www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

Mục lục
Lời nói đầu

2

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn

3

1 Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

4

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

75

3 Sử dụng phương pháp hàm số

110

4

Sử dụng phương pháp đánh giá


thiết đón nhận ý kiến đóng góp quý báo của bạn đọc về những tồi tài, thiếu sót để tuyển tập hệ
phương trình của BoxMath hoàn thiện hơn.
Hồng Ngự, ngày 16 tháng 6 năm 2012.
Thay mặt nhóm biên soạn
lê trung tín

/>
2


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn
1. Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp.
2. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp.
4. Hồ Hoàng Việt - Gò Đen - Long An.
5. Nguyễn Văn Thoan - Nam Định.
6. Nguyễn Mạnh Tuấn - Khánh Hòa.
7. Thái Mạnh Cường - Nghệ An.
8. Đinh Văn Minh - Vĩnh Phúc.
9. Giang Hoàng Kiệt - TP Hồ Chí Minh.
10. Ngô Công Bình - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa.
11. Nguyễn Đức Huỳnh - THPT Hùng Vương - TP Hồ Chí Minh.
12. Nguyễn Quốc Oanh - THPT Sào Nam -Quảng Nam.

LATEX
Hỗ trợ kĩ thuật Latex
• Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận.


, thay vào (3) ta có
5x
x2 − 16
5x

2

− 5x2 = 4 ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔

x = 1 ⇒ y = −3
x = −1 ⇒ y = 3

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)
2 Giải hệ phương trình:

1
1

 −
= 2 (y 4 − x4 )
x 2y
1
1

 +
= (x2 + 3y 2 ) (3x2 + y 2 )
x 2y
**** - - - - - - ****

Lời giải:

5

x
=
(x + y) = 3
x+y = 3
2
√
⇔
⇔
⇔
5
5

(x − y) = 1
x−y =1

y = 3 − 1
2
√
√
5
3+1 53−1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
;
2
2
/>
4


+ ⇔y 3 − 3 + 3 y −
3
x
x
x
x
1
1
1
y
⇔ y−
y2 + 2 +
+3 y−
x
x
x
x
1
y
1
y2 + 2 + + 3 = 0
⇔ y−
x
x
x
1
⇔ y−
x
⇔y =


3x
−
1
=
0
⇔
1
x3
x
x= ⇒y=2
2
1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) ,
;2
2

Thay vào (2) ta được :

4 Giải hệ phương trình:

x4 − y 4 = 240
x3 − 2y 3 = 3 (x2 − 4y 2 ) − 4 (x − 8y)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được
x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = y 4 − 16y 3 + 96y 2 − 256y + 256
⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔

x−2=y−4


(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Thế (2) vào (1) ta có:
3 x3 − y 3 = x2 − 3y 2 (4x + y)
⇔x3 + x2 y − 12xy 2 = 0
⇔x x2 + xy − 12y 2 = 0
⇔x = 0 ∨ x = 3y ∨ x = −4y
- Với x = 0, thay vào (2) ta có: y 2 = −2 (vô nghiệm).
- Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3.
6
6
- Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y 2 =
⇒y=±
⇒ x = ∓4
13
13
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
(x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4

6
;
13

6
13


y = 0 ⇒ x = 1

⇔

 3y 2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ x = y
x = 3y
Thay vào (1), ta có: x = y = 1
3
1
,y = √
Thay vào (1), ta có: x = √
3
3
25
25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) ,
/>
3
1
√
;√
3
3
25 25
6


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

7 Giải hệ phương trình:



 √x − √y = y + 42x
√
(I) ⇔

1
2


 √ + √ = 3 (2)
y
x

(1)

Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được:
15
1 2
− =
x y
y + 42x
⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy
⇔y 2 − 84x2 + 25xy = 0
⇔ (y − 3x) (y + 28x) = 0
⇔y = 3x ( do y + 28x > 0)
√
√
5+2 6
5+2 6


2y +

⇔ (y + 1)
⇔

2y = 2y + 2
2y − 2 = 0

2y − 2 = 0 ( do y ≥ 0 ⇒ y + 1 > 0)

⇔2y = 4
⇔y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (5; 2)
/>
7


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

9 Giải hệ phương trình:

2x3 + 3x2 y = 5
y 3 + 6xy 2 = 7
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 = 27
⇔ (2x + y)3 = 27

√
105 7 − 105
;
8
4

,

5−

√
√
105 7 + 105
;
8
4

10 Giải hệ phương trình: 
9x2 − 4y 2 = 5
log (3x + 2y) − log (3x − 2y) = 1
5
3
**** - - - - - - ****

Lời giải:

3x + 2y > 0
Điều kiện:
3x − 2y > 0



⇔

⇔

(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
log5 3.log5 (3x − 2y) + log5 (3x − 2y) = 0
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
log5 (3x − 2y) (log5 3 + 1) = 0
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
3x − 2y = 1
x=1
y = −1

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (1; −1)
11 Giải hệ phương trình: 
x4 + x3 y + 9y = y 3 x + x2 y 2 + 9x (1)
x (y 3 − x3 ) = 7
(2)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Từ (2) ta suy ra: x = y
(1) ⇔ x4 − xy 3 + x3 y − x2 y 2 − 9 (x − y) = 0
⇔ (x − y) x x2 + xy + y 2 + x2 y − 9 = 0
⇔ (x − y) x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 = 9

(do x = y)


x3 +

x3 +

7
+
x

7
3
+ x.
x

√
3
⇔ x3 + 2x x6 + 7x2 +
/>
3

3

x3 +

7
x

2

7


f (x) = 3x2 + 2  x6 + 7x2 +

33



8
4
 + 1 . 9x + 70x + 49 > 0, ∀x > 0
2
3 3
(x6 + 7x2 )2
x(x4 + 7)2

6x + 14x

2

Suy ra f (x) đồng biến trên (0; +∞) Mà f (1) = 0
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 1 ⇒ y = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x; y) = (1; 2)
12 Giải hệ phương trình:

x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6

(I)

**** - - - - - - ****

⇔
 xy = −x + 6x + 6
 xy = −x + 6x + 6
2
2


x = 0
 x = −4
2
2
⇔
(vô
nghiệm)
∨
 xy = −x + 6x + 6
 xy = −x + 6x + 6
2
2

 x = −4
⇔
 y = 17
4
17
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = −4;
4
 2
 x + xy



www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

√
−1 − 11
2
⇒x=
y =
1
1
1
4√
4√
− y + y2 + 4
− y y + 2y = 0 ⇔ −2y 2 + 3y + = 0 ⇔ 

2
2
4
3 − 11
−1 + 11
y=
⇒x=
4 √
√
√ 4
√
3 − 11 −1 + 11
3 + 11 −1 − 11
;


- Với x = 0, thay vào (1) không thỏa mãn.
−1 − xy
x2 − 1
=
, thay vào (2) ta được
- Với x3 − x + xy 2 + y = 0 ⇔
y
x
x3 + x =

−1 − xy
−x4 − x2 − 1
⇒y=
x
x

(3)

Thế (3) vào phương trình (2) ta được:
x2 (−x4 − x2 − 1) − x2 − x4 − x2 − 1 + 1 = 0 ⇔ x6 + 2x4 + 3x2 = 0
⇔ x2 (x4 + 2x2 + 3) = 0 ⇔

x = 0 (loại)
x4 + 2x2 + 3 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
15 Giải hệ phương trình:

2x2 y − 3y = −1

y
y
2
1
⇔ (x − )(2x + − 1) = 0
y
y

1
x − y = 0
⇔

2
2x + − 1 = 0
y
1
thay vào phương trình thứ (2) ta được:
y

y=1⇒x=1
y − 3y 2 + 2 = 0 ⇔ 
−2
−3
y=
⇒x=
3
2
2
1 1
- Với 2x + − 1 = 0 ⇒ x = − thay vào phương trình thứ (2) ta được:

(x; y) = (1; 1),
;
,
;
2 3
10
5

,

√
√
7 + 2 21 −1 − 21
;
10
5

16 Giải hệ phương trình:

x3 − 4xy 2 + 8y 3 = 1
2x4 + 8y 4 = 2x + y
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
(2x + y)(x3 − 4xy 2 + 8y 3 ) = 2x4 + 8y 4
⇔ x3 y − 8x2 y 2 + 12xy 3 = 0

(1)


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

- Với x = 2y thay vào phương trình đầu ta được
(2y)3 4 − 8y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 8y 3 = 1 ⇒ y =

3

1
⇒x=1
8

- Với x = 6y thay vào phương trình đầu ta được
(6y)3 − 24y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 200y 3 = 1 ⇒ y =

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x; y) = (1; 0), (0; 0); 1;

3

3

1
8

1
⇒x=
200
;

3


Thay vào phương trình số (2) ta có
√
x2 − 2 1 − x2 = −m

√
Xét hàm số f (x) = x2 − 2 1 − x2 trong tập [−1; 1]
⇒ −2 ≤ f (x) ≤ 1 ⇒ −2 ≤ −m ≤ 1 ⇒ −1 ≤ m ≤ 2
Vậy giá trị của m để hệ có nghiệm là −1 ≤ m ≤ 2
18 Giải hệ phương trình:

2 − x2 y 4 + 2xy 2 − y 4 + 1 = 2(3 − √2 − x)y 2
 x − y2 + x = 3

(1)
(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Dễ thấy y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét y = 0 chia hai vế phương trình (1) cho y 2 , ta được phương trình mới như sau:
2
−
y2

x2 +

1
⇔2 x + 2
y

www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

√
√
1
= t. Ta được 2t − t2 − 1 = 6 − 2 2 ⇒ t = 3
2
y
1
1
Với t = 3. Ta có x + 2 = 3 ⇒ y 2 =
, thay vào phương trình (2) ta được
y
3−x

x=2⇒y=1
1
+x=3⇔
x−
√
√
3−x
2+1
x=4− 2⇒y =±
√
√
√
2 + 1 ; 4 − 2; −
Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là (x; y), (2; 1), 4 − 2;
Đặt x +


y = 3 ⇒ x = −4

17

y = −7 ⇒ x =
⇔

2

7
y = ⇒ x = −2
3
17
7
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm (x; y) = (3; −4); −7;
; −2
;
2
3
20 Giải hệ phương trình:

4x2 + 3y(x − 1) = 7
3y 2 + 4x(y − 1) = 3
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Ta có hệ phương trình
⇔



 y=1
4x2 + 3x − 10 = 0


 x = −2
y=1

⇔
 y=1
3y = −3 − 4x


 x = 4
x=4


 y = −19
3
14


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

Kết luận :Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm(x; y) =

5
−19
; 1 , (−2; 1) 4;
4


x =
2
−7

y =
2
−1
−7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x =
;y =
2
2
22 Giải hệ phương trình: 
xy − x + y = 3
(1)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5 (2)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
3xy − 3x + 3y = 9
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5
⇔

/>
− 3y(xy + y − 3) + 3x − 3y = −9 (3)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5

(4)

√
−3 + 17 1 + 17
−3 − 17 1 − 17
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x; y) =
;
,
;
4
2
4
2
23 Giải hệ phương trình:

4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
2x2 + y 2 − 2xy = 1 (2)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Nhân vế của (2) với −2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được: y 4 − 2y 2 − 4xy 3 + 4xy + 1 = 0
⇔ y2 − 1
⇔ y2 − 1

2

− 4xy y 2 − 1 = 0
y 2 − 1 − 4xy = 0

⇔ y = 1 ∨ y = −1 ∨ y 2 − 1 − 4xy = 0
Nếu y = 1, thay vào (1) ta được: 4x2 + 1 − 4x = 1 ⇔ x (x − 1) = 0 ⇔


y


3
4
2
y = 1 ⇔ 5y − 6y + 1 = 0 ⇔ 
y



y

=1⇒x=0
= −1 ⇒ x = 0
√
√
5
5
=
⇒x=−
5√
√5
5
5
=−
⇒x=
5
5


Lời giải:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 − x2 y 2 + 5 (y − x) = 0
⇔ x2 x2 − y 2 − 5 (x − y) = 0
⇔ x2 (x − y) (x + y) − 5 (x − y) = 0
⇔ (x − y) x2 (x + y) − 5 = 0
⇔ x = y ∨ x2 (x + y) − 5 = 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
x4 + 5x = 6 ⇔ x2 − x + 3 (x + 2) (x − 1) = 0 ⇔
Nếu x2 (x + y) − 5 = 0 ⇔ y =

x=1⇒y=1

5
− x Thay vào (1) ta được:
x2

x4 + 5

5
−x
x2

Từ (2) ta có: 5x = 6 − x2 y 2 ≤ 6 ⇒ x ≤
Do đó:

3

6
5x + 6x ≤ 5.


 √1 + y = 2 x + 2
(1)
y
x x

y √x2 + 1 + 1 = √3x2 + 3 (2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Điều kiện:

x>0

y=0
Phương trình (1) tương đương với
√
√
y x + y 2 = 2x x + 2xy
√
√
⇔y 2 +
x − 2x y − 2x x = 0
√
y=− x
⇔
y = 2x
√
- Nếu y = − x, thay vào (2) ta được:

x2 + 1, x ∈ (0; +∞) và g (x) =
2x − 3
√
−2 3
x
√ < 0, ∀x ∈ (0; +∞)
> 0, ∀x ∈ (0; +∞); g (x) =
f (x) = √
2
x +1
2x − 3
Suy ra f (x) đồng biến (0; +∞) trên và g (x) nghịch biến trên (0; +∞)
√
√
√
Ta thấy f ( 3) = g( 3) ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
√
√
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 3 ⇒ y = 2 3
√ √
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =
3; 2 3
Xét 2 hàm số: f (x) =

26 Giải hệ phương trình:


x3 − 8 + √x − 1 = √y
(x − 1)4 = y


27 Giải hệ phương trình:

1 + x3 y 3 = 19x3
y + xy 2 = −6x2

(1)
(2)

**** - - - - - - ****

Lời giải:
Nếu x = 0, thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét x = 0. Nhân hai vế của (2) với x, ta được: xy + x2 y 2 = −6x3
Thay vào (1), ta có:

/>
18


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

− 6 1 + x3 y 3 = 19 xy + x2 y 2

−2
xy =

3

−3



**** - - - - - - ****

Lời giải:
Nếu x = 0,thì từ (1) suy ra y = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Nếu y = 0, thì từ (1) cũng suy ra x = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Vậy x = 0, y = 0
Chia (1) cho y, chia (2) cho y 2 ta được

1
1


(1 )
 + x = 6x.
y
y
1
1


 2 + x2 = 5x2 . 2 (2 )
y
y
Suy ra
1
 xy = 0
⇔
 1
2

31
Vậy từ (1 ) suy ra
1
12


x + =
y
31
1
12
2
Suy ra x, là nghiệm của phương trình t2 − t +
= 0.
y
31
31
2
12
8
Phương trình này có ∆t =
−
< 0 nên vô nghiệm.
31
31
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
29 Giải hệ phương trình:

x2 (1 − 2y) = y 2 (4x + 2y) (1)
2x2 + xy − y 2 = x

- Với x = 2y, thay vào (2) ta được 9y − 2y = 0 ⇔
2
y=
9
2 4
;
Trong trường hợp này hệ có nghiệm (0, 0) ,
9 9
- Với x = −y, thay vào (2) ta được x = 0. Vậy hệcó nghiệm (0; 0)
1
y=
1
1
2
2
- Với x = − y, thay vào (2) ta được y = y ⇔ 
2
2
y=0
1 1
Trong trường hợp này hệ có nghiệm:
;−
, (0; 0)
2 4
1 1
2 4
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:
;−
, (0; 0) và
;

5x

x.

4 − 3x3
−2
5x

= 3x2

2

⇔ (4 − 3x3 ) − 10.(4 − 3x3 ) − 75x3 = 0
⇔ 9x6 − 69x3 − 24 = 0
/>
20


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ


3

2

Đặt x = t, ta được 9t − 69t − 24 = 0 ⇔ 

t=8
1
t=

5x3 + 3y 3 = 6 + 2xy
3x3 + 2y 3 = 8 − 3xy

⇔

x3 = 13xy − 12
y 3 = −21xy + 22

(∗)

Suy ra
(xy)3 = (13xy − 12) (−21xy + 22)
⇔ (xy − 1) (xy)2 + 274xy − 264 = 0

xy = 1

√
⇔
xy
=
−137
−
19033

√
xy = −137 + 19033
- Với xy = 1, thay vào (*) ta được nghiệm của hệ phương trình là (1; 1)
√
√
√

32 Giải hệ phương trình:

4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
4x2 + 2y 2 − 4xy = 2 (2)
**** - - - - - - ****

Lời giải:
Trừ vế theo vế được
y 4 − 2y 2 + 4xy(1 − y 2 ) = −1
2

⇔ (y 2 − 1) = 4xy(y 2 − 1)
⇔ y2 − 1

/>
y 2 − 1 − 4xy = 0

21


www.toanmath.com - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ

- Với y 2 = 1 ⇔ y = ±1. Ta có 4 nghiệm (0;1) và (1;1) và (-1;-1) và (0;-1)
- Với y 2 − 1 = 4xy, thay vào (2), ta được 4x2 + y 2 = 1 ⇔ y 2 = 1 − 4x2 (3)
Lại thay (3) vào (1) ta có
(1 − 4x2 )2 − 4xy(1 − 4x2 ) = 1 − 4x2
Nếu 1 − 4x2 = 0 thì y = 0 không thoả hệ. Vậy 1 − 4x2 − 4xy = 1 ⇔ x2 + xy = 0
Với x = 0 ⇒ y = ±1
1
Với x = −y thay vào hệ được x = ± √

+ 3x

2x2 + 9x − 6
7

=

7.4x2
+9
7

2x2 + 9x − 6
7

⇔ 2x2 + 9x − 6 (2x2 + 3x − 9) = 28x2
⇔ 4x4 + 24x3 − 31x2 − 99x + 54 = 0
⇔

x−

1
2

(x + 2)(4x2 + 18x − 54) = 0

Suy ra
1
x = 2

x = 2

. Suy ra hệ phương trình có nghiệm −2;
7
7
√
√
−9 + 3 33
−9 + 3 33
Với x =
→ y = 3. Suy ra hệ phương trình có nghiệm
;3
4
4
√
√
−9 − 3 33
−9 − 3 33
Với x =
→ y = 3. Suy ra hệ phương trình có nghiệm
;3
4
4
Với x =

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là:
√
√
1 −1
−16
−9 + 3 33
−9 − 3 33

(1) ⇔ √

y−3
y−3
√
⇔
=
x
x+y− x+3

y=3
√
√
x+y− x+3=x

Với y = 3, thay vào (1), suy ra x = 0
√
√
Với x + y − x + 3 = x (3). Thay vào (2) ta được
√
x+3=x
√
⇔ 2x + 3 + 2 x2 + 3x = 9
√
⇔ x2 + 3x = 3 − x

x+3−

⇔



(x + y) (3x − y) = 2 ⇔ 1 − 2x =
1
⇔ 4x2 − 4x + 1 = 3x2 + 2xy − y 2 , x ≤
2
2
⇔ (x − y) = 4x − 1

(x + y) (3x − y)

Thay vào (1), ta được
(4x − 1)2 = 13x − 4

5
x=
16
⇔
x=1
1
5
−3
nên loại nghiệm này. Vậy x = . Suy ra y =
.
2
16
16
5 −3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
;
16 16