1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐỖ THỊ BÍCH

DẠY GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINH

HÀ NỘI – 2012

iii
MỤC LỤC


18
2.1 . Định hướng chung
18
2.2. Phương pháp biến đổi tương đương
19
2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ
30
2.3.1. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình
bậc hai một ẩn

30
2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để
40
2.3.3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
42
2.4. Phương pháp lượng giác hoá
48
2.5. Phương pháp hàm số
56
2.6. Phương pháp đánh giá
63
2.7. Phương pháp hình học
70

iv
Kết luận chương 2
75
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
76

Giáo viên
HS
Học sinh
PPDH
Phương pháp dạy học
PPPH&GQVĐ
Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
THPT
Trung học phổ thông
tmdk
Thoả mãn điều kiện
ktmdk
Không thoả mãn điều kiện
PT
Phươg trình
BPT
Bất phương trình
PTVN
Phương trình vô nghiệm
lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc
sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển giáo
dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui
mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học,
ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân

2
lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên
các cấp”, “Tiếp tục đổi mới chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy
và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt trong
ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”.
Thực hiện theo đƣờng lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây
ngành Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phƣơng pháp dạy
học, trong đó dạy học PH&GQVĐ đƣợc đề cập và quan tâm nhƣ một biện
pháp hữu hiệu để ngƣời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo
trong quá trình học tập, góp phần nâng cao chất lƣợng giáo dục, đáp ứng nhu
cầu ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Phát huy tính tích cực của học sinh là hƣớng đổi mới đã đƣợc nhiều nhà
sƣ phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả. Ở Việt Nam, từ cuối
thập kỷ 60 của thế kỷ XX phƣơng pháp này đã đƣợc Phạm Văn Hoàn rất quan
tâm trong việc dạy học môn Toán. Đặc biệt gần đây, đã có nhiều công trình
nghiên cứu áp dụng phƣơng pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề
nội dung cho những đối tƣợng học sinh khác nhau. Điển hình là công trình
nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác
giả khác. Tuy nhiên ở trƣờng trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các
phƣơng pháp dạy học hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phƣơng pháp
dạy học theo hƣớng vừa kể trên vào thực tiễn dạy học môn Toán còn nhiều
hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách cụ thể.
Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát
triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tƣ duy trìu tƣợng, rèn

7. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lý luận của phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT nếu khai thác và vận
dụng đƣợc quy trình dạy học PH&GQVĐ trong dạy một số phƣơng pháp giải

4
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ thì sẽ phát huy tối đa tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ môn Toán ở trƣờng THPT.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp và hẹ thống hoá các vấn đề lý
luận, nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu và các công trình
nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT hiện nay.
- Thực nghiệm sƣ phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1, cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan
về phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phƣơng
trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT.
Chƣơng 2, vận dụng phƣơng pháp PH&GQVĐ trong dạy một số
phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, trình bày nghiên cứu và đề
xuất về dạy một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ
theo hƣớng QH&GQVĐ.
Chƣơng 3, thực nghiệm sƣ phạm kiểm chứng các phƣơng pháp đã đƣợc
đề xuất.

chƣa lâu lắm, nhƣng các tƣ tƣởng đó, dƣới những tên gọi khác nhau, đã tồn
tại trong giáo dục học hàng trăm năm nay rồi. Sớm hơn nữa, các hiện tƣợng
“nêu vấn đề” đã đƣợc Xôcrat (46- 399 trƣớc công nguyên) thực hiện trong các
cuộc tọa đàm. Trong khi tranh luận, ông không bao giờ kết luận trƣớc mà để
mọi ngƣời tìm ra cánh giải quyết.

6
Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phƣơng pháp dạy học này
đƣợc nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm
rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông.
Đặc biệt công trình nghiên cứu của Ôkôn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein,
Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]). “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này
phƣơng pháp dạy học cũng có những ảnh hƣởng và tác động đáng kể tới quá
trình đổi mới phƣơng pháp dạy và học ở nhà trƣờng phổ thông, bởi những
công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu
Châu”([4], [5], [10], [20]). Đặc biệt trong những năm gần đây, trƣớc những
thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối cảnh của cuộc cách
mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà trƣờng là phải đào
tạo cho ngƣời học sinh, lực lƣợng lao động nòng cốt trong tƣơng lai, có năng
lực PH&GQVĐ mới một cách độc lập. Nhƣ vậy, PH&GQVĐ không chỉ phụ
thuộc phạm trù phƣơng pháp dạy học, mà còn trở thành một mục đích của quá
trình dạy học ở trƣờng, đƣợc cụ thể hoá thành một thành tố của mục tiêu là
năng lực giải quyết vấn đề, giúp con ngƣời thích ứng đƣợc với sự phát triển
của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học tập của học sinh.
Định hƣớng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung ƣơng Đảng
khoá IX ([6]), đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung, phương
pháp giảng dạy, phương thức đào tạo,… nâng cao trình độ giáo viên các cấp ”.
Những điểm nói trên chính là nhấn mạnh đến năng lực giải quyết vấn đề, phù
hợp với xu thế hiện đại về cải cách phƣơng pháp dạy học của thế giới.
- Tóm lại: PH&GQVĐ là một phƣơng pháp dạy học có hiệu quả và

b) Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình
huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ
thấy cần thiết và có khả năng vƣợt qua, nhƣng không phải là ngay tức khắc
nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích
cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tƣợng hoạt động, điều chỉnh kiến thức
sẵn có.
Nhƣ vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề
Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận
thức, chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong tƣ duy hoặc hành động mà
vốn hiểu biết sẵn có chƣa đủ để vƣợt qua. Nói cách khác phải tồn tại một vấn

8
đề, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chƣa biết và cũng
chƣa có trong tay thuật giải để tìm phần tử đó.
- Gợi nhu cầu nhận thức
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhƣng nếu
học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết thì họ cũng không sẵn
sàng giải quyết vấn đề. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chƣa có ngay lời
giải, nhƣng có sẵn một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra, và
nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề.
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân
Hay nói cách khác, trong tình huống gợi vấn đề chỉ nên chứa đựng khó
khăn đúng mức; học sinh sẽ sẵn sàng vƣợt khó và tự giải quyết vấn đề “nếu
khó khăn đúng mức” đƣợc thể hiện ở hai mặt sau:
- Một mặt, không để cho học sinh phát hiện ngay ra lời giải mà không
cần tới sự nỗ lực của tƣ duy.
- Mặt khác, tình huống gợi vấn đề phải cho trƣớc những dữ kiện nào đó
để làm tiền đề xuất phát cho sự tìm tòi của học sinh.

- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức
và khả năng của mình để PH&GQVĐ chứ không phải chỉ nghe thầy giảng
một cách thụ động.
- Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội đƣợc kết quả
của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh còn đƣợc học bản thân
việc học.
e, Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Tùy theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình PH&GQVĐ,
ngƣời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức
khác nhau của dạy học PH&GQVĐ. Nguyễn Bá Kim [17] đƣa ra ba hình thức
của dạy học PH&GQVĐ là: 10
- Tự nghiên cứu vấn đề
Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của học sinh đƣợc phát huy
cao độ. Giáo viên chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, ngƣời học tự PH&GQVĐ
đó. Nhƣ vậy trong hình thức này học sinh độc lập nghiên cứu vấn đề và thực
hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu.
- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong vấn đáp PH&GQVĐ, học sinh làm việc không hoàn toàn độc lập
mà có sự gợi ý, dẫn dắt của giáo viên khi cần thiết. Phƣơng tiện để thực hiện
hình thức này là những câu hỏi của giáo viên và những câu trả lời hoặc hành
động đáp lại của học sinh. Nhƣ vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của
giáo viên và học sinh dƣới hình thức vấn đáp.
Với hình thức này, ta thấy dạy học PH&GQVĐ có phần giống với
phƣơng pháp vấn đáp. Nét quan trọng của phƣơng pháp PH&GQVĐ không
phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong một giờ học nào đó,
giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi nhƣng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện
tri thức đã học thì vẫn không phải là dạy học PH&GQVĐ. Ngƣợc lại, trong một

-Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thƣờng đƣợc thực hiện theo
sơ đồ dƣới đây:
Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết

Hình thành giải pháp

Kết thúc

Giải pháp
S
Đ

12
Giải thích sơ đồ:

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tƣơng tự, khái quát
hoá, lật ngƣợc vấn đề, và giải quyết nếu có thể.
Về dạy học PH&GQVĐ, nhiều tài liệu hiện nay chỉ nói tới việc nêu vấn
đề. Nhƣ vậy là chƣa đầy đủ. Học trò còn phải tham gia vào quá trình giải
quyết vấn đề nữa.
b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề
Để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất là tạo ra tình huống gợi
vấn đề. Một số giáo viên nghĩ rằng dạy học PH&GQVĐ tuy hay nhƣng có vẻ
ít cơ hội thực hiện do khó tạo đƣợc nhiều tình huống gợi vấn đề. Để xoá bỏ ấn
tƣợng không đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ
biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập. Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi
vấn đề theo các cách thông dụng nhƣ sau:
(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo
đạc…).
(ii) Lật ngƣợc vấn đề.
(iii) Xem xét sự tƣơng tự.
Xuất phát từ kiến thức đã biết để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng
cách tƣơng tự hóa.
(iv) Khái quát hóa.
(v) Giải bài tập mà ngƣời học chƣa biết thuật giải.
Ngƣời học có thể đứng trƣớc một tình huống gợi vấn đề nếu đƣợc yêu
cầu giải một bài tập mà ngƣời đó chƣa biết thuật giải bài toán.
(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải.
Giáo viên đƣa ra một lời giải (có thật hay hƣ cấu) để học sinh phát hiện
sai lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề.
(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.

14
Sau khi thấy đƣợc một sai lầm khi giải toán, học sinh cũng đƣợc đặt vào

dạy và học đều phải trở thành phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ.
Một điều rõ ràng là không có một phƣơng pháp dạy học nào là vạn
năng. Dạy học PH&GQVĐ là một trong những phƣơng pháp dạy và học hiện
đại, nó đòi hỏi phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy
học, nội dung dạy học, đối tƣợng dạy học và môi trƣờng sƣ phạm cụ thể.
Khi vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học
cần chú ý:
- Yêu cầu giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi
vì, để đạt đƣợc kết quả cao của phƣơng pháp dạy học này, giáo viên phải
chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho
nhiều đối tƣợng học sinh).
- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đông, tạo tình
huống có vấn đề một cách thật khéo léo; nếu không thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi
một số lƣợng lớn học sinh.
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định
hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay
a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán
Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán, theo Phạm Văn
Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa là phải tổ chức việc
dạy học toán sao cho các em luôn đứng trƣớc những tình huống có vấn đề
mang tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện
ra vấn đề sáng tạo và những con đƣờng để giải quyết những vấn đề đó (tự rút
ra công thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần
kiến thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra
cách giải hay và gọn những bài toán lí thuyết hay thực hành…). Kết quả là
học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự
khám phá.

16
Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán cần phải chú ý hình

thần của phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ để dạy học nội dung phƣơng trình
vô tỉ ở trƣờng THPT.
1.2. Dạy học nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng
THPT
Vị trí, nội dung phần phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ trong chƣơng
trình toán THPT
- Ở THCS học sinh đã đƣợc biết đến khái niệm căn thức, một số
phƣơng trình vô tỉ đơn giản.
- Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh đƣợc học các phƣơng trình, bất phƣơng
trình vô tỉ dạng
           
,,f x g x f x g x f x g x  
và các
phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa căn quy về bậc hai. Nhƣng ở lớp 10 học
sinh chỉ giải đƣợc các phƣơng trình, bất phƣơng trình đó bằng phƣơng pháp
biến đổi tƣơng đƣơng, biến đổi hệ quả, điều kiện cần và đủ. Đến lớp 11 và 12,
nhờ có có công cụ lƣợng giác, đạo hàm, hình học, tính liên tục, đơn điệu của
hàm số, sử dụng các định lý Roll, Lagrange,…làm cho các phƣơng pháp giải
phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ đa dạng và phong phú hơn.

19
2.2. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng nhằm đƣa các phƣơng trình, bất
phƣơng trình về các dạng tƣơng tự, nhƣng đơn giản hơn và dễ giải đƣợc. Khi
sử dụng phƣơng pháp này học sinh cần phải đƣợc rèn luyện kĩ năng nhận
dạng và thực hiện đƣợc các phép biến đổi tƣơng đƣơng, đồng thời củng cố
kiến thức về các tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức tƣơng đƣơng, điều
kiện để hai phƣơng trình, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng và cách giải phƣơng
trình tƣơng đƣơng. Phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ có thể đƣợc áp dụng
một cách hiệu quả trong nội dung dạy học này.
Theo các bƣớc của dạy học PH&GQVĐ, trong các phần dƣới đây
chúng tôi sẽ thiết kế các hoạt động với các ví dụ để thực hiện áp dụng dạy học
PH&GQVĐ đối với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng.
HOẠT ĐỘNG 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Dƣới đây là các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình có thể
đƣợc sử dụng cho hoạt động gợi vấn đề và phát hiện vấn đề:
 
2
2
1. 2 1 3 1 (1)
2. 2 6 1 2 (2)
3. 1 2 3
xx
x x x
xx
  
   
  


(?) Nếu vế phải của phƣơng trình mà âm thì phƣơng trình thế nào
(!) Phƣơng trình vô nghiệm
(?) Vế phải không âm ta có nhận xét gì về phƣơng trình?
(!) Hai vế đều không âm
(?) Nêu các tính chất của đẳng thức tƣơng đƣơng
2 2 *
(!) ( )
nn
a b a b n N   
; a, b cùng dấu

2 1 2 1
( , )
nn
a b a b a b

   

(?) ?AB

(!) vì
A0
mà
AB
nên ta có cách biến đổi phƣơng trình trên nhƣ sau
22
0
()
B
AB

1
3
x


là nghiệm của phƣơng trình này thì

21
2
2 1 (3 1) 2 1 0x x x     
do vậy ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức
dƣới dấu căn
vậy phƣơng trình
2
2
3 1 0
2 1 3 1
2 1 (3 1)
1
3
1
44
0,
3
99
9 4 0
0
x
xx
xx


2
2. 2 6 1 2 (2)x x x   Dẫn dắt lời giải:
(?) Có nhận xét gì về vế trái vế phải của bất phƣơng trình (2)?
(!) Vế trái luôn không âm, vế phải có thể âm, có thể không âm
(?) Nếu vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không thì bất phƣơng trình thế nào?
(!) Vô nghiệm
(?) Để xảy ra bất đẳng thức
AB
phải có điều kiện gì?
(!)
0B 
vì
A0

(?) Để giải bất phƣơng trình đã cho làm nhƣ thế nào?
(!) Phải làm mất căn, sử dụng bất đẳng thức
22
0
nn
a b a b   

từ bài toán trên giáo viên yêu cầu học sinh nêu phƣơng pháp giải bất
phƣơng trình
( ) ( )f x g x

22