Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z2  z  1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

 Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1

 Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 






 2
maxf  t   f 1  3
1

f 't  
20
1
2  2t
minf  t   f    3
2


1 

 TH1: t   ;1
2 
f 't  

1
7
 2  0  t    maxf  t  
8
2  2t

 Maxf  t  

 7  13
f   
 8 4



P  4x  3
2

 z  3  4i  5   x  3   y  4 
2

 P  4x  3

 5   x  3  
 4  5  f  x
2


2

2

2

 f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7
 P  33
 P  13

 Thay vào f  x  ta được:  0, 2 P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0  
2

2

 Cách 2:


 z 1

2

  10  z  1  2
2

D. Pmax  3 2

5

Bài 4: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính
module số phức w  m   x  y  i .
A. w  2 3

B. w  3 2

C. w  5

D. w  2 6

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


2

2

Dấu “=” xảy ra khi x  y
 Cách 2:
 z  2  4i  z  2i  y  4  x
 z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2
2

2

x  y  4 x  2

 w  2 2  4i  w  2 6
x  2
y  2

 min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 

Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z  2

B. min z  1

C. min z  0

D. min z 


2

2

 x  y


2

2

 Cách 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 z  i  1  z  2i  y  x  1
 z  x  y  x   x  1
2

2

2

2


C.

3
4

D.

15
4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
 Cách 1:
 Ta có z  1  z.z  1
2







 Đặt t  z  z 0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z
2

2

2

 z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1




 z  z  z2  3  z  z  z  z  z



2

1  z  z

3
4

2

 P  z  z  1  z  z  . Đến đây các bạn tự tìm max nhé
Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thỏa az 2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1 
2

2

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com




2

 Khi đó P  4 z1 z2
c
a

c
a

 Ta lại có: z1 z2   P  4 z1 z2  4

Bài 8: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo
2

2

2

B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố
2

2

2

C. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thực âm
2

2

 Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có
vế trái:











  z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1



 z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3
2

2

2



 


2

2

nguyến số
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  1 và
A.5

B. 6

C. 7

z
z



z
1 ?
z

D. 8

z1  z2  z3  0 . Tính P 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
.
z1  z2  z3

A. P  1999

P  999,5

B. P  19992
 Giải

P  5997

 z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 .z2  z2 .z3  z3 .z1 



z1  z2  z3
 z1  z2  z3  


 P2  


1999 2
z

 1

z2
z2
z3
z3
z1
2
 Suy ra P  

2
2
2
1999
1999
1999
 z1  z2  z3



z1
z2
z3




  1999 2





z1 z1

 Áp dụng Công thức trên với z1 

3  3 2i
1  2 2i

; z2  1  2i , z 3  3  3i; r  3 ta được

Max  6; Min  4
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m
A) M.n  7

B) M.n  5

2) Cho số phức z thỏa mãn

C) M.n  2

D) M.n  4

1  2i
z  2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1 i

và giá trị nhỏ nhất của z  i . Tính M.m
A) M.n 


3) Cho số phức z thỏa mãn

. Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M.m
A) M.n  20

B) M.n  15

C) M.n  24

D) M.n  30

Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi
đó M.n bằng:

B. 2 3

A. 2

C.

2 3
3

3

 Giải:
 Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi
 Ta có: Min z 


2



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

k  1.



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

 1.

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

1  1   ax  by  c    ay  bx  d    ax  by  c    ay  bx  d  
4  a  b  x  y   4  c  d 
2



Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



k 2  4 c 2  d2

 Suy ra z  x  y 
2

2



4 a2  b2





k 2  4 z2

2

2 z1


42  4
 3

M  2

Bài 14: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 
2

2

D. 1

1
3

i . Tính giá trị nhỏ nhất của
2 2

2

biểu thức P  z1  z2  z3 .
A. Pmin  1

C. Pmin  3

1
3

D. Pmin  2

B. Pmin 
 Giải:



2
2
và biểu thức P  z 2  z  i  z 2  z   z 1  i   z  1  i  . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ




nhất của P lần lượt là:
A. 0 và 1

C. 3 và 0

B. 3 và 1

D. 2 và 0

 Giải:



z3
 1  z  3  z  1  2i  x  y  1
z  1  2i
2

 xy
1
 P  16x y  8xy , Đặt t  xy  0  t  
 


A. max z 

6z  i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2  3iz

1
2

C. max z 

1
3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B. max z 

3
4

D. max z  1



 
P   z  4
2

A. P  z  2
B.

2

2









C. P  z  2

2

D. P  z  4

2

2



Tính giá trị của biểu thức M 2  n2 .
A. M 2  m2  28

C. M 2  m2  26

B. M 2  m2  24

D. M 2  m2  20

 Giải:
 z  2  3i  1   x  2    y  3   1 (1)
2

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Đặt P  z  1  i   x  1   y  1  P 2 (2) với P  0
2

 Lấy (1)-(2) ta được: y 

2

2





 4.52. P 4  4P 2  52  0  14  2 13  P  14  2 13

 Vậy M  14  2 13 , m  14  2 13  M 2  m2  28
Bài 20: Cho số thức z 

*

thỏa mãn z 3 

1
1
 2 và M  max z  . Khẳng định nào sau
3
z
z

đây đúng?
A. 1  M  2
B. 1  M 

C. 2  M 

5
2

3

3





1
1
1
1
1
 z  3   z    3 z     z    3 z    2
z
z
z
z
z




3

3

3



2 M 2
z

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn  z  3  i 1  i   1  i 

2017

. Khi đó số thức w  z  1  i

có phần ảo bằng:
A. ( z)  21008  1

C. ( z)  21008

B. ( z)  21008  3

D. ( z)  21008  2

 Giải:


 z  3  i 1  i   1  i 



 w  21008 i  3  i  1  i  4  21008  2 i  ( z)  21008  2





Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn 1  5i z 

2 42
 3i  15 . Mệnh đề nào dưới đây
z

đúng:
1
 z 2
2
3
B.
 z 3
2
 Giải:

A.



C.


 6 z  3 . z  4.42  0  z  2
z

Bài 23: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn 2 z  i  2  iz và z1  z2  1 . Tính giá trị của
biểu thức P  z1  z2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A. P 

3
2

C. P  2

2
2

D. P 

B. P  3
 Giải:
 Đặt z  x  yi , 2z  i  2  iz  x2  y 2  1
 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 , z2 .
 Ta có z1  z2  OA  OB  AB  1

của biểu thức P  z1  z2 .
A. Pmax  5  3 5

C. Pmax  4 6

B. Pmax  2 26

D. Pmax  34  3 2

 Giải:
 Ta có: z1  z2  8  6i  z1  z2  10
2

2



2

 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

2

  52  z

1

2

 z2


C. z13  z23  z33  z13  z23  z33

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33

 Giải: Chuẩn hóa z1 

1
3
1
3

i , z2  
i , z3  1 Suy ra đáp áp D
2 2
2 2

Bài 27: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1

B. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1

C. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1

D. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1

 Giải: Chuẩn hóa z1 

1

1
1
1


.
z1  z2 z1  z3 z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2

biểu thức P 

A. Pmin 

3
4

1
2
5

2

C. Pmin 

B. Pmin  1

D. Pmin

 Giải:






2

 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
9
9
9


2
2
2
z1  z2 z1  z3  z2  z1 z2  z3  z2  z1 z2  z3
z1  z2  z2  z3  z3  z1
9  z1  z2  z3

P

 Do đó: P 

9
2
 1 (do z1  z2  z3  0 )
9

Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
A. Pmax  1
B. Pmax 


2
2

Bài 31: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3 

2 2
. Mệnh đề nào
3

dưới đây đúng?
2 2
3
8

3

A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 
2

2

B. z1  z2  z2  z3  z3  z1
2

2

2

2

2

2

2

2

2

8
3

Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z1 , z2 là
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức P  z2  2z1 .
A. P  2 6

C. P  33

B. P  3 2

D. P  8

 Giải:
 3  z  i  z 1 z  2
2
2

 x   y  1  9

33

20
2





 P

45 2 45 2 

 i  4i  33


2
2



Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn z  1  i  2z  z  5  3i sao
cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) 

8 7
2

C. ( z ) 


 y   y  2   y    
2 4
4


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


3
4 6 3
y  2
z
 i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2
2
2
y   x  2


Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 3  z  2 .
A. Pmax 

11

z 

A.

1
2

B. z 

3
4

C. Pmax  1

D. Pmax  2

Bài 37: Cho phương trình: z4  az3  bz2  cz  d  0 ,  a, b, c , d 

 có bốn nghiệm phức là

z1 , z2 , z3 , z4 . Biết rằng z1z2  13  i , z3  z4  3  4i , khẳng định nào sau đây đúng?

A. b  53

B. b  50

C. b  55

D. b  51


1
 z 2
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B.

3
 z 3
2

D. 3  z  5
4

 z 1 
Bài 40: Cho z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm phức của phương trình: 
  1 . Tính giá trị của
 2z  i 









z2
z2

C.6
z1  z2
z1  z2



D. 5

1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2

.

A. 2

B.0,75

C.0,5

D. 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn
hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  z1z2 . Khẳng định nào sau đây đúng?


4 5
5

D. Pmax 

10 2
3

 Giải:
2

2

2

2

2

2

2

 z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 

3
2

 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:


D. 18

Bài 46: Cho bốn số phức a, b, c , z thỏa mãn az2  bz  c  0 và a  b  c  0 . Gọi
M  max z , m  min z . Tính môđun của số phức w  M  mi .

A. w  2

C. w  3

B. w  2

D. w  1

Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính môđun của số phức w  M  mi .
A. w  2 6

C. w  3 5

B. w  4 2

D. w  4

 Giải:
 z  1  2   x  1  y 2  2
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





bunhiacopxki

2

2 2

2
2.2  x  1  y 2  2   4





 w  4  2 2i  2 6
Bài 48: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2 
3

3 4
 i , z1  z2  3 và biểu thức
5 5

3

P  4 z1  4 z2  3 z1  3 z2  5 đạt giá trị nhỏ nhất . Tính z1  z2 .

A. 1
B.

2

2 z

1

2

 z2

2

z


1

 z2



2

2

 3  z1  z2  2

  3 z  z   5   z  z   3 z  z   5
3


C. w  5 10

B. w  7 56

D. w  3 62

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Giải:

3
z 3 2 
z
4



z2  3
z

2

2


z 6 z 9
z

2

2

 18  12  3 15  z  12  3 15

Do đó: w  3 62
Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z  2  2i .
A. Pmin 

1
2

C. Pmin  2
D. Pmin 

B. Pmin  1

3
2

Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức P 

A.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 53: Cho số phức z  x  yi ,  x , y 
2

2

 là số phức thỏa mãn hai điều kiện

z  2  z  2  26 và biểu thức P  z 

3
2



3
2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của

biểu thức (x.y)
9
4


.
z1 z2 z3 z1  z2  z3

A. Pmin  6

C. Pmin  5

B. Pmin  4

D. Pmin  3

Bài 55: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z1  1  z2  1  z1z2  1 . Khẳng định nào sau đây sai?
A.

7
m3
4

B. 1  m 

C. 3  m 

11
5

D.

7

C.

1
3a  2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2
a2
 Giải:

B.

 Theo đề:

D.

1
2a  1

b  0( Loai )
2
z
z


Bài 57: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u 

z
. Tính a2  b2  ?
w

1
2
7
B.
2
 Giải:

1
8
1
D.
4

A.

C.

 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:





2
8
8
8
8
4
 z 1  1


 x  1  y  1

Bài 58: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  5 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u  z.w . Tính a2  b2  ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1
50
1
C.
25
 Giải:

1

2
50
50
50
50
25


 z 1  1
 x  1  y  1
Bài 59: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w  i và 2w  1 là hai nghiệm của
phương trình z2  az  b  0 . Tính a  b  ?
5
9
1
B. 
9
 Giải:

5
9
1
D.
9

C. 

A.

 3w  i  1   a

 2a a 1   2
4
5

9
9
3

    a  i  b  
  13  a  b  
9
9
 9 9 3 9
2 a  4  0
b  9

 9
9
2

Bài 60: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2

 z1  z2
  z1  z2

của biểu thức P  


