Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

 Cách 1:
Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1
 Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t 0;2





 t 2  1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2Re( z )  Re( z ) 

t2  2

2  2t
min f (t )  f  2   3
 

1 
 TH2: t   ;1
2 

1
7
 7  13
 2  0  t    max f (t )  f    
8
2  2t
 8 4

f '(t ) 

 Maxf (t ) 

13
;
4

Minf (t )  3  M .n 

13 3
4

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của


0969.912.851

2
2
2
 P  4x  3

 z  3  4i  5   x  3   y  4   5   x  3  
 4   5  f ( x)
2


2

 f '( x)  8( x  3)  8( P  4 x 11)  0  x  0, 2P 1,6  y  0,1P  1,7

 P  33
2
 Thay vào f ( x) ta được:  0, 2 P  1, 6  3  (0,1P  1, 7  4) 2  5  0  
 P  13
 Cách 2:
 z  3  4i  5   x  3   y  4   5 : (C )
2



2

  : 4x  2 y  3  P  0

5

Bài 4: Cho số phức z  x  yi ( x, y  R) thoả mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính module số
phức w  m  ( x  y)i.
C. w  5

B. w  3 2

A. w  2 3

D. w  2 6

 Cách 1:
 z  2  4i  z  2i  x  y  4
 z  x y 
2

2

 x  y

2

2



42
2 2
2

D. min z 

1
2

 Cách 1:
 z  i  1  z  2i  x  y  1
 x2  y 2 

( x  y)2 1

2
2

 z  x2  y 2 

1
1

2
2

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2 

( x  y)2
2

 Cách 2:
3


P  z 3  3z  z  z  z . Tính M + m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

 Cách 1:
 Ta có: z  1  z.z  1
2

 Đặt t  z  z  0; 2  t 2  ( z  z )( z  z )  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z
2

2

2

z 3  3z  z
z



2



2

 z  z  z2  3  z  z  z  z  z 1  z  z

3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thoả az 2  bz  c  0(a  0) . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của
phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z2
2

A. P  2
B. P 

c
a

c


 Ta có: z1  z2  z1  z2   z1  z2  z1  z2   z1  z2  z1  z 2  2 z1  2 z 2
2

2

2

2

 Khi đó: P  4 z1 z2
 Ta lại có: z1 z2 

c
c
 P  4 z1 z2  4
a
a

Bài 8: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo
2

2

2

B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố
2


2

2

2

 Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái :
2











  z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1



 z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3









2

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1  z2  z2  z3  z3  z1 = 3 là số nguyên tố
2

2

z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn hai điều kiện z  1 và  
z
A. 5

B. 6

C. 7

2

z
 1 ?
z

D. 8

 Giải:
 Ta có: z  1  z.z
2

  5 7 11  2 4 5 
x ; ;
;
; ;
;
; 
6 6 6 6 3 3 3 3 

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN:”TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD “

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

 Vậy có 8 số phức thoả 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z1, z2, z3 thoả mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và
z1  z2  z3  0 . Tính P 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
.
z1  z2  z3

A. P  1999

C. P  999,5

B. P  19992



 19992 19992 19992 19992 19992 19992
.

.

.
 z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1
z2
z2
z3
z3
z1
2

 Suy ra P  

2
2
2
1999 1999 1999
 z1  z2  z3  



z1
z2
z3


r
r
 z3 
; Min 
 2  z3
z1
z1
z1
z1

 Áp dụng Công thức trên với z1 

3  3 2i
; z2  1  2i, z3  3  3i; r  3 ta được
1  2 2i

Max  6; Min  4
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tính M .m
A. M .n  7

B. M .n  5

2) Cho số phức z thoả mãn

C. M .n  2

D. M .n  4


 i 4 n 1  i 4 n với n  ¥ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
i2

3) Cho số phức z thoả mãn

giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M .m
A. M .n  20

C. M .n  24

B. M .n  15

D. M .n  30

Bài 12: Cho số phức z thảo mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi đó M .n bằng:
A. 2

B. 2 3

C.

2 3
3

D.

3

 Giải:
 Dạng Tổng quát: z1 z  z2  z1 z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi




 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

k

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

k  1.


 ax  by  c    ay  bx  d 
2

1

2

2

 1.

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

k 2  4 c2  d 2



4 a 2  b2







k 2  4 z2

2

2 z1


42  4
m 
2
 3
 ADCT trên ta có: z1 = 1; z2 =1; k = 4  
4
M   2

2
Bài 13: Cho số phức z thoả mãn iz 


XOẠN TIN NHẮN:”TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD “

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

Bài 14: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 

1
3

i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2

P  z1  z2  z3 .
2

2

2

A. Pmin  1

C. Pmin  3

1
3


z 3
 1 và biểu thức
z  1  2i

  z(1 i)  z(1 i) . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:

A. 0 và -1

C. 3 và 0

B. 3 và -1

D. 2 và 0

 Giải:
9


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao


z 3
 1  z  3  z  1  2i  x  y  1
z  1  2i

1
 x y
 P  16 x y  8xy , Đặt t  xy  0  t  
 
4

Bài 17: Cho số phức z thoả mãn

6z  i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2  3iz

A. max z 

1
2

C. max z 

B. max z 

3
4

D. max z  1

1
3

 Giải:
6z  i
2
2
 1  6 z  i  2  3iz  6 z  i  2  3iz
2  3iz


B. P  z  4

2

C. P   z  2 

2

D. P   z  4 

2

2

 Giải:
 z 2  4  2 z   a 2  b2  4    2ab   4  a 2  b2   0
2

2

10


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 Chuẩn hoá b  0  a 4  4a 2  16  0  a  1  i 3  z  1  i 3  P  4
2

2
 Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P   1  i 3  2   4  Nhận


2

 P 2  10  6 x

  x  2  
 3   1  52 x 2  40  12 P 2 x  P 4  4 P 2  52  0
4





2

 



(*)

 Để PT (*) có nghiệm thì:



  40  12P 2



2


 Giải:
3

3

1
1
1
1 
1
1



  z    z3  3  3 z    z3  3   z    3 z  
z
z
z
z 
z
z



3

 z3 

3


3 z 
 Mặc khác:  z    3  z    z 
z
z
z
z


11


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
3

 Suy ra: z 

1
1
1
 3 z   2 , đặt t  z   0 , ta được:
z
z
z

 t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2  z 
2

1
2 M 2
z


  z  3  11  i  (1  i)  1  i 

2018

1009

1009
1  i 2 
2i 



3i 
 3  i  22008 i  3  i
 z
2
1  i  (1  i)

   22008 i  3  i  1  i  4   21008  2  i  ( z)  21008  2





Bài 22: Cho số phức z thoả mãn 1  5i z 

2 42
 3i  15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng:
z







 z  3i   2 z42  1 





 1  5i z  3i 1  5i 



 1  5i

 6 z 3 
2



2 42
z
5i z  3i 

2 42
z


uuur uuur
uuuur
3
 P  z1  z2  OA  OB  2OM  2.
 3
2

Bài 24: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị của biểu
thức P  z12  z22  z32 .
A. P  1

C. P  1

B. P  0

D. P  1  i

 Giải: Chuẩn hoá z1 

1
3
1
3

i , z2  
i, z3  1 Suy ra P  0
2 2
2 2

Bài 25: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu

1

 z2

2

z


1

 z2



2

2

 z1  z2  2.52  2 26

Bài 26: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Khẳng định nào dưới đây là sai.
A. z13  z23  z33  z13  z23  z33

B. z13  z23  z33  z13  z23  z33

C. z13  z23  z33  z13  z23  z33

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33


2 2
2 2

Bài 28: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Biểu thức
P  z12n1  z22 n1  z32 n1 ,(n ¢ *) nhận giá trị nào sau đây?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

 Giải: Chuẩn hoá n  1, z1  1, z2  i, z3  i Suy ra đáp án A
Bài 29: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1
z1  z2 z1  z3



1
1

.
z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2



 z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1
2

2

2

 9   z1  z2

3

 9  z1  z2  z3

1

2



3

2

 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
14


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
P

2z  i
:
2  iz

3
4

D. Pmax  2

z  1
 Giải: Chuẩn hoá: z  1  
z  0
 z 1 P 
z 0 P 

2i
 1 do đó loại B, C
2i

i 1
 do đó loại D, chọn đáp án A
2
2

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN:”TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD “

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:


8
3

C. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2 2
2

2

2

D. z1  z2  z2  z3  z3  z1  1
2

2

2

 Giải: z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 
2

2

2

2

2

2

45 2  45 2 
 x  2    y  2   25
 z2 
 
o Dấu “=” xảy ra khi: 
i
2
2
2
2 


 x  y  33  20 2

 P

45 2  45 2 
 
 i  4i  33
2
2



Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn z  1  i  2 z  z  5  3i sao cho biểu
thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) 

8 7
2

7
2

y   y  2   y    
2 4
4


16


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

 y  3
4 6 3
 i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2  z 
2
2
 y   x  2 
Bài 34: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 3  z  2 .
A. Pmax 

11
2

B. Pmax  2 3

C. Pmax 


D. b  51

Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2 z3 ; z2  z3 z1; z3  z1z2 là các số thực. Tính

 z1 z2 z3 

2017

.

A. 1

C. ±1

B. 22017

D. 22017





Bài 39: Cho số phức z thoả mãn đồng thời z  z  2 và z  3z  2  i 3 z . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.

1
 z 2
2

B. P  1

D. P 

17
9

Bài 41: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính M  m .

17


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. 2

B. 7

C. 6

Bài 42: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn

P

z1  z2
z1  z2



D. 5

nhất của biểu thức P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 .
A. Pmax 

7 2
3

C. Pmax 

3 6
2

B. Pmax 

4 5
5

D. Pmax 

10 2
3

 Giải:


z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 
2

2

2

2

  3 26

Bài 45: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính P  M 2  n2
A. 12

C. 15

B. 20

D. 18

Bài 46: Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn az 2  bz  c  0 và a  b  c  0 . Gọi

M  max z , m  min z . Tính môđun của số phức   M  mi .
A.   2

C.   3

18


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
B.   2

D.   1

Bài 47: Cho số phức z thoả mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2

2

2

2

2

2

vecto

 x  2  x    y  1 1 y 
2



bunhiacopxki



2

2 2

2
2.2  x  1  y 2  2  4




 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2
2

2



 P  4 z1  z2
3

3

2

  3 z

1

2

2 z

2

1

 z2   5   z1  z2


Bài 49: Cho số phức z thoả mãn z 

3
2
2
 3 2 . Gọi M  max z và m  min z , tính môđun của số
2

phức   M  mi .
A.   4 22

C.   5 10

B.   7 56

D.   3 62

 Giải:











2


 18  12  3 15  z  12  3 15
2

Do đó:   3 62
Bài 50: Cho số phức z thoả mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z  2  2i .
A. Pmin 

1
2

B. Pmin  1

C. Pmin  2
D. Pmin 

3
2

Bài 51: Cho số phức z thoả mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 
A.

1
4

z i
. Tính giá trị của biểu thức M.n:
z

Bài 53: Cho số phức: z  x  yi,( x, y ¡ ) là số phức thoả mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và
2

biểu thức P  z 

2

3
3

i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)
2
2

A. xy 

9
4

C. xy 

9
2

B. xy 

16
9

D. xy 


B. Pmin  4

D. Pmin  3

Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1  z2  1. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z1  1  z2  1  z1 z2  1 . Khẳng định nào sau đây sai?
7
m3
4

A.

B. 1  m 

11
5

C. 3  m 
D.

7
2

1
5
m
4
2



D.

1
2a  1

21


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 Giải:

b  0( Loai)
z
z
2

 0  z  z 1  z z  z   0   2 1
 Theo đề:


z 
1  z3 1  z3
2a








. Tính a 2  b2  ?

A.

1
2

C.

1
8

B.

7
2

D.

1
4

 Giải:
 Chuẩn hoá:   1 . Theo đề bài ta có:







Bài 58: Cho hai số phức z,  khác 0 và thoả mãn z    5 z   . Gọi a, b lần lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u  z. . Tính a 2  b2  ?
22


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A.

1
50

C.

1
100

B.

1
25

D.

1
10

 Giải:
 Chuẩn hoá:   1 . Theo đề bài ta có:


z 2  az  b  0 . Tính a  b  ?
A.

5
9

B. 

C. 
1
9

D.

5
9

1
9

 Giải:

3  i  1  a
 1  i  a  2  2i  2a 

 i 
 1  b
 Theo định lý Viet ta có: 



  13  a  b  
9 3  9
9
9
 9
2 a  4  0
b  9
 9
9
Bài 60: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1  z2  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

 z1  z2   z1  z2 
P
 

2
2
 2017  z1 z2   2017  z1 z2 

2

A.

1
2017

C.

2

2
2017  z1 z2 2017sin( y  x)

23


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Suy ra P 

cos 2 ( x  y)
sin 2 ( y  x)

20172 cos 2 ( x  y) 2017 2 sin 2 ( y  x)

cos 2 ( x  y)  1
1
1
cos 2 ( x  y)  sin 2 ( x  y)  
Vì  2
nên P 
2 
2017
20172
sin ( x  y )  1
z32
z12
z22
Bài 61: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1  z2  z3  1 và



C. z12017  z22017  z12017  1

B. z12017  z22017  z12017  3

D. z12017  z22017  z12017  4

Bài 64: Cho số phức z ∈ ℂ ∖ℝ và  

1 z  z2
là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?.
1 z  z2

A. 0  z  2

C. 1  z  3

B. 2  z  4

D. 3  z  5

Bài 65: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1  z2  z3  0 và z1 z2  z2 z3  z3 z1  0 . Tính giá
trị của biểu thức P 
A. 3
B.

1
2

z1 z2  z2 z3  z3 z1
z22