PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Năm học 2016 – 2017 là năm đầu tiên áp dụng thi THPT quốc gia môn toán bằng
hình thức trắc nghiệm khách quan với nội dung chủ yếu là chương trình lớp 12.
Đây là một khó khăn cho giáo viên giảng dạy và cho người học, đặc biệt là học sinh
còn yếu kém môn toán.
Môn toán lớp 12 bao gồm các nội dung cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số và bài toán liên quan; phương trình – bất phương trình mũ và
logarit; tích phân và ứng dụng; số phức và các phép toán trên số phức; thể tích khối
đa diện; diện tích và thể tích khối tròn xoay; đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
trong không gian tọa độ. Mỗi nội dung đều được sắp xếp phù hợp, khoa học, logic
sư phạm nên có độ dễ, khó tăng dần trong từng nội dung. Đặc biệt chương I – Giải
tích 12 là chương mà nội dung kiến thức nhiều trong các đề tuyển sinh hay các đề
thi THPT QG, cũng như đề thi Đại học – Cao đẳng trước đây đều chiếm số điểm
cao, và dự báo đề thi THPT QG năm 2017 số lượng câu trắc nghiệm ở chương
chương I – Giải tích 12 có khoảng 11 câu. Do đó khi học tập chương I – Giải tích
12, học sinh gặp phải khó khăn nhất định đòi hỏi giáo viên phải có những biện pháp
giúp đỡ các em khắc phục, nhất là những em có năng lực yếu kém. Đây là vấn đề
khá nan giải song với kinh nghiệm một số năm giảng dạy lớp 12, với tinh thần nhiệt
huyết yêu nghề thương yêu học sinh, đặc biệt là các em yếu kém. Vì vậy nên tôi
mạnh dạn chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập trắc nghiệm
chương I – Giải tích 12 cho học sinh yếu kém”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập trắc nghiệm
chương I – Giải tích 12 cho học sinh yếu kém” và tìm hiểu những khó khăn của học
sinh trong học tập toán lớp 12, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh yếu
kém khi thực hành và góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả kỳ thi
THPT QG.
Trang 1

năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này.
6.2. Phương pháp phỏng vấn

Trang 2


Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 12 để phát hiện những học sinh
học tập yếu kém môn toán và phỏng vấn những học sinh này để nắm được mức độ
học toán.
6.3. Phương pháp thực nghiệm
Nhằm khẳng định các biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém khi thực hành giải
toán
6.4. Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu
Áp dụng một số công thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập được
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản về việc giải nhanh,
chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm chương I – giải tích 12 và một số “mẹo”
khi giải toán trắc nghiệm nhằm giúp học sinh yếu kém có hứng thú học tập môn
toán.
- Đưa ra hệ thống bài tập vận dụng phương pháp giải trên.
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1 . Cơ sở lý luận
+ Các vấn đề về tâm sinh lý đã được Bộ GD-ĐT nghiên cứu và cụ thể hóa
bằng khung phân phối chương trình cho chương I – giải tích 12.
+ Một học sinh bình thường về mặt tâm lý không có bệnh tật đều có khả
năng tiếp thu môn toán theo yêu cầu phổ cập của chương trình toán THPT.
+ Những học sinh từ trung bình trở xuống: Các em có thể học đạt yêu cầu
của chương trình nếu được hướng dẫn một cách thích hợp.

động, học sinh có hoàn cảnh đặc biệt (gia đình xảy ra sự cố đột ngột, hoàn cảnh éo
le…).
+ Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là
điều quan trọng. Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các
nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với
việc học môn Toán.
2.2 Mục đích yêu cầu về chuẩn kiến thức và kỹ năng chương I – giải tích 12
Chủ đề
1.Xét tính
đơn điệu của
hàm số.

Mức độ cần đạt

Ghi chú

Về kiến thức :
- Biết mối liên hệ giữa sự đồng Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch
biến, nghịch biến của một hàm số biến của một hàm số:
và dấu đạo hàm cấp một của hàm

y = x4 − 2x2 + 3

số.

y = 2 x3 − 6 x + 2

Về kỹ năng::
- Biết cách xét sự đồng biến,
Trang 4

y = x 3 (1 − x ) 2

- Biết các điều kiện đủ các điểm

y = 2 x 3 + 3x 2 − 36 x − 10

cực trị của hàm số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trị của
hàm số.
3. Giá trị lớn

Về kiến thức :

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất

nhất, giá trị

- Biết các khái niệm giá trị lớn

và giá trị nhỏ nhất của hàm số

nhỏ nhất của

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x3 − 3x 2 − 9 x + 35

hàm số.


đồ thị hàm

đứng, đường tiệm cận ngang của

của đồ thị các hàm số

số. Định

đồ thị.

nghĩa và cách
Trang 5


Chủ đề

Mức độ cần đạt

tìm các

Về kỹ năng:

đường tiệm

- Biết cách tìm đường tiệm đứng,

cận đứng và

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.


thị. Cách viết

tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ

x4
3
y=
− x2 − ;
2
2

phương trình

đồ thị).

y = −x3 + 3x + 1;

Về kỹ năng:

y=

tiếp tuyến của
đồ thị hàm
số.

- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị
của các hàm số
y = ax + bx + c,(a ≠ 0)
4


phương trình.

rằng hệ số góc của tiếp

-

tuyến đó là - 8.

Biết cách viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Trang 6

biết

Ví dụ. Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số


Chủ đề

Mức độ cần đạt

Ghi chú
y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 tại điểm có
hoành độ 2.

2.3. Phương pháp dạy học toán 12
2.3.1.Phương pháp dạy học bài mới

thì tự học sinh sẽ làm được bài. Nếu học sinh không nhận ra được kiến thức đã học
trong các dạng bài tập thì giáo viên nên giúp các em bằng cách hướng dẫn, gợi ý để
tự học sinh nhớ lại kiến thức.
b) Giúp học sinh luyện tập theo khả năng các em.
Bao giờ cũng yêu cầu học sinh phải làm các bài tập theo thứ tự đã sắp xếp
trong phiếu, sử dụng nhiều đơn giản tạo hứng thú cho học sinh.
Cần chấp nhận tình trạng: trong cùng một khoảng thời gian, có học sinh khá,
giỏi làm được nhiều bài tập hơn học sinh khác.
c) Hỗ trợ, giúp đỡ nhau giữa các đối tượng học sinh (học sinh khá, giỏi kèm học
sinh yếu, kém).
Nên khuyên khích học sinh bình luận về cách giải của bạn, tự rút kinh
nghiệm trong quá trình trao đổi ý kiến.
Sự hỗ trợ giữa các học sinh trong nhóm, trong lớp góp phần tạo mối đoàn kết
và sự mặc cảm tự ti của học sinh yếu dần dần không còn.
d) Tập cho học sinh thói quen không thoả mãn với bài làm của mình đã làm.
Sau mỗi tiết học, tiết luyện tập nên tạo cho học sinh niềm vui vì đã hoàn
thành công việc được giao, niềm tin vào sự tiến bộ của bản thân (khuyến khích, nêu
gương …).
Khuyến khích học sinh giải nhiều bài toán ở nhà với những bài đơn giản đến
khó mà các em đã làm ở lớp. Có những biện pháp cụ thể để giúp các em vươn lên
trong học tập
Trang 8


CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP ĐỠ HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI TOÁN LỚP
12

1.Thực trạng học toán của học sinh lớp 12 ở trường THPT
1.1. Những thuận lợi:
Dù trường đóng trên địa bàn còn có nhiều xã nông thôn gặp nhiều khó khăn

b. Khảo sát bằng bài kiểm tra.
Để phát hiện chính xác những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán,
biện pháp tốt nhất là cho học sinh làm bài kiểm tra.
1.3.2. Kết quả đánh giá chất lượng đầu năm học 2016 - 2017 của học sinh lớp 12:
SỸ
STT

01
02

MÔN

Toán

LỚP

TB trở

lên
SỐ SL %

Giỏi

Khá

T . Bình

Yếu

Kém


10

26.3

16

42.1

9

23.7

3

12A11

37

25

67.6

0

0

7

18.9

Nếu bài tập có nhiều cách thực hiện, gợi ý để các em phát hiện
Trang 10


Khi thấy các em có kết quả thực hành tốt, cho các em trình bày và khen ngợi
để động viên, khích lệ các em.
Khi trao đổi, thảo luận cần đưa các em vào nhóm có học sinh khá giỏi với số
lượng hợp lí để các em học hỏi bạn thêm.
2.1.Đối tượng 1: “Hổng kiến thức cơ bản”
Kiến thức ở lớp dưới của các em bị hổng, không thể nào bù đắp ngay được
trong một thời gian ngắn. Vì vậy, tôi lập kế hoạch trong suốt cả năm học, đặc biệt là
học kì I để giúp nhóm học sinh loại này lấp dần các lỗ hổng kiến thức. Đối với
những học sinh này phải có thêm thời gian học dưới sự hướng dẫn lại tỉ mỉ những
kiến thức cơ bản, trọng tâm theo một hệ thống riêng và yếu tố dẫn đến thành công
là nắm chắc, luyện kĩ. Trong các buổi học trên lớp thường được kiểm tra, rà soát và
củng cố các kiến thức, chấm bài tay đôi trong tiết luyện tập, thường xuyên khích lệ
động viên mỗi khi các em được điểm cao hơn. Do đó các học sinh này có nhiều tiến
bô; cụ thể là: Giờ học toán các em tập trung hơn, có biểu hiện yêu thích, hay phát
biểu và còn có nhiều sai sót…
2.2.Đối tượng 2: “Mất tự tin”
Vấn đề cơ bản là giúp các em lấy lại lòng tự tin, phát huy được những tố chất
cơ bản đang tiềm ẩn trong mỗi em trong việc học tập môn toán. Phương pháp trực
quan, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, tìm các cách giải khác nhau cùng với các
câu hỏi vừa sức, các bài toán vui, các bài toán gắn với thực tế chính là chìa khoá để
giải quyết vấn đề.
2.3.Đối tượng 3: “Thiếu ý thức trong học tập”
Những học sinh này trong lớp thường không chú ý nghe giảng, mỗi khi làm
bài kiểm tra tại lớp thường cẩu thả, không có ý thức kiểm tra lại bài làm. Thầy (Cô)
giáo nhắc nhở thì xem lại qua loa cho xong chuyện. Bài tập và bài học ở nhà không
chuẩn bị chu đáo trước khi đến lớp. Tóm lại, đối với diện học sinh này cần có sự

(ad − bc ≠ 0) . Chẳng hạn:
cx + d

Trang 12


+ )Đồ thị hàm số: y = ax3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) hoặc y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) thì
chúng ta để ý hình dạng tổng quát của đồ thị, hệ số a, giao điểm với trục 0y và
nghiệm y’ = 0.
Cụ thể:
a) Các dạng đồ thị hàm bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0)

y ' = 0
a > 0 có 2 nghiệm phân biệt


;

y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

y ' = 0
a < 0 có 2 nghiệm phân biệt


;

y ' ≤ 0 ∀x



Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số
a >0. Như vậy các phương án A, B, C đều loại. Đáp án đúng là D.
b) Các dạng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0):

y ' = 0
a > 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a > 0 có 1 nghiệm đơn


Trang 14


y ' = 0
a < 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a < 0 có 1 nghiệm đơn


Ví dụ 3: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số:

A. y = x4 − 3x2 − 3 B. y = − 1 x4 + 3x2 − 3 C. y = x4 − 2x2 − 3 D. y = x4 + 2x2 − 3
4
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng
phương, có hệ số a >0, tức là phương án B (loại), Tiếp đến đồ thị hàm số có 3 cực


cận ngang, dấy y’ và giao điểm với trục 0x và 0y.
x+1
?
x −1

Ví dụ 5: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y =
y

y
2
1 I
0 1 2

A.

I
x

y

2

y
0

1 I

1


1
x
-3

-2

-1

1

2

3

-1
-2
-3

A. y =

−x + 2
x −1

B. y = x3 − 3x + 2

C. y =

Trang 16

x−2

3 

1
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷.
3

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷.
3 

(

)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;+∞ .

Trang 17


Ví dụ 9 ( Câu 3 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến
trên khoảng nào ?

1
A.  −∞ ; − ÷
2


(

B. 0;+ ∞

, tức là: 
∆y ' ≤ 0
a < 0
Hoặc để hàm nghịch biến trên ¡ thì y ' ≤ 0, ∀¡ , tức là: 
∆y ' ≤ 0
Ví dụ 10: Hàm số y =

1 3
x + (m − 1)x2 − (m − 1)x + 1 đồng biến trên tập xác định
3

của nó khi :
A. m ≤ 0 ∨ m ≥ 1

B. 0 < m < 1

C. m < 0 ∨ m > 1

D. 0 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 11: Hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên ¡ là:
A. m < −1

B. m ≥ −1

C. m ≤ −1

D. m > −1

Phân tích bài toán: Ở ví dụ 10 ta có hệ số a > 0 và ví dụ 11 ta có hệ số a < 0, ta tính

. Do đó đáp án là: D.
m > 2
Ví dụ 13: Hàm số y =
A. (−2;2)

4 + mx
x+m

nghịch biến trên khoảng (1; +∞) khi m thuộc:

B. [ −1;2]

C. [ −2;2]

D. (−1;1)

Phân tích bài toán: Với ví dụ 13 vì nghịch biến trên khoảng (1; +∞) cho nên điều
ad − bc < 0
2

m − 4 < 0
⇔
⇔ −1 ≤ m < 2. Vậy đáp án là: B.
kiện là:  d
−
m
≤
1
−
≤


B. yCĐ = 1

C. yCĐ = 0

D. yCĐ = -1

Phân tích bài toán: Bài này, ta tính y’, sau đó lập bảng biến thiên và căn cứ vào
bảng biến thiên suy ra kết quả là: C.
Ví dụ 16: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên :
x -∞
y’
+∞
y

-1
- 0

1
0
2

+

+∞
-

-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?



Phân tích bài toán: Để tính y(−2) = ? , ta cần dựa vào các yếu tố đã cho của bài toán
để tìm các hệ số a, b, c và d. Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c . Do M (0;2), N(2;-2) là các

y '(0) = 0

y(0) = 2
⇔
điểm cực trị của đồ thị, nên ta có: 
y
'(2)
=
0

y(2) = −2


a = 1

b = −3
⇒ y = x3 − 3x2 + 2.

c = 0
d = 2


Khi đó: y(−2) = −18 . Vậy đáp án là: D.
Loại 2: Nếu hàm số đã cho chứa tham số
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) .
Tình huống 1: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

1 3
x − mx2 + (m2 − m + 1)x + 1 đạt cực đại
3

tại điểm x = 1:
A. m = 1 B. m = 2

C. m = 1 ∨ m = 2 D. Không có giá trị m nào thỏa mãn.

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính y ' = x2 − 2mx + m2 − m + 1;y " = 2x − 2m .
y '(1) = 0
⇔
Sau đó, giải điều kiện: 
y
"(1
)


C. m = 1.

D. m = 3.

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính
y ' = x2 + 2(m2 − m + 2)x + 3m2 + 1;y " = 2x + 2(m2 − m + 2) . Sau đó, giải điều
y '(−2) = 0
⇔
kiện: 
y
"(
−
2)
>
0


2
−m + 4m − 3 = 0
⇔ m = 3. Vậy đáp án là: D.
 2
2
m
−
2
m
>
0





Ví dụ 22 (Câu 3 đề thi THPT QG 2016): Tìm m để hàm số
f (x) = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị.Gọi x1;x2 là hai điểm cực trị đó,tìm m
để x12 + x22 = 3.
Phân tích bài toán: Ta có: y ' = 3x2 − 6x + m , ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.
Sau đó, phân tích x12 + x22 = 3 ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 3 ⇔ 4 − 2.
(thỏa mãn). Vậy m =

m
3
= 3⇔ m=
3
2

3
.
2

* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) .
Tình huống 1:
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là a và b trái dấu tức là:
ab
. < 0.

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab
. ≥ 0.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại
a < 0
và 1 cực tiểu là: 

C. m = 0

D. m ≠ 0

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m > 0. Vậy đáp án là: A.
Ví dụ 24 (Câu 8 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. m = −

1
3

9

B. m = −1

C. m =

1
3

9

D. m = 1

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m < 0. Khi đó, ta có hai lựa chọn để giải tiếp. Đó là:
1) Vì m < 0 nên đáp án có thể là A hay B, ta lấy B. m = −1 thế vào bài toán và

là y =

ax + b
( ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm cận ngang
cx + d

a
d
và tiệm cận đứng là x = − , (c ≠ 0)
c
c

Ví dụ 25: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 1

B. x = −2

Phân tích bài toán: Đồ thị hàm số dạng y =

C. x = 2

x −1
là:
x+2
D. y = −2

ax + b
(ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm
cx + d