết quả được thống kê như dưới đây:
- Kết quả đánh giá của các giáo viên dự giờ thực nghiệm sư phạm:
+ Chất lượng bài soạn: tốt: 98%; khá: 2%; trung bình: 0%; không tốt: 0%.
+ Về đổi mới PPDH: rất đổi mới: 98%; tương đối đổi mới: 2%; có đổi mới:0%; bình
thường: 0%.
+ Về tính khả thi: rất khả thi:98%; tương đối khả thi: 2%; bình thường: 0%; không
khả thi: 0%.
+ Hiệu quả của giờ dạy thực nghiệm: rất hiệu quả:99%; khá hiệu quả: 1%; bình
thường: 0%; không hiệu quả: 0%.
- Ý kiến của học sinh về giờ dạy thực nghiệm:
Giờ dạy đã tạo được không khí học tập sôi nổi, HS rất hứng thú, tích cực, thi đua tìm
hướng giải cho bài toán. Hiệu quả rất rõ là các em rất chắc chắn trong việc giải các dạng toán
mà các em đã tìm ra phương pháp giải. Biết cách vận dụng thích hợp các phương pháp vào
từng bài toán cụ thể.
3.4. Kết luận chƣơng 3
Thực nghiệm sư phạm tuy chỉ được tiến hành trên phạm vi chưa rộng, song kết quả
thu được cho thấy: ở lớp thực nghiệm, hầu hết các HS đều nắm chắc các phương pháp giải và

Một là, vận dụng phương pháp PH &GQVĐ để xây dựng nội dung các chủ đề cho
việc giảng dạy bộ môn Toán THPT.
Hai là, các trường THPT nên thường xuyên tổ chức các hội thảo về giảng dạy, học tập
và trao đổi kinh nghiệm biên soạn tài liệu giảng dạy theo hướng đổi mới phương pháp dạy
học, trong đó có phương pháp dạy học PH &GQVĐ.
References
1. Bộ giáo dục và đào tạo (2005), Tài liệu bồi dưỡng: "Nâng cao năng lực cho giáo viên THPT
về đổi mới PPDH Toán học". Viện Nghiên cứu Sư phạm -
ĐHSP Hà Nội.
2. Nguyễn Hữu Châu, Phương pháp dạy học môn Toán, tập bài giảng dành cho học viên cao
học, Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
3. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và
quá trình dạy học. Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán. NCGD
số 9 - 1995.
5. Nguyễn Hữu Châu, Giải quyết vấn đề và một cách phân loại vấn đề trong môn Toán ở
Trường phổ thông. TCKHGD số 54 - 1996.
6. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX. Nxb Chính trị
quốc gia, Hà Nội, 2001.
7. Lê Hồng Đức (Chủ biên) (2005), Các phương pháp giải phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ. Nxb Hà Nội.
8. Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc - Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán
dại số. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010.
9. Nguyễn Sơn Hà, Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện vàGQVĐ trong dạy học bất
đẳng thức cho HS khá giỏi. ĐHSP HN, 2007.
10. Phạm Văn Hoàn (Chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình,
Giáo dục học môn Toán. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1981.

phổ thông.
Nhà
xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội. 26. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nhà xuất
bản Đại học sư phạm, Hà Nội.
27. Bùi Văn Nghị, Nguyễn Thị Thanh Bình, 2008, Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
bài "định lí Ta lét trong tam giác"(HH 8). Tạp chí Giáo dục số 199, tháng 10/2008, trang 31.
28. Bùi Văn Nghị, Khamkhong Sibuarkham (2010), Hệ thống câu hỏi trong phương pháp
đàm thoại phát hiện. Tạp chí Giáo dục số 230, tháng 1/2010, trang 35.
29. Nguyễn Quý Sửu, Dạy học "Tọa độ trong không gian" bằng phương pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề. K3 ĐHGD ĐHQGHN, 2009.
30. Nguyễn Thị Trà, Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông theo hướng sử dụng
phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. ĐH Huế, 2007.
31. I. F. Kharlamôp, Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào?. NXB Giáo dục, Hà
Nội, 1978.
32. I. Ia.Lerner, Dạy học nêu vấn đề. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997.
33. G.Polya (1997), Giải bài Toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
34. G.Polya: Toán học và những suy luận có lý. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1995.
35. G.Polya: Sáng tạo toán học. NXB Giáo dục, Hà nội, 1997.
36. V. Ôkôn, Những cơ sở của việc dạy học nêu vấn đề (sách bồi dưỡng giáo viên). NXB
Giáo dục, Hà Nội, 19